Rolle et accroissements finis

Plan du chapitre "Dérivabilité"

Extremum local et point critique

Définition (extremum local)
Soit {f:I\to\mathbb{R}} une fonction numérique définie sur l’intervalle {I}. Soit {a} un élément de {I}.
On dit que {f} présente un maximum local en {a} si : {\exists\,\varepsilon>0,\;\forall\, x\in I,\;(\left|x-a\right|\le\varepsilon\Rightarrow f(x)\le f(a))}On dit que {f} présente un minimum local en {a} si : {\exists\,\varepsilon>0,\;\forall\, x\in I,\;(\left|x-a\right|\le\varepsilon\Rightarrow f(x)\ge f(a))}On dit que {f} présente un extremum local en {a} si {f} y présente un maximum ou un minimum local.

Si {f(x)\le f(a)} pour tout {x} de {I}, on dit que {f} présente un maximum absolu en {a}.
On définit de même la notion de minimum absolu et d’extremum absolu.

Définition (point critique d'une fonction dérivable)
Soit {f:I\to\mathbb{R}} une fonction dérivable. Soit {a} un élément de {I}.
On dit que {a} est un point critique de {f} si la dérivée de {f} est nulle en {a}.
Proposition
Soit {f:I\to\mathbb{R}} une fonction dérivable. Soit {a} un point intérieur à {I}.
Si {f} possède un extrémum local en {a}, alors {f'(a)=0} ({a} est donc un point critique de {f}).

Remarques:

La réciproque est fausse : un point critique ne désignée pas nécessairement un extremum relatif.

Par exemple, avec {f(x)=x^3}, on a {f'(0)=0} mais {f} n’a pas d’extrémum en {0}.

En fait, les extrémums locaux de {f} sur {I} sont à chercher parmi les points où {f} n’est pas dérivable, parmi les extrémités de {I}, et parmi les points critiques intérieurs à {I}. Le graphe ci-dessous illustre quelques cas possibles. On y voit une fonction définie sur le segment {[a,b]}, avec les propriétés suivantes :

  • en {a}, la dérivée n’est pas nulle, mais {f} présente en ce point un maximum absolu.
  • en {\alpha}, il y a un minimum absolu, et en ce point {f} n’est pas dérivable.
  • on voit que {\beta} est un point critique, et que ça correspond à un maximum relatif.
  • on voit que {\delta} est un point critique, mais ça ne correspond à aucun extremum relatif.
  • en {b}, la dérivée n’est pas nulle, mais {f} présente en ce point un minimum relatif.

Théorème de Rolle

Proposition (Théorème de Rolle)
Soit {f:[a,b]\to\mathbb{R}} une fonction définie sur le segment {[a,b]}, avec {a\lt b}, à valeurs réelles.
On suppose que {f} est continue sur {[a,b]}, dérivable sur {]a,b[}, et que {f(a)=f(b)}.
Alors il existe {c} dans {]a,b[} tel que {f'(c)=0}.

Interprétation géométrique

Soit {(\Gamma)} la courbe de {f}. Soit {A,B} les points d’abscisse {a,b} de {(\Gamma)}.

Avec les hypothèses du théorème de Rolle, il y a un point {C} de {(\Gamma)}, distinct de {A} et {B}, en lequel la tangente à {(\Gamma)} est horizontale.

Comme on le voit sur l’illustration ci-dessous, il est possible qu’il existe plusieurs points strictement compris entre {A} et {B} et en lesquels la tangente à {(\Gamma)} est horizontale (donc plusieurs valeurs de {c} dans {]a,b[} pour lesquelles {f'(c)=0}).

Remarques

  • Les hypothèses du théorème de Rolle sont extrêmement importantes (continuité sur le segment, dérivabilité à l’intérieur du segment, valeurs identiques aux extrémités).

    Si l’une de ces hypothèses disparaît, alors le résultat ne tient plus (trouver des contre-exemples!).
    Quand on utilise le théorème de Rolle, il faut le citer avec les hypothèses ci-dessus (et qui sont minimales), même si dans la pratique les propriétés de {f} sont souvent plus “confortables”.

  • Le théorème de Rolle est souvent utilisé de manière répétée.

    Supposons par exemple que {f} soit deux fois dérivable sur un intervalle {I}, et qu’il existe trois points {a\lt b\lt c} de {I} tels que {f(a)=f(b)=f(c)}.

    Avec “Rolle” sur {[a,b]} et sur {[b,c]}, il existe {\alpha} dans {]a,b[} et {\beta} dans {]b,c[} tels que {f'(\alpha)=f'(\beta)=0}.
    En appliquant Rolle à {f'} sur {[\alpha,\beta]}, on en déduit qu’il existe {\gamma} dans {]\alpha,\beta[} tel que {f''(\gamma)=0}.

    Plus généralement, si {f} est {n} fois dérivable sur {I}, et si elle s’annule en {n+1} points distincts, on montre (par une application répétée du théorème de Rolle) qu’il existe un élément {c} de {I} en lequel la fonction dérivée {n}-ième {f^{(n)}} s’annule.

Égalité des accroissements finis

Proposition (égalité des accroissements finis)
Soit {f:[a,b]\to\mathbb{R}} une fonction définie sur le segment {[a,b]}, avec {a\lt b}, à valeurs réelles.
On suppose que {f} est continue sur {[a,b]}, dérivable sur {]a,b[}.
Alors il existe {c} dans {]a,b[} tel que {f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)}, c’est-à-dire : {\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)}.

Interprétation géométrique
Soit {(\Gamma)} la courbe de {f}. Soient {A,B} les points d’abscisse {a,b} de {(\Gamma)}.

Avec les hypothèses de l’égalité des accroissements finis, il y a un point {(C)} de {(\Gamma)}, disctint de {A} et {B}, en lequel la tangente à {(\Gamma)} est parallèle à la corde {(AB)}.

Comme on le voit sur l’illustration ci-dessous, il est possible qu’il existe plusieurs points strictement compris entre {A} et {B} et en lesquels la tangente à {(\Gamma)} est est parallèle à la corde {(AB)} (donc plusieurs valeurs de {c} dans {]a,b[} pour lesquelles {f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)}).

Remarques

  • Soit {f:[a,b]\to\mathbb{R}} une fonction continue sur {[a,b]}, dérivable sur {]a,b[} ({a\lt b}).
    On suppose que : {\forall\, x\in ]a,b[,\;m\le f'(x)\le M}.
    Alors {m(b-a)\le f(b)-f(a)\le M(b-a)}.
  • L’égalité {f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)} est invariante par échange de {a} et {b}.
    Il n’est donc pas nécessaire d’imposer {a\lt b}, mais seulement d’indiquer que {c} est strictement compris entre {a} et {b}.
  • Interprétation cinématique : si un point mobile se déplace sur une droite, pendant un intervalle de temps {a\le t\le b}, avec une vitesse variable {v(t)}, alors il existe au moins un instant {t_{0}} en lequel sa vitesse instantanée est exactement égale à sa vitesse moyenne sur tout l’intervalle de temps.

L’égalité des accroissements finis est souvent écrite de la manière suivante :

Proposition (une autre version de l'égalité des accroissements finis)
Soit {f} une fonction continue sur {[a,a+h]} et dérivable sur {]a,a+h[}.
Alors il existe {\,\theta} dans {]0,1[} tel que : {f(a+h)=f(a)+hf'(a+\,\theta h)}.

Dans la version précédente de l’égalité des accroissements finis, le signe de {h} est quelconque.

On peut donc reformuler le résultat de la façon suivante :

Proposition (une version locale de l'égalité des accroissements finis)
Soit {f} une fonction dérivable au voisinage de {a} (sur un intervalle {]a-\delta,a+\delta[}, avec {\delta>0}).
Alors, pour tout {h} tel que {\left|h\right|\lt \delta}, il existe {\,\theta\in\,]0,1[} tel que : {f(a+h)=f(a)+hf'(a+\,\theta h)}.

Remarque : dans les deux énoncés précédents, {\,\theta} dépend de {h} (le mieux serait donc de le noter {\,\theta_{h}}).

Inégalité des accroissements finis

Définition (fonction lipschitzienne)
Soit {f:I\to\mathbb{R}} une fonction définie sur un intervalle {I}. Soit {K} un réel strictement positif.
On dit que {f} est {K}-lipschitzienne sur {I} si : {\forall\, (x,y)\in I^{2},\;\left|f(y)-f(x)\right|\le K\left|y-x\right|}.

Remarques

  • Si {f} est lipschitzienne sur l’intervalle {I}, elle est continue sur cet intervalle.
    La réciproque est fausse comme on le voit avec {x\mapsto \sqrt{x}} sur {[0,1]}.
  • Le caractère lipschitzien est une propriété globale, alors que la continuité est une notion locale. Cela n’a donc aucun sens de parler de fonction lipschitzienne en un point.
  • Quand une fonction est {K}-lipschitzienne, avec {K\lt 1}, on dit qu’elle est contractante.

Le résultat ci-dessous est appelé “inégalité des accroissement finis”.
Il constitue une condition suffisante pour qu’une fonction soit lipschitzienne sur un intervalle.

Proposition (inégalité des accroissement finis)
Soit {f:I\to\mathbb{R}} une fonction dérivable. On suppose que {\left|f'(x)\right|\le K} pour tout {x} de {I}.
Alors la fonction {f} est {K}-lipschitzienne sur {I}.
Autrement dit, pour tous {x,y} de {I}, on a : {\left|f(y)-f(x)\right|\le K\left|y-x\right|}.

Une situation usuelle où les hypothèses précédentes sont réalisées est : {f} est de classe {\mathcal{C}^1} sur {[a,b]}.

En effet {f'} est alors continue donc bornée sur {[a,b]}, et on peut utiliser {K=\displaystyle\sup_{x\in[a,b]}\left|f'(x)\right|}.

Utilisation pour les suites définies par une récurrence {u_{n+1}=f(u_{n})}

On se donne une suite {(u_{n})_{n\ge0}}, définie par une relation de récurrence {u_{n+1}=f(u_{n})}.

Soit {\ell} un point fixe de {f} (c’est-à-dire {f(\ell)=\ell}, donc {\ell} est une limite éventuelle de la suite {(u_{n})_{n\ge0}}).

On suppose que {f} est {\mathcal{C}^{1}} sur un intervalle {I} contenant {\ell}, et que {\left|f'(\ell)\right|\lt 1}.

Par continuité, il existe un segment {J} contenant {\ell} et sur lequel on a {\left|f'(x)\right|\le K\lt 1}.
On en déduit que {f} est {K}-lipschitzienne (donc contractante) sur le segment {J}.

Supposons que le terme initial {u_{0}} soit dans le segment {J}.
Alors, pour tout {n} de {\mathbb{N}}, le terme {u_{n}} est encore dans {J} (le segment {J} est donc stable par {f}).
Cela résulte en effet d’une récurrence facile et de : {\left|u_{n+1}-\ell\right|=\left|f(u_{n})-f(\ell)\right|\le K\left|u_{n}-\ell\right|\le \left|u_{n}-\ell\right|}
Toujours par récurrence facile, on trouve {\left|u_{n}-\ell\right|\le K^{n}\left|u_{0}-\ell\right|} pour tout {n}. Ainsi {\lim u_{n}=\ell}.

On exprime cette situation (le fait que {\left|f'(\ell)\right|\lt 1}) en disant que {\ell} est un point fixe attractif de {f}.

La convergence de {(u_{n})_{n\ge0}} est d’autant plus rapide que {K} est proche de {0} (et donc que {\left|f'(\ell)\right|} est lui-même proche de {0}, c’est-à-dire que la tangente au point fixe est proche de l’horizontale).

Remarque (cas d’un point fixe répulsif)

Supposons {\left|f'(\ell)\right|>1}, toujours avec {f(I)\subset I}, {f} {{\mathcal C}^{1}} sur {I}, et {f(\ell)=\ell}.

On dit alors que {\ell} est un point fixe répulsif de {f}. La suite {(u_{n})_{n\ge0}} ne peut alors pas converger vers {\ell} (sauf s’il existe un entier {n_{0}} tel que {u_{n_{0}}=\ell}, car alors la suite stationne en {\ell}).

Pour ces questions, on se reportera au contenu de la section sur les points attractifs ou répulsifs dans le chapitre “Suites numériques”.

Dérivabilité et sens de variation

Dans les propositions suivantes, {I} est un intervalle de {\mathbb{R}}, d’intérieur non vide.

Pour assurer des résultats de monotonie de {f} sur l’intervalle {I} (donc y compris aux extrémités) il suffit de vérifier des hypothèses sur la dérivée de {f} à l’intérieur de {I}.

Pour que la monotonie reste vraie “extrémités incluses” on utilise la continuité de {f} en ces extrémités.
On note {\mathring{I}} “l’intérieur” de {I}, c’est-à-dire {I} privé de ses extrémités éventuelles.

Proposition (caractérisation des fonctions constantes)
Toute fonction constante {f} de {I} dans {\mathbb{R}} est dérivable sur {I} et : {\forall\, x\in I,\;f'(x)=0}.
Réciproquement, soit {f:I\to\mathbb{R}}, une fonction continue sur {I}, dérivable sur l’intérieur {\mathring{I}} de {I}.
Si on a {f'(x)=0} pour tout {x} de {\mathring{I}}, alors {f} est constante sur {I}.
Proposition (caractérisation des fonctions monotones)
Soit {f:I\to\mathbb{R}} une fonction continue sur {I}, dérivable sur l’intérieur {\mathring{I}} de {I}.
La fonction {f} est croissante sur {I} si et seulement si : {\forall\, x\in \mathring{I},\;f'(x)\ge0}.
La fonction {f} est décroissante sur {I} si et seulement si : {\forall\, x\in \mathring{I},\;f'(x)\le0}.
Proposition (caractérisation des fonctions strictement monotones)
Soit {f:I\to\mathbb{R}} une fonction continue sur {I}, dérivable sur l’intérieur {\mathring{I}} de {I}.
Alors {f} est strictement monotone sur {I} si et seulement si {f'} garde un signe constant sur {\mathring{I}}, ne s’annulant sur aucun sous-intervalle de {\mathring{I}} d’intérieur non vide (c’est-à-dire ne s’annulant éventuellement qu’en des points isolés de {\mathring{I}}).

Exemple : la fonction {f:x\mapsto x-\sin(x)} a pour dérivée {f'(x)=1-\cos(x)}.
Cette dérivée reste positive ou nulle sur {\mathbb{R}}, et ne s’annule qu’aux points isolés {x_{k}=2k\pi} (avec {k} dans {\mathbb{Z}}).
La fonction {f} est donc strictement croissante sur {\mathbb{R}}.

Proposition (fonctions ayant la même dérivée)
Soit {f} et {g} deux fonctions continues sur {I}, dérivables sur l’intérieur {\mathring{I}} de {I}.
Les deux conditions suivantes sont équivalentes :
— pour tout {x} de {I}, on a {f'(x)=g'(x)}.
— il existe une constante {\lambda} telle que : {\forall x\in I,\;g(x)=f(x)+\lambda}.

Remarques

Les résultats précédents découlent du théorème de Rolle.
Comme lui, il ne sont valables que sur un intervalle, et pas sur une réunion d’intervalles.

Par exemple, si {f(x)=\dfrac1x} alors {f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}\lt 0} sur {\mathbb{R}^*}, mais {f} n’est pas monotone sur {\mathbb{R}^*}.

De même, si deux fonctions dérivables sur {\mathbb{R}^*} vérifient {f'=g'} sur {\mathbb{R}^*}, alors elles diffèrent d’une constante {\lambda} sur {\mathbb{R}^{-*}} et d’une constante {\mu} (a priori sans rapport avec {\lambda}) sur {\mathbb{R}^{+*}}.

Théorème de la limite de la dérivée

Proposition (théorème de la limite de la dérivée)
Soit {f} une fonction continue sur un intervalle {I}. Soit {a} un point de {I}.
On suppose que {f} est dérivable sur {I\setminus\{a\}}, et que {\displaystyle\lim_{x\to a}f'(x)=\ell}, avec {\ell} dans {\overline{\mathbb{R}}}.
Alors, sous ces hypothèses, on a {\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=\ell}.

Cas particuliers et interprétations géométriques

Avec les notations de la proposition précédente :

  • Si {\ell=+\infty} ou {\ell=-\infty}, la courbe de {f} présente en {A(a,f(a))} une tangente verticale.
    C’est le cas notamment pour {x\mapsto \arcsin x} et {x\mapsto \arccos x} en {x=-1} et en {x=1}.
  • Si {\ell\in\mathbb{R}}, alors {f} est dérivable en {a} et {f'(a)=\ell}. Ainsi prolongée, {f'} est continue en {a}.
    En particulier, si {f'} est continue sur {I\setminus\{a\}}, la fonction {f} est maintenant de classe {\mathcal{C}^{1}} sur {I} tout entier (et on peut alors parler de “théorème de classe {\mathcal{C}^{1}} par prolongement”).

  • Le résultat précédent permet d’affirmer la dérivabilité d’une fonction en un “point à problème”.
    Par rapport à la méthode traditionnelle (limite du taux d’accroissement entre {A(a,f(a))} et {M(x,f(x))} quand {x\to a}, donc position limite de la corde {(AM)}), on utilise ici la limite de {f'(x)} quand {x\to a} (donc la position limite de la tangente en {M} “quand {M} tend vers {A}“).
    Les calculs sont souvent plus compliqués avec {\displaystyle\lim_{x\to a}f'(x)}, mais on y gagne la continuité de {f'} en {a}.

  • On illustre ici le cas d’une tangente verticale en {A(a,f(a))}.

    Tout d’abord avec le théorème de la limite de la dérivée ({\displaystyle\lim_{x\to a}f'(x)=+\infty}) :

    Ensuite avec la position limite des cordes :


Un contre-exemple utile

On considère la fonction {f} définie sur {\mathbb{R}^{*}} par {f(x)=x^{2}\sin\Bigl(\dfrac{1}{x}\Bigr)} et par {f(0)=0}.

Elle est continue sur {\mathbb{R}^{*}} (théorèmes généraux) et en {0} (inégalité {\left|f(x)\right|\le x^{2}}).

La fonction {f} est {\mathcal{C}^{1}} sur {\mathbb{R}^{*}}, avec {f'(x)=2x\sin\Bigl(\dfrac{1}{x}\Bigr)-\cos\Bigl(\dfrac{1}{x}\Bigr)}.

Pour {x\ne0}, on a {\left|{\dfrac{f(x)-f(0)}{x}}\right|=\left|{x\sin\Bigl(\dfrac{1}{x}\Bigr)}\right|\le\left|x\right|} donc {\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=0}.

Ainsi {f} est dérivable en {0} et {f'(0)=0}.

En revanche, la limite de {f'(x)=2x\sin\Bigl(\dfrac{1}{x}\Bigr)-\cos\Bigl(\dfrac{1}{x}\Bigr)} n’existe pas quand {x} tend vers {0}.

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