Déterminant d’une matrice

Plan du chapitre "Déterminants"

Déterminant d’une matrice carrée

Définition (déterminant d'une matrice carrée)
Soit {A=(a_{ij})} un élément de {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}.
On pose {\det(A)=\displaystyle\sum_{\sigma}\varepsilon(\sigma)\displaystyle\prod_{j=1}^na_{\sigma(j)j}} (somme étendue aux {n!} permutations {\sigma} de {\{1,2,\ldots,n\}}).

Cette définition, qui exprime {\det(A)} comme une expression développée des coefficients, est “neutre”.
En variant les points de vue, on aboutit en fait à plusieurs définitions équivalentes possibles…

Définitions équivalentes du déterminant d’une matrice carrée

Soit {A=(a_{ij})} une matrice carrée d’ordre {n} à coefficients dans {\mathbb{K}}.

  • Soit {C_{1},C_{2},\ldots,C_{n}} les vecteurs-colonne de {A}, considérés comme des éléments de {\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})}.
    Alors {\det(A)} est le déterminant de la famille {(C_{j})_{1\le j\le n}} dans la base canonique de {\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})}.
  • Soit {v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}} les vecteurs-colonne de {A}, considérés comme des éléments de {\mathbb{K}^{n}}.
    Alors {\det(A)} est le déterminant de la famille {(v_{j})_{1\le j\le n}} dans la base canonique de {\mathbb{K}^{n}}.
  • Soit {E} un espace vectoriel quelconque sur {\mathbb{K}}, de dimension {n}, muni d’une base {e=(e_{i})_{1\le i\le n}}.
    Soit {v=(v_{j})_{1\le j\le n}} la famille de {E} telle que {A=\text{Mat}_{e}(v)} : alors {\det(A)=\det_{e}(v)}.

  • Soit {f\colon \mathbb{K}^{n}\to\mathbb{K}^{n}}, linéaire, de matrice {A} dans la base canonique de {\mathbb{K}^{n}} : alors {\det(A)=\det(f)}.
    (ici {f} est l’application linéaire canoniquement associée à {A}).

En Python, on dispose de la fonction det, dans le module np.linalg.
Dans l’exemple ci-dessous, on forme une matrice aléatoire d’ordre {3}, à coefficients entiers dans {[[0,9]]}, et on calcule son déterminant. Le résultat est renvoyé au format float, mais c’est ici {\det(A)=42} qu’il faut comprendre.

>>> import numpy as np
>>> a = np.random.randint(10, size=(3, 3))
>>> print(a)
[[8 3 3] 
[0 3 1] 
[1 9 5]] 
>>> np.linalg.det(a)
41.999999999999986

Déterminants et matrices de passage

Soit {E} un {\mathbb{K}}-espace vectoriel de dimension {n\ge1}.
Soit {e} et {\varepsilon} deux bases de {E}, et soit {P} la matrice de passage de {e} à {\varepsilon}.
Alors on a l’égalité : {\det P=\det_{e}(\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_n)}.
Le “déterminant dans {(e)}” et le “déterminant dans {(\varepsilon)}” sont reliés par : {\det_e=\det P\det_\varepsilon}.
Ce résultat rappelle l’égalité {[u]_{e}=P[u]_\varepsilon} reliant les coordonnées dans {e} et {\varepsilon} d’un vecteur {u} de {E}.

Notation des déterminants

Soit {A=(a_{ij})} dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}. Le déterminant {\Delta} de {A} est noté {\Delta=\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1j}&\cdots&a_{1n} \cr a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2j}&\cdots&a_{2n} \cr \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots \cr a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{ij}&\cdots&a_{in} \cr \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots \cr a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nj}&\cdots&a_{nn}\end{matrix}\right|}
Plus généralement, c’est un tel “tableau” qu’on appellera déterminant d’ordre {n} (avec la signification qu’on lui a donné) sans qu’il soit nécessaire de préciser son “origine” (c’est-à-dire : matrice, famille de vecteurs, endomorphisme).

On ne confondra surtout pas {\Delta} (une valeur numérique) avec la matrice {A=(a_{ij})} elle-même.

Déterminants d’ordre {1}, {2}, ou {3}

Pour tout scalaire {a}, on a bien sûr {\left|a\right|=a} (ne
pas confondre avec la valeur absolue…).

Pour tous scalaires {a,b,c,d} : {\left|\begin{matrix}a&b\cr c&d\end{matrix}\right|=ad-bc}.

Pour tous {a,a',a'',b,b',b'',c,c',c''}, on a : {\left|\begin{matrix}a&a'&a''\cr b&b'&b''\cr c&c'&c''\end{matrix}\right|=ab'c''+bc'a''+ca'b''-cb'a''-ac'b''-ba'c''}

Proposition (déterminant du produit de deux matrices carrées)
Soit {A} et {B} deux éléments de {{\mathcal M}_n(\mathbb{K})}. Alors {\det(AB)=(\det A)(\det B)}.
Proposition (déterminant d'une matrice carrée inversible)
{A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{K})} est inversible si et seulement {\det(A)\ne0}. Dans ce cas : {\det(A^{-1})=\dfrac 1{\det(A)}}.

Conséquence : si les matrices carrées {A} et {B} sont semblables, alors elles ont le même déterminant.

Proposition (déterminant des puissances d'une matrice carrée)
Soit {A} dans {{\mathcal M}_n(\mathbb{K})} et soit {p} un entier naturel. Alors {\det(A^p)=(\det A)^p}.
Ce résultat se généralise aux exposants négatifs si {A} est une matrice inversible.
Proposition (déterminant de la tranposée d'une matrice carrée)
Soit {A} une matrice de {{\mathcal M}_n(\mathbb{K})}. Alors {\det(A)=\det({A}^{\top})}.

Conséquence importante : toutes les propriétés des déterminants qui s’expriment en termes de colonnes peuvent également s’exprimer en termes de lignes.

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