Déterminant dans une base

Plan du chapitre "Déterminants"

Application “déterminant dans une base”

Proposition (forme nécessaire d'une forme n-linéaire alternée)
Soit {E} un {\mathbb{K}}-espace vectoriel de dimension {n\ge1}, muni d’une base {e=(e_i)_{1\le i\le n}}.
Soit {f\colon E^n\to\mathbb{K}} une forme {n}-linéaire alternée sur {E}. Posons {\lambda=f(e_1,e_2,\ldots,e_n)}.
Alors l’application {f} est déterminée de manière unique par le scalaire {\lambda}.
Plus précisément, soit {u_1,u_2,\ldots,u_n} des vecteurs de {E}, de matrice {A=(a_{i,j})} dans {e}.
Alors {f(u_1,u_2,\ldots,u_n)=\lambda\Bigl(\displaystyle\sum_{\sigma}\varepsilon(\sigma)\displaystyle\prod_{j=1}^na_{\sigma(j)j}\Bigr)}

(somme sur les {n!} permutations {\sigma} de {\{1,\ldots,n\}})

Définition (application déterminant dans une base)
Soit {E} un {\mathbb{K}}-espace vectoriel de dimension {n\ge1}, muni d’une base {e=(e_i)_{1\le i\le n}}.
Soit {u=(u_j)_{1\le j\le n}} une famille de {n} vecteurs de {E}.
Soit {A=(a_{i,j})} sa matrice dans la base {e}.
On pose {\det_e(u_1,u_2,\ldots,u_n)=\displaystyle\sum_{\sigma}\varepsilon(\sigma)\displaystyle\prod_{j=1}^na_{\sigma(j)j}}

(somme étendue aux {n!} permutations {\sigma} de {\{1,\ldots,n\}})
L’application {\det_e\colon E^n\to\mathbb{K}} est appelée « application déterminant dans la base {e} ».

Cas particulier des petites dimensions

  • Si {n=1} ({E} est une droite vectorielle), soit {e} un vecteur non nul de {E}.
    Pour tout vecteur {u=a e} de {E}, on a : {\det_e(u)=a}.
  • Si {n=2} : Soit {e=(e_1,e_2)} une base du plan {E}.
    Soit {\begin{cases}u=a e_1+a' e_2\\v=b e_1+b' e_2\end{cases}}, donc {A=\begin{pmatrix}a&b\\ a'&b'\end{pmatrix}}.
    Alors {\det_e(u,v)=ab'-a'b}.
  • Si {n=3} : Soit {e=(e_1,e_2,e_3)} une base de {E}.
    Soit {\begin{cases}u=a e_1+a' e_2+a''e_3\\v=b e_1+b' e_2+b''e_3\\w=c e_1+c' e_2+c''e_3\end{cases}}
    Ainsi {A=\begin{pmatrix}a&b&c\\ a'&b'&c'\\a''&b''&c''\end{pmatrix}}. Alors :{\begin{array}{rl}\det_e(u,v,w)&=a\,b'\,c''-a\,b''\,c'-a'\,b\,c''\\[9pts]&\quad+a'\,b''\,c+a''\,b\,c'-a''\,b'\,c\end{array}}
Proposition (l'application Det_{e} est n-linéaire alternée, et non nulle)
Soit {E} un {\mathbb{K}}-espace vectoriel de dimension {n\ge1}. Soit {e=(e_i)_{1\le i\le n}} une base de {E}.
Alors l’application {\det_e\colon E^n\to\mathbb{K}} est {n}-linéaire alternée sur {E}.
De plus elle vérifie {\det_e(e_1,e_2,\ldots,e_n)=1}
Proposition (la droite des formes n-linéaires alternées sur un espace de dimension n)
Soit {E} un {\mathbb{K}}-espace vectoriel de dimension {n\ge1}. Soit {e=(e_i)_{1\le i\le n}} une base de {E}.
Pour toute forme {n}-linéaire alternée {f} sur {E}, on a : {f=\lambda\det_e}, où {\lambda=f(e_1,e_2,\ldots,e_n)}.
L’espace {\mathcal{A}_n(E,\mathbb{K})} est une droite vectorielle, et l’application {\det_e} en est une base.
L’application {\det_e} est en fait l’unique {f} de {\mathcal{A}_n(E,\mathbb{K})} tel que {f(e_1,e_2,\ldots,e_n)=1}.
Démonstration
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Relation entre applications “déterminant dans une base”

Proposition
Soit {E} un {\mathbb{K}}-espace vectoriel de dimension {n\ge1}.
Soit {e=(e_i)_{1\le i\le n}} et {\varepsilon=(\varepsilon_i)_{1\le i\le n}} deux bases de {E}.
Pour tous vecteurs {u_1,u_2,\ldots,u_n} de {E}, on a : {\begin{array}{rl}\det_\varepsilon(u_1,\ldots,u_n)\\[9pts]\quad=\det_\varepsilon(e_1,\ldots,e_n)\det_e(u_1,\ldots,u_n)\end{array}}

D’une façon plus compacte, le résultat précédent peut s’écrire : {\det_\varepsilon(u)=\det_\varepsilon(e)\det_e(u)}.

Démonstration
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Proposition (caractérisation des bases)
Soit {E} un {\mathbb{K}}-espace vectoriel de dimension {n\ge1}, muni d’une base {e=(e_i)_{1\le i\le n}}.
Soit {u=(u_i)_{1\le j\le n}} une famille de {n} vecteurs de {E}.
La famille {(u)} est une base de {E} si et seulement si {\det_e(u_1,u_2,\ldots,u_n)\ne0}.
Démonstration
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