Déterminants et orientation

Plan du chapitre "Déterminants"

Orientation d’un espace réel de dimension finie

Proposition (orientation d'un espace réel de dimension finie)
Soit {E} un espace vectoriel sur {\mathbb{R}}, de dimension {n\ge1}.
Soit {\mathcal{B}} et {\mathcal{B}'} deux bases de {E}. Soit {P} la matrice de passage de {\mathcal{B}} à {\mathcal{B}'}.
Si {\det P>0}, on dit que la base {\mathcal{B}'} a la même orientation que la base {\mathcal{B}}.
On définit ainsi une relation d’équivalence sur l’ensemble des bases de {E}.
Pour cette relation, il y a exactement deux classes d’équivalence.
Orienter {E}, c’est choisir l’une de ces deux classes.
— les bases de la classe d’équivalence choisie sont dites directes.
— les bases de l’autre classe d’équivalence sont dites indirectes.

Effet d’une permutation des vecteurs de base

Supposons que la base {\mathcal{B}'} se déduise de {\mathcal{B}} par une permutation {\sigma} sur les vecteurs de {\mathcal{B}}.

  • si {\sigma} est une transposition, alors {\mathcal{B}} et {\mathcal{B}'} sont d’orientation contraire.
  • si {\sigma} est une permutation paire, les bases {\mathcal{B}} et {\mathcal{B}'} sont de même orientation.
  • si {\sigma} est une permutation impaire, alors elles sont d’orientation contraire.

Effet de l’opération {u\mapsto -u} sur l’orientation d’une base

Si on passe de {\mathcal{B}} à {\mathcal{B}'} en changeant un vecteur en son opposé alors {\mathcal{B},\mathcal{B}'} sont d’orientation contraire.

Par exemple, si {\dim(E)=2}, supposons que {(u,v)} soit une base directe de {E}.

  • les bases {(-u,v)}, {(u,-v)}, {(v,u)} et {(-v,-u)} sont indirectes.
  • les bases {(u,v)}, {(-u,-v)}, {(v,-u))}, et {(-v,u)} sont directes.

De même, si {\dim(E)=3}, supposons que {(u,v,w)} soit une base directe de {E}.

  • les bases {(-u,v,w)}, {(u,-v,w)}, {(u,v,-w)} et {(-u,-v,-w)} sont indirectes.
  • les bases {(v,u,w)}, {(w,v,u)}, {(u,w,v)} sont indirectes, etc.
  • les bases {(u,v,w)}, {(u,-v,-w)}, {(-u,v,-w)}, et {(-u,-v,w)} sont directes.
  • les bases {(v,w,u)}, {(w,u,v)} sont directes, etc.

En résumé: il y a toujours deux orientations possibles sur un {\mathbb{R}}-espace vectoriel de dimension finie.
Le choix de la classe des bases dites positives est arbitraire.
Néanmoins on orientera toujours {\mathbb{R}^{n}} en décrétant que sa base canonique est directe.

Si {n=2}, le déterminant est une aire orientée

On se place ici dans {\mathbb{R}^{2}}, muni de son orientation canonique.

Définition (parallélogramme dans ℝ²)
Soit {u,v} deux vecteurs de {\mathbb{R}^{2}}. On appelle parallélogramme formé sur {u,v} l’ensemble des vecteurs {\alpha u+\beta v}, avec {0\le\alpha\le 1} et {0\le\beta\le1}.

Si on note {\mathcal{P}_{u,v}} l’ensemble précédent, on a bien sûr {\mathcal{P}_{u,v}=\mathcal{P}_{v,u}}.

On pourra appeler “parallélogramme unité” le parallélogramme formé sur les vecteurs {(1,0)} et {(0,1)} de la base canonique, c’est-à-dire les couples {(\alpha,\beta)}, avec {0\le\alpha\le 1} et {0\le\beta\le 1}.

Définition (aire orientée d'un parallélogramme dans ℝ²)
On se place dans {\mathbb{R}^{2}}, muni de sa base canonique {e}, et de son orientation canonique.
Soit {u,v} deux vecteurs de {\mathbb{R}^{2}}, et soit {\mathcal{P}_{u,v}} le parallélogramme formé sur {u} et {v}.
La quantité {\det_{e}(u,v)} est appelée “aire orientée” du parallélogramme {\mathcal{P}_{u,v}}.

Avec cette définition, l’aire du “parallélogramme unité” est égale à {1}.

L’aire orientée du parallélogramme {\mathcal{P}_{v,u}} est l’opposée de celle du parallélogramme {\mathcal{P}_{u,v}}.

L’aire orientée de {\mathcal{P}_{u,v}} est nulle si et seulement si {u} et {v} sont liés (“parallélogramme plat”).

Lien avec l’aire au sens usuel

On suppose ici que les vecteurs {u} et {v} sont libres (donc forment une base du plan {\mathbb{R}^{2}}).

Dans ces conditions, {\det_{e}(u,v)} est strictement positif si la base {(u,v)} est directe, strictement négatif sinon. Le signe de l’aire orientée du parallélogramme {\mathcal{P}_{u,v}} reflète donc l’orientation de la base {u,v}.

Supposons par exemple que la base {u,v} est directe.
Soit {v'} la projection de {v} sur la droite orthogonale à {u}.

Soit {\varepsilon_{1}=(\cos\,\theta,\sin\,\theta)} et {\varepsilon_{2}=(-\sin\,\theta,\cos\,\theta)} les vecteurs unitaires normalisés respectifs de {u} et {v'}.

Avec ces notations, on a : {\begin{array}{rl}\det_{e}(u,v)&=\left\|u\right\|\left\|{v'}\right\|\det_{e}(\varepsilon_{1},\varepsilon_{2})\\\\&=\left\|u\right\|\left\|{v'}\right\|\left|\begin{matrix}\cos\,\theta&-\sin\,\theta\cr \sin\,\theta&\cos\,\theta\end{matrix}\right|=\left\|u\right\|\left\|{v'}\right\|\end{array}}Enfin, la quantité {\left\|u\right\|\left\|{v'}\right\|} est bien l’aire, au sens usuel, du parallélogramme formé sur {u} et {v} (le produit de la “base” {\left\|u\right\|}, par la “hauteur” {\left\|{v'}\right\|}).

Si {n=3}, le déterminant est un volume orienté

Définition (parallélépipède dans ℝ³)
Soit {u,v,w} trois vecteurs de {\mathbb{R}^{3}}. On appelle parallélépipède formé sur {u,v,w} l’ensemble des vecteurs {\alpha u+\beta v+\delta w}, avec {0\le\alpha\le 1,\;0\le\beta\le1,\;0\le\delta\le 1}.

Si on note {\mathcal{P}_{u,v,w}} l’ensemble précédent, on a bien sûr {\mathcal{P}_{u,v,w}=\mathcal{P}_{v,u,w}=\mathcal{P}_{w,u,v}=...}

On pourra appeler “parallélépipède unité” le parallélépipède formé sur {(1,0,0)}, {(0,1,0)} et {(0,0,1)}, c’est-à-dire les couples {(\alpha,\beta,\delta)}, avec {0\le\alpha\le 1}, {0\le\beta\le 1} et {0\le\delta\le 1}.

Définition (volume orienté d'un parallélépipède dans ℝ³)
On se place dans {\mathbb{R}^{3}}, muni de sa base canonique {e}, et de son orientation canonique.
Soit {u,v,w} trois vecteurs de {\mathbb{R}^{3}}, et soit {\mathcal{P}_{u,v,w}} le parallélépipède formé sur {u,v,w}.
La quantité {\det_{e}(u,v,w)} est appelée “volume orienté” du parallélépipède {\mathcal{P}_{u,v,w}}.

Avec cette définition, le volume du “parallélépipède unité” est égal à {1}.

Si on échange deux vecteurs dans la famille {u,v,w}, le volume orienté est changé en son opposé.

Le volume orienté de {\mathcal{P}_{u,v,w}} est nulle si et seulement si {u,v,w} sont liés (“parallélépipède plat”).

Lien avec le volume au sens usuel

On suppose ici que les vecteurs {u,v,w} sont libres (donc forment une base de {\mathbb{R}^{3}}).

Alors {\det_{e}(u,v,w)} est strictement positif si la base {(u,v,w)} est directe, strictement négatif sinon.

Le signe du volume orienté du parallélépipède {\mathcal{P}_{u,v,w}} reflète donc l’orientation de la base {u,v,w}.

Supposons pour fixer les idées, que la base {u,v,w} est directe.

Dans le plan {\mathbb{R} u\oplus \mathbb{R} v}, soit {v'} la projection de {v} sur la droite vectorielle orthogonale à {u}.

Soit {w'} la projection de {w} sur la droite orthogonale au plan {\mathbb{R} u\oplus \mathbb{R} v=\mathbb{R} u\oplus \mathbb{R} v'} (faire un dessin).

Soit {\varepsilon_{1}}, {\varepsilon_{2}} et {\varepsilon_{3}} les vecteurs unitaires normalisés respectifs de {u,v',w'}.

La base {\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},\varepsilon_{3}} est orthonormale directe, donc {\det_{e}(\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},\varepsilon_{3})=1}. Alors : {\begin{array}{rl}\det_{e}(u,v,w)&=\det_{e}(u,v,w')=\det_{e}(u,v',w')\\[9pts]&=\left\|u\right\|\left\|{v'}\right\|\left\|{w'}\right\|\det_{e}(\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},\varepsilon_{3})\\[9pts]&=\left\|u\right\|\left\|{v'}\right\|\left\|{w'}\right\|\end{array}}Enfin, {\left\|u\right\|\left\|{v'}\right\|\left\|{w'}\right\|} est bien le volume, au sens usuel, du parallélépipède formé sur les vecteurs {u,v,w} (c’est-à-dire le produit de l’aire de la “base” {\left\|u\right\|\left\|{v'}\right\|} par la “hauteur” {\left\|{w'}\right\|}).

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