Fonctions de classe Ck

Plan du chapitre "Dérivabilité"

Fonctions de classe {\mathscr{C}^{k}} sur un intervalle

On rappelle que {I} désigne un intervalle de {\mathbb{R}} d’intérieur non vide.

Définition (fonctions k fois dérivables sur un intervalle)
Soit {f:I\to\mathbb{R}} une fonction numérique réelle définie sur l’intervalle {I}. On pose {f^{(0)}=f}.
Si la fonction {f^{(k)}}, avec {k} dans {\mathbb{N}}, est définie et dérivable sur {I}, on pose {f^{(k+1)}=(f^{(k)})'}.
Si {f^{(k)}} est définie sur {I}, on dit que {f} est {k} fois dérivable sur {I}.
La fonction {f^{(k)}} est appelée dérivée {k}-ième de {f} sur {I}. On peut la noter {\text{D}^k(f)} ou {\dfrac{\text{d}^{k}f}{\text{d}\,x^k}}.

On note {f''} et {f'''}, plutôt que {f^{(2)}} et {f^{(3)}}, les dérivées seconde et troisième de {f}.

Évidemment toujours, on ne confondra jamais les notations {f^{(k)}} et {f^{k}}.

Définition (fonction de classe Ck sur un intervalle)
Soit {f:I\to\mathbb{R}} une fonction numérique définie sur l’intervalle {I}. Soit {k} un entier naturel.
Si {f:I\to\mathbb{R}} est {k} fois dérivable, et si {f^{(k)}} est continue sur {I}, on dit que {f}est de classe {\mathcal{C}^k} sur {I}.
On dit que {f} est de classe {\mathcal{C}^\infty} sur {I} si {f} est indéfiniment dérivable sur {I}.
On note {{\mathcal C}^k(I,\mathbb{R})} l’ensemble des fonctions de classe {\mathcal{C}^k} de {I} dans {\mathbb{R}} (avec {k\in\mathbb{N}\cup\{+\infty\}}).

Remarques:

  • Si {f} est de classe {\mathcal{C}^{k}} sur {I}, avec {k\ge1}, toutes les fonctions dérivées {j}-ièmes, avec {0\le j\lt k} sont évidemment continues sur {I} puisqu’elles y sont (au moins une fois) dérivables.
  • On dit souvent d’une fonction de classe {\mathcal{C}^k} qu’elle est “{k} fois continûment dérivable”.
  • Dire que {f} est de classe {{\mathcal C}^0}, c’est dire que {f} est continue.
    Pour tout {k} de {\mathbb{N}}, on a bien sûr {\mathcal{C}^{k+1}(I,\mathbb{R})\subset{\mathcal{C}}^k(I,\mathbb{R})}. Par ailleurs {\mathcal{C}^\infty(I,\mathbb{R})=\displaystyle\bigcap_{k\in\mathbb{N}}\mathcal{C}^k(I,\mathbb{R})}.
  • On dit parfois “{f} est {\mathcal{C}^{k}} sur {I}” plutôt que “{f} est de classe {\mathcal{C}^{k}} sur {I}“.
  • On a {f^{(k)}\equiv0} sur {I} si seulement si {f} est une fonction polynomiale, avec {\deg(f)\lt k}.

Opérations sur les fonctions de classe {\mathscr{C}^{k}}

Dans les énoncés suivants, {k} est un élément de {\mathbb{N}\cup\{+\infty\}}.

Proposition (combinaisons linéaires de fonctions de classe Ck)
Soient {f} et {g} deux fonctions de classe {\mathcal{C}^k} de {I} dans {\mathbb{R}}. Soient {\alpha,\beta} deux réels.
Alors {\alpha f+\beta g} est de classe {\mathcal{C}^k} sur {I} et : {(\alpha f+\beta g)^{(k)}=\alpha f^{(k)}+\beta g^{(k)}}.
Proposition (formule de Leibniz)
Soit {k} un élément de {\mathbb{N}\cup\{+\infty\}}. Soient {f} et {g} deux fonctions de classe {\mathcal{C}^k} de {I} dans {\mathbb{R}}.
Alors la fonction {fg} est de classe {\mathcal{C}^k} sur {I} et on a : {(fg)^{(k)}=\displaystyle\sum\limits_{j=0}^k\binom{k}{j}f^{(j)}g^{(k-j)}}.
Proposition (inverse d'une fonction de classe Ck)
Si {f:I\to\mathbb{R}} est de classe {\mathcal{C}^k} sur {I} et ne s’annule pas, alors {\dfrac1f} est de classe {\mathcal{C}^k} sur {I}.
Proposition (composition de fonctions de classe Ck)
Soit {f:I\to\mathbb{R}}, et {g:J\to\mathbb{R}}, toutes deux de classe {\mathcal{C}^k}, avec {f(I)\subset J}.
Alors la fonction {g\circ f} est de classe {\mathcal{C}^k} de {I} dans {\mathbb{R}}.
Proposition (bijection réciproque d'une fonction de classe Ck)
Soit {f} une fonction de classe {\mathcal{C}^k} de {I} dans {\mathbb{R}}.
On suppose que {f'(x)>0} pour tout {x} de {I}, ou que {f'(x)\lt 0} pour tout {x} de {I}.
La fonction {f} réalise donc une bijection de {I} sur un intervalle {J}.
Dans ces condtions, la bijection réciproque {f^{-1}} est également de classe {\mathcal{C}^k}.

Exemples de fonctions de classe {\mathcal{C}^\infty}

  • Les fonctions polynomiales sont de classe {\mathcal{C}^\infty} sur {\mathbb{R}}.
    Il en est de même des fonctions rationnelles (sur leur domaine de définition).
  • Les fonctions {x\mapsto x^\alpha} et {x\mapsto\ln x} sont de classe {\mathcal{C}^\infty} sur {\mathbb{R}^{+*}}.
    Les fonctions {x\mapsto\exp x}, {x\mapsto\text{ch}\,x}, {x\mapsto\text{sh}\,x} et {x\mapsto\text{th}\,x} sont de classe {\mathcal{C}^\infty} sur {\mathbb{R}}.
  • Les fonctions {x\mapsto\sin x} et {x\mapsto\cos x} sont de classe {\mathcal{C}^\infty} sur {\mathbb{R}}.
    La fonction {x\mapsto\tan x} est {\mathcal{C}^\infty} sur son domaine. La fonction {x\mapsto\arctan x} est {\mathcal{C}^\infty} sur {\mathbb{R}}.
    Les fonctions {x\mapsto\arcsin x}, et {x\mapsto\arccos x} sont {\mathcal{C}^\infty} sur {]-1,1[}.

  • Les fonctions qui se déduisent des précédentes par somme, produit, quotient, puissance et composition sont de classe {\mathcal{C}^\infty} sur leur domaine de définition.

Théorème de classe {\mathscr{C}^{k}} par prolongement

Proposition
Soit {I} un intervalle d’intérieur non vide, et soit {a} un élément de {I}. Soit {k\in\mathbb{N}}.
On se donne une fonction {f}, définie et de classe {\mathcal{C}^{k}} sur {I\setminus\{a\}}.
On suppose que, pour tout {j} de {\{0,\ldots,k\}}, la limite {\ell_{j}=\displaystyle\lim_{x\to a}f^{(j)}(x)} existe et est finie.
En particulier, on peut prolonger {f} en {a}, par continuité, en posant {f(a)=\ell_{0}}.
Ainsi prolongée, {f} est de classe {\mathcal{C}^{k}} sur {I} et : {\forall\, j\in\{0,\ldots,k\},\;f^{(j)}(a)=\ell_{j}}.

Le résultat précédent s’étend à {k=+\infty}, en remplaçant “{\forall\, j\in\{0,\ldots,k\}}” par “{\forall\, j\in\mathbb{N}}“.

Le cas de la fonction définie sur {\mathbb{R}^{+*}} par {f(x)=\exp\Bigl(-\dfrac{1}{x}\Bigr)} est classique.

Il est clair en effet que {f} est de classe {\mathcal{C}^{\infty}} sur {\mathbb{R}^{+*}} (opérations entre fonctions de classe {\mathcal{C}^{\infty}}).

On montre (récurrence) que {f^{(n)}(x)=\dfrac{P_{n}(x)}{x^{2n}}\exp\Bigl(-\dfrac{1}{x}\Bigr)}, où {P_{n}} est un polynôme tel que {P_{n}(0)=1}.

On en déduit (par croissances comparées): {\displaystyle\lim_{x\to0^{+}}f^{(n)}(x)=\displaystyle\lim_{x\to0^{+}}\dfrac{1}{x^{2n}}\exp\Bigl(-\dfrac{1}{x}\Bigr)=\displaystyle\lim_{X\to+\infty}X^{2n}\exp(-X)=0}
Ainsi la fonction {f}, prolongée par {f(0)=0}, est de classe {\mathcal{C}^{\infty}} sur {\mathbb{R}^{+}}.

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