Déterminant d’un endomorphisme

Plan du chapitre "Déterminants"

Déterminant d’un endomorphisme

Proposition
Soit {E} un {\mathbb{K}}-espace vectoriel de dimension {n\ge1}. Soit {f} un endomorphisme de {E}.
Le scalaire {\det_e(f(e_1),f(e_2),\ldots,f(e_n))} est indépendant de la base {e} choisie dans {E}.
On l’appelle le déterminant de l’endomorphisme {f}, et on le note {\det(f)}.

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Propriétés immédiates
Par définition, le déterminant d’un endomorphisme {f} est égal au déterminant dans la base {e} des images par {f} des vecteurs de {e}, et ceci pour toute base de {E}.

En particulier, le déterminant de l’application {\text{Id}} vaut {1}.
En effet ce déterminant est égal à {\det_e(e_1,e_2,\ldots,e_n)}, pour une base {e} quelconque.

Pour tout endomorphisme {f}, tous vecteurs {u_1,u_2,\ldots,u_n}, et toute base {e}, on a : {\det_e(f(u_1),f(u_2),\cdots,f(u_n))=\det(f)\;\det_e(u_1,u_2,\ldots,u_n)}

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Proposition (déterminant du composé de deux endomorphismes)
Soit {E} un {\mathbb{K}}-espace vectoriel de dimension {n\ge1}.
Soit {f} et {g} deux endomorphismes de {E}. Alors {\det(gf)=\det(g)\,\det(f)}.

Rappel : on note {gf} plutôt que {g\circ f}.

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Proposition (déterminant d'un automorphisme)
Soit {E} un {\mathbb{K}}-espace vectoriel de dimension {n\ge1}. Soit {f} un endomorphisme de {E}.
Alors {f} est un automorphisme si et seulement {\det(f)\ne0}. Dans ce cas : {\det(f^{-1})=\dfrac 1{\det(f)}}.
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Proposition (déterminant des puissances d'un endomorphisme)
Soit {f} un endomorphisme de {E} et soit {p} un entier naturel. Alors {\det(f^p)=(\det f)^p}.
Ce résultat se généralise aux exposants négatifs si {f} est un automorphisme.
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