Extension aux fonctions complexes

Plan du chapitre "Dérivabilité"

Fonctions de classe {\mathscr{C}^{k}} à valeurs dans {\mathbb{C}}

Définition (fonctions de classe Ck à valeurs complexes)
Soit {f:I\to\mathbb{C}} une fonction à valeurs complexes. Soit {u=\text{Re}(f)} et {v=\text{Im}(f)}.
On dit que {f} est {\mathcal{C}^{k}} sur {I} si et seulement si {u} et {v} sont {\mathcal{C}^{k}} sur {I}.
On note alors {f^{(k)}=u^{(k)}+iv^{(k)}} et on dit que {f^{(k)}} est la fonction dérivée {k}-ième de {f}.

Important: s’il est possible de considérer des fonctions dérivables sur un intervalle {I} de {\mathbb{R}} et à valeurs complexes, on ne parlera jamais de la dérivée d’une fonction qui serait définie sur une partie de {\mathbb{C}}.

On retiendra qu’on ne dérive jamais (autant le répéter) par rapport à une variable complexe.

Cela rejoint une faute à ne jamais commettre: on ne dérive jamais par rapport à une variable entière!

Par exemple, pour étudier la monotonie d’une suite réelle, ça n’a aucun sens de dériver l’expression de {u_{n}} par rapport à l’entier {n}. Voilà c’est dit.

Extension des résultats

Un certain nombre de résultats s’étendent aux fonctions complexes, mais pas tous :

  • Les résultats sur les opérations entre fonctions de classe {\mathcal{C}^{k}} (combinaison linéaire, produit, quotient, et les calculs qui vont avec) sont encore valables pour les fonctions à valeurs dans {\mathbb{C}}.
    La formule de Leibniz est encore valable.
  • Le cas de la composition est un peu à part. Pour pouvoir affirmer que {g\circ f} est de classe {\mathcal{C}^{k}}, il faut que {f,g} soient {\mathcal{C}^{k}} mais que {f} soit à valeurs réelles (alors que {g} peut être à valeurs complexes).
  • La fonction {f-g} est constante sur {I} si et seulement si on a {f'=g'} sur {I}.
    En revanche, il n’est plus question de lier le “signe de la dérivée” avec le “sens de variations”, car aucune de ces deux notions n’a de sens pour les fonctions à valeurs dans {\mathbb{C}}.

    On pourrait toujours parler de “point critique “(un point où la dérivée s’annule), mais cette notion ne présente plus beaucoup d’intérêt (puisqu’on a perdu la notion d’extremum relatif).

  • Il n’y a plus de théorème de la bijection réciproque.
  • Important: il n’y a pas de théorème de Rolle pour les fonctions à valeurs dans {\mathbb{C}}.
    On retiendra l’exemple classique de la fonction {f\colon t\mapsto \text{e}^{it}}, dont la dérivée est {f'(t)=i\text{e}^{it}}.
    On a {f(0)=f(2\pi)} (valeur commune {1}), mais la dérivée de {f} ne s’annule jamais!
  • Conséquence de la perte du théorème de Rolle, on perd l’égalité des accroissements finis, mais attention, il reste toujours l’inégalité des accroissements finis (voir plus loin).

  • Le théorème de classe {\mathscr{C}^{k}} par prolongement est encore valable, bien que rarement utilisé.

  • On peut encore définir les fonctions {K}-lipschitziennes (dans {\left|f(y)-f(x)\right|\le K\left|y-x\right|} : c’est un module à gauche, une valeur absolue à droite.
Proposition (inégalité des accroissements finis pour une fonction de classe C1)
Soit {f:I\to\mathbb{C}} une fonction de classe {\mathcal{C}^{1}}. On suppose {\left|f'(x)\right|\le K} pour tout {x} de {I}.
Alors la fonction {f} est {K}-lipschitzienne sur {I}.
Autrement dit, pour tous {x,y} de {I}, on a: {\left|f(y)-f(x)\right|\le K\left|y-x\right|}.

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