Calculs de quelques cardinaux usuels

Plan du chapitre "Dénombrements"
Proposition (produit cartésien de deux ensembles finis)
Soit {A,B} deux ensembles finis.
Alors {A\times B} est un ensemble fini et {\text{card}(A\times B)=\text{card}(A)\,\text{card}(B)}.
Démonstration
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Plus généralement, si {A_1,A_2,\ldots,A_n} sont finis, alors {\text{card}\big(\displaystyle\prod_{k=1}^nA_k\big)=\displaystyle\prod_{k=1}^n\text{card}(A_k)}.
Si {A} est fini, alors {\text{card}(A^n)=\text{card}(A)^n} pour tout {n\ge1}.

Proposition (cardinal de l'union de deux ensembles finis)
Si {A,B} sont finis disjoints, alors {A\cup B} est fini et {\text{card}(A\cup B)=\text{card}(A)+\text{card}(B)}.
Dans le cas général: {\text{card}(A\cup B)=\text{card}(A)+\text{card}(B)-\text{card}(A\cap B)}.
Démonstration
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Si {A_1,\ldots,A_n} sont finis,
alors {\bigcup\limits_{k=1}^{n}A_k} est fini et {\text{card}(\bigcup\limits_{k=1}^{n}A_k)\le \displaystyle\sum_{k=1}^n\text{card}(A_k)}.
L’inégalité précédente est une égalité si et seulement si les {A_{k}} sont disjoints deux à deux.

Démonstration
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Si {A}, {B}, {C} sont trois ensembles finis (en notant {\left|E\right|} plutôt que {\text{card}(E)}) : {\left|{A\cup B\cup C}\right|=\left|A\right|+\left|B\right|+\left|C\right|-\left|A\cap B\right|-\left|A\cap C\right|-\left|{B\cap C}\right|+\left|{A\cap B\cap C}\right|}

Proposition (cardinal de l'ensemble des applications entre deux ensembles finis)
Soit {A,B} deux ensembles finis, avec {\text{card}(A)=n} et {\text{card}(F)=p}.
Soit {\mathcal{F}(A,B)} l’ensemble des applications de {A} dans {B}.
Alors {\mathcal{F}(A,B)} est un ensemble fini, et {\text{card}(\mathcal{F}(A,B))=p^{n}}.

Ainsi {\text{card}(\mathcal{F}(A,B))=\text{card}(B)^{\,\text{card}(A)}}, ce qui justifie la notation {B^A=\mathcal{F}(A,B)}.

Démonstration
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Proposition (cardinal de l'ensemble des parties d'un ensemble fini)
Soit {A} un ensemble fini, de cardinal {n}.
Alors {\mathcal{P}(A)} est un ensemble fini et {\text{card}(\mathcal{P}(A))=2^n}.
Démonstration
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