Trigonométrie circulaire

Plan du chapitre "Nombres complexes"

Une définition des fonctions {t\mapsto\text{e}^{it},\;t\mapsto\cos(t),\;t\mapsto\sin(t)}

Paradoxalement, il faut attendre la deuxième année de classe préparatoire pour une définition “rigoureuse” des fonctions usuelles {t\mapsto \cos t} et {t\mapsto \sin t}. On se contentera ici d’une définition intuitive qui consiste à “enrouler” sur le cercle unité l’axe vertical {\Delta} passant par {A(1)} et orienté vers le haut, comme indiqué ci-dessous.

On note {\text{e}^{it}} (c’est une définition) l’affixe du point {M'} sur lequel vient s’enrouler un point {M(1+it)} de {\Delta}.

On note {\pi} le demi-périmètre du cercle unité (considérons ça comme la définition de {\pi}!).

Le point {C(1+i\pi)} s’enroule alors sur le point {C'} d’affixe {-1}.

On a ainsi la remarquable égalité d’Euler : {\text{e}^{i\pi}+1=0}

De même on observe que : {\text{e}^{i\pi/2}=i} (le point {B} vient s’enrouler en {B'}), {\text{e}^{-i\pi/2}=-i} (le point {D} vient s’enrouler en {D'}) et {\text{e}^{2i\pi}=1} (après un tour complet, le point d’ordonnée {2\pi} sur {\Delta} vient s’enrouler en {A}).

Pour tout réel {t}, on pose {\text{e}^{it}=\cos t+i\sin t}
c’est notre définition des fonctions {\cos} et {\sin}.

La fonction {t\mapsto \text{e}^{it}} vérifie la relation fondamentale : {\forall\, (x,y)\in\mathbb{R}^{2},\;\text{e}^{ix}\,\text{e}^{iy}\,=\,\text{e}^{i(x+y)}}

Le figure ci-dessous illustre cette propriété:

  • La translation de hauteur {x}, de {A} à {M} sur {\Delta}, se traduit après enroulement en une rotation de centre {0} et d’angle {x} sur le cercle unité ({x} est en radians), et cette rotation envoie {M} sur {M'} (d’affixe {\text{e}^{ix}}).
    Algébriquement, cette opération se traduit par la multiplication par {\text{e}^{ix}} (qui amène de {1} à {\text{e}^{ix}}).
  • La translation de hauteur {x+y}, de {A} à {N} sur {\Delta}, se traduit en la rotation d’angle {x+y} sur le cercle unité (de {A} à {N'}), qui traduit algébriquement par le produit par {\text{e}^{i(x+y)}} (qui amène de {1} à {\text{e}^{i(x+y)}}).
  • On peut également enrouler {\Delta'} à partir de {M'}. La translation (sur {\Delta'}) qui envoie {M'} sur {P} se traduit par une rotation d’angle {y} qui envoie {M'} sur {N'} (ou encore, par la multiplication par {\text{e}^{iy}}).
  • Les deux rotations, d’angle {x} puis {y}, équivalent à la seule rotation d’angle {x+y}.
    Les deux produits, par {\text{e}^{ix}} puis {\text{e}^{iy}}, équivalent donc au seul produit par {\text{e}^{i(x+y)}}.
    L’égalité {\text{e}^{i(x+y)}=\text{e}^{ix}\text{e}^{iy}} en est la traduction.

Propriétés de l’application {t\mapsto\text{e}^{it}}

Les propriétés suivantes sont immédiates et traduisent la présentation qui vient d’être donnée de {t\mapsto \text{e}^{it}} :

Proposition
Pour tout réel {x}, on a {|\text{e}^{i x}|=1}, c’est-à-dire : {\text{e}^{ix}\in\mathcal{U}}.
Pour tout réel {x} : {\text{e}^{ix}=1} si et seulement si {x} est congru à {0} modulo {2\pi}.
En d’autres termes : {\text{e}^{ix}=1\Leftrightarrow x\equiv 0~[2\pi]\Leftrightarrow \exists\, k\in\mathbb{Z},\; x=2k\pi}.
Proposition (périodicité de l'application x ↦ exp(ix))
Pour tous réels {x,y}, on a l’égalité fonctionnelle : {\text{e}^{ix}\text{e}^{iy}=\text{e}^{i(x+y)}}.
L’application {x\mapsto\text{e}^{ix}} est {2\pi}-périodique :{\forall\, x\in\mathbb{R},\;\text{e}^{i(x+2\pi)}=\text{e}^{ix}}.
Plus précisément : {\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2,\;\text{e}^{ix}=\text{e}^{iy}\Leftrightarrow x\equiv y~[2\pi]\Leftrightarrow\exists\, k\in\mathbb{Z},\,y-x=2k\pi}

Pour tout réel {x}, on a : {\dfrac1{\text{e}^{ix}}=\text{e}^{-ix}=\overline{\text{e}^{ix}}}

Valeurs particulières:
{\begin{array}{lll}\text{e}^{i\pi/2}=i&\text{e}^{i\pi}=-1&\text{e}^{i3\pi/2}=-i\\\\\text{e}^{i\pi/4}=\dfrac{1}{\sqrt2}(1+i)&\text{e}^{3i\pi/4}=\dfrac{1}{\sqrt2}(-1+i)&\text{e}^{i2\pi/3}=j=-\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}2\end{array}}

Le résultat suivant est très important, et il sera illustré géométriquement un peu plus loin.

Proposition (factorisation de 1+exp(ix) et de 1-exp(ix))
Pour tout réel {x}, on a : {\text{e}^{ix}+1=2\cos\Bigl(\dfrac{x}{2}\Bigr)\text{e}^{ix/2}\;\text{et}\;\text{e}^{ix}-1=2\,i\sin\Bigl(\dfrac{x}{2}\Bigr)\text{e}^{ix/2}}

Premières propriétés de {x\mapsto\sin x} et {x\mapsto\cos x}

On rappelle qu’on a défini {x\mapsto \cos x} et {x\mapsto \sin x} par l’égalité {\text{e}^{ix}=\cos x+i \sin x} (ça n’est pas rigoureux à {100\%}, mais on s’en contentera). Les propriétés des applications {x\mapsto \cos x} et {x\mapsto \sin x} découlent de ce qui prédède (beaucoup sont assez évidentes, d’autres moins, mais on les tiendra toutes pour acquises!).

Valeurs particulières:

{\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|}x&\;0\;&\dfrac\pi6&\dfrac\pi4&\dfrac\pi3&\,\dfrac\pi2\;&\dfrac{2\pi}3&\dfrac{3\pi}4&\dfrac{5\pi}{6}&\pi\\\\\cos x&1&\dfrac{\sqrt3}2&\dfrac{\sqrt2}2&\dfrac12&0&-\dfrac12&-\dfrac{\sqrt2}2&-\dfrac{\sqrt3}2&-1\\\\\sin x&0&\dfrac12&\dfrac{\sqrt2}2&\dfrac{\sqrt3}2&1&\dfrac{\sqrt3}2&\dfrac{\sqrt2}2&\dfrac12&0\end{array}}

On illustre ces valeurs particulières sur le cercle trigonométrique

Parité et périodicité

Les applications {x\mapsto\sin x} et {x\mapsto\cos x} sont définies sur {\mathbb{R}}, et elles sont {2\pi}-périodiques.

L’application {x\mapsto\sin x} est impaire et l’application {x\mapsto\cos x} est paire.

Autrement dit, pour tout réel {x}
{\begin{cases}\cos(x+2\pi)=\cos x\cr\sin(x+2\pi)=\sin x\end{cases}} et {\begin{cases}\cos(-x)=\cos x\cr\sin(-x)=-\sin x\end{cases}}

Égalités {\cos x=\cos\alpha} et {\sin x=\sin\alpha}

Pour tout {x} de {\mathbb{R}}, on a : {\cos^2x+\sin^2x=1,\;\left|{\,\cos x\,}\right|\le1,\;\left|{\,\sin x\,}\right|\le1}.

{\forall\,(a,b)\in\mathbb{R}^2,\;a^2+b^2=1\Leftrightarrow\exists\,\alpha\in\mathbb{R},\;\begin{cases}a=\cos\alpha\cr b=\sin\alpha\end{cases}} ({\alpha} unique à {2\pi} près)

Dans les notations suivantes, {k} est un entier relatif quelconque :
{\cos x=\cos\alpha\Leftrightarrow\begin{cases}x=\alpha+2k\pi\text{\ ou}\cr x=-\alpha+2k\pi\end{cases}}

{\sin x=\sin\alpha\Leftrightarrow\begin{cases}x=\alpha+2k\pi\text{\ ou}\cr x=\pi-\alpha+2k\pi\end{cases}}

On a en particulier les équivalences suivantes :
{\begin{cases}\cos x=0\Leftrightarrow x=\dfrac\pi2+k\pi\\\cos x=1\Leftrightarrow x=2k\pi\\\cos x=-1\Leftrightarrow x=\pi+2k\pi\end{cases}\quad\begin{cases}\sin x=0\Leftrightarrow x=k\pi\\\sin x=1\Leftrightarrow x=\dfrac\pi2+2k\pi\\\sin x=-1\Leftrightarrow x=-\dfrac\pi2+2k\pi\end{cases}}

Dérivées successives

Les applications {\begin{cases}x\mapsto\sin x\cr x\mapsto\cos x\end{cases}} sont indéfiniment dérivables sur {\mathbb{R}}.

Pour tout {x} réel, et tout {n} de {\mathbb{N}}, on a :

{\begin{cases}\cos' x=-\sin x\\\sin' x=\cos x\end{cases}}
{\begin{cases}\cos'' x=-\cos x\\\sin'' x=-\sin x\end{cases}}

Plus généralement : {\cos^{(n)}x=\cos\Big(x+n\dfrac\pi2\Big)} et {\sin^{(n)}x=\sin\Big(x+n\dfrac\pi2\Big)}

Courbes représentatives

Courbe {y=\cos x} :

Courbe {y=\sin x} :

Passage de {x} à {\pi\pm x} et à {\dfrac\pi2\pm x}

Pour tout réel {x}, on les égalités :
{\begin{array}{llll}\sin(\pi+x)=-\sin x\quad&\quad\cos(\pi+x)=-\cos x\\\sin(\pi-x)=\sin x\quad&\quad\cos(\pi-x)=-\cos x\\\sin\Big(\dfrac\pi2+x\Big)=\cos x\quad&\quad\cos\Big(\dfrac\pi2+x\Big)=-\sin x\\\sin\Big(\dfrac\pi2-x\Big)=\cos x\quad&\quad\cos\Big(\dfrac\pi2-x\Big)=\sin x\end{array}}

Les relations précédentes se voient très bien sur le cercle unité (c’est comme ça qu’on les retrouve) :

Cosinus et sinus d’une somme ou d’une différence

Pour tous réels {x} et {y} :
{\begin{cases}\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y\\\cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y\\\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y\\\sin(x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y\end{cases}}

{\begin{cases}\cos2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x\\\sin2x=2\sin x\cos x\end{cases}}

Transformations de produits en sommes, et de sommes en produits

Pour tous réels {x}, {y}, {p}, et {q} :
{\begin{cases}\cos x\cos y=\dfrac12(\cos(x+y)+\cos(x-y))\\\sin x\sin y=\dfrac12(\cos(x-y)-\cos(x+y))\\\sin x\cos y=\dfrac12(\sin(x+y)+\sin(x-y))\\\cos^2x=\dfrac12(1+\cos2x)\qquad\sin^2x=\dfrac12(1-\cos2x)\end{cases}}
{\begin{cases}\cos p+\cos q=2\cos\dfrac{p+q}2\cos\dfrac{p-q}2\\\cos p-\cos q=-2\sin\dfrac{p+q}2\sin\dfrac{p-q}2\\\sin p+\sin q=2\sin\dfrac{p+q}2\cos\dfrac{p-q}2\\\sin p-\sin q=2\sin\dfrac{p-q}2\cos\dfrac{p+q}2\end{cases}}

Formules d’Euler, linéarisation

Proposition (Formules d'Euler)
Pour tout réel {x}, on a les égalités: {\cos x=\dfrac{\text{e}^{i x}+\text{e}^{-i x}}2\;\text{et}\;\sin x=\dfrac{\text{e}^{i x}-\text{e}^{-i x}}{2i}}

Ces formules permettent de calculer les puissances de {\cos x} et de {\sin x} en fonction de quantités du type {\cos(px)} et/ou {\sin(px)}. Cette opération est appelée linéarisation.
Pour cela on développe {\cos^n x=\Bigl(\dfrac{\text{e}^{ix}+\text{e}^{-ix}}2\Bigr)^n} ou {\sin^n x=\Bigl(\dfrac{\text{e}^{ix}-\text{e}^{-ix}}{2i}\Bigr)^n}, par la formule du binôme.
On termine en regroupant les termes équidistants des extrémités.
On réutilise alors les formules d’Euler pour retrouver des {\cos(px)} et/ou des {\sin(px)}.

Quelques exemples

{\begin{array}{rl}\cos^3x&=\Bigl(\dfrac{\text{e}^{ix}+\text{e}^{-ix}}{2}\Bigr)^3=\dfrac{1}{8}\,\bigl(\text{e}^{3ix}+3\text{e}^{ix}+3\text{e}^{-ix}+\text{e}^{-3ix}\bigr)\\\\&=\dfrac{1}{4}\,(\cos3x+3\cos x)\\\\\sin^3x&=\Bigl(\dfrac{\text{e}^{ix}-\text{e}^{-ix}}{2i}\Bigr)^3=-\dfrac{1}{4}\,\dfrac{1}{2i}\,\bigl(\text{e}^{3ix}-3\text{e}^{ix}+3\text{e}^{-ix}-\text{e}^{-3ix}\bigr)\\\\&=-\dfrac{1}{4}\,(\sin3x-3\sin x)\\\\\cos^4x&=\Bigl(\dfrac{\text{e}^{ix}+\text{e}^{-ix}}{2}\Bigr)^4=\dfrac1{16}\,\bigl(\text{e}^{4ix}+4\text{e}^{2ix}+6+4\text{e}^{-2ix}+\text{e}^{-4ix}\bigr)\\\\&=\dfrac18\,(\cos4x+4\cos2x+3)\\\\\sin^4x&=\Bigl(\dfrac{\text{e}^{ix}-\text{e}^{-ix}}{2i}\Bigr)^4=\dfrac1{16}\,\bigl(\text{e}^{4ix}-4\text{e}^{2ix}+6-4\text{e}^{-2ix}+\text{e}^{-4ix}\bigr)\\\\&=\dfrac18\,(\cos4x-4\cos2x+3)\\\\\cos^5x&=\Bigl(\dfrac{\text{e}^{ix}+\text{e}^{-ix}}2\Bigr)^5\\\\&=\dfrac1{32}\,\bigl(\text{e}^{5ix}+5\text{e}^{3ix}+10\text{e}^{ix}+10\text{e}^{-ix}+5\text{e}^{-3ix}+\text{e}^{-5ix}\bigr)\\\\&=\dfrac1{16}\,\bigl(\cos 5x+5\cos 3x+10\cos x\bigr)\\\\\sin^5x&=\Bigl(\dfrac{\text{e}^{ix}-\text{e}^{-ix}}{2i}\Bigr)^5\\\\&=\dfrac1{16}\,\dfrac1{2i}\bigl(\text{e}^{5ix}-5\text{e}^{3ix}+10\text{e}^{ix}-10\text{e}^{-ix}+5\text{e}^{-3ix}-\text{e}^{-5ix}\bigr)\\\\&=\dfrac1{16}\,\bigl(\sin 5x-5\sin 3x+10\sin x\bigr)\\\\\cos^6x&=\Bigl(\dfrac{\text{e}^{ix}+\text{e}^{-ix}}2\Bigr)^6\\\\&=\dfrac1{64}\,\bigl(\text{e}^{6ix}+6\text{e}^{4ix}+15\text{e}^{2ix}+20+15\text{e}^{-2ix}+6\text{e}^{-4ix}+\text{e}^{-6ix}\bigr)\\\\&=\dfrac1{32}\,\bigl(\cos 6x+6\cos 4x+15\cos 2x+10\bigr)\\\\\sin^6x&=\Bigl(\dfrac{\text{e}^{ix}-\text{e}^{-ix}}{2i}\Bigr)^6\\\\&=-\dfrac1{64}\,\bigl(\text{e}^{6ix}-6\text{e}^{4ix}+15\text{e}^{2ix}-20+15\text{e}^{-2ix}-6\text{e}^{-4ix}+\text{e}^{-6ix}\bigr)\\\\&=-\dfrac1{32}\,\bigl(\cos 6x-6\cos 4x+15\cos 2x-10\bigr)\end{array}}

Utilisation de la formule de De Moivre

Proposition (Formule de De Moivre)
Pour tout réel {x}, et pour tout entier {n}: {(\text{e}^{ix})^n=\text{e}^{inx}}.
Ainsi, pour tout réel {x}, pour tout entier {n}: {(\cos x+i\sin x)^n=\cos n x+i\sin nx}.

Ce résultat permet, en développant {(\cos x+i\sin x)^n} et en identifiant les parties réelles et imaginaires, d’exprimer {\cos nx} et {\sin nx} en fonction de puissances de {\cos x} et/ou {\sin x}.
Pour obtenir un résultat où figurent surtout des puissances de {\cos x} (resp. de {\sin x}) on remplacera les puissances paires de {\sin x} (resp. de {\cos x}) par des puissances de {(1-\cos^2x)} (resp. de {(1-\sin^2x)}) puis de développer.

Quelques exemples

{\begin{array}{rl}(\cos x+i\sin x)^3&=\cos^3x+3i\cos^2x\sin x-3\cos x\sin^2x-i\sin^3x\\\\\Rightarrow&\begin{cases}\cos3x=\cos^3x-3\cos x\sin^2x\\\sin3x=3\cos^2x\sin x-\sin^3x\end{cases}\\\\\Rightarrow&\begin{cases}\cos3x=\cos^3x-3\cos x(1-\cos^2x)\\\sin3x=3(1-\sin^2 x)\sin x-\sin^3x\end{cases}\\\\&\Rightarrow\begin{cases}\cos3x=4\cos^3x-3\cos x\\\sin3x=3\sin x-4\sin^{3} x\end{cases}\end{array}} {\begin{array}{rl}(\cos x+i\sin x)^4&=\cos^4x+4i\cos^3x\sin x-6\cos^2x\sin^2x-4i\cos x\sin^3x+\sin^4x\\\\\Rightarrow&\begin{cases}\cos4x=\cos^4x-6\cos^2x\sin^2x+\sin^4x\\\sin4x=4\cos^3x\sin x-4\cos x\sin^3x\end{cases}\\\Rightarrow&\begin{cases}\cos4x=\cos^4x-6\cos^2x(1-\cos^2x)+(1-\cos^2x)^2\\\sin4x=4\cos x((1-\sin^2 x)\sin x-\sin^3x)\end{cases}\\\\\Rightarrow&\begin{cases}\cos4x=8\cos^4x-8\cos^2x+1\\\sin4x=4\cos x(-2\sin^3 x+\sin x)\end{cases}\end{array}} {\begin{array}{rl}(\cos x+i\sin x)^5&=\cos^5x+5i\cos^4x\sin x-10\cos^3x\sin^2x\\&-10i\cos^2x\sin^3x+5\cos x\sin^4 x+i\sin^5x\\\\\Rightarrow&\begin{cases}\cos5x=\cos^5x-10\cos^3x\sin^2x+5\cos x\sin^4 x\\\sin5x=5\cos^4x\sin x-10\cos^2x\sin^3x+\sin^5x\end{cases}\\\\\Rightarrow&\begin{cases}\cos5x=\cos^5x-10\cos^3x(1-\cos^2x)+5\cos x(1-\cos^2x)^2\\\sin5x=5(1-\sin^2x)^2\sin x-10(1-\sin^2x)\sin^3x+\sin^5x\end{cases}\\\\\Rightarrow&\begin{cases}\cos5x=16\cos^5x-20\cos^3x+5\cos x\\\sin5x=16\sin^5x-20\sin^3x+5\sin x\end{cases}\end{array}}

Dans ce dernier cas, la formule donnant {\sin 5x} se déduit facilement de celle donnant {\cos 5x}.

En effet, en posant {x=\dfrac\pi2-y}, on trouve :
{\begin{array}{rl}\sin 5x&=\sin\Bigl(\dfrac{5\pi}2-5y\Bigr)=\sin\Bigl(\dfrac\pi2-5y\Bigr)\\\\&=\cos5y=16\cos^5y-20\cos^3y+5\cos y=16\sin^5x-20\sin^3x+5\sin x \end{array}}

Deux sommes trigonométriques classiques

Pour {x} dans {\mathbb{R}}, et {n} dans {\mathbb{N}}, on pose :
{C_{n}(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\cos(kx),\;S_{n}(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\sin(kx)\;\text{et}\;Z_{n}(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\text{e}^{ikx}}
On note bien sûr que {Z_{n}(x)=C_{n}(x)+iS_{n}(x)}, ou encore {\begin{cases}C_{n}(x)=\text{Re}(Z_{n}(x))\\S_{n}=\text{Im}(Z_{n}(x))\end{cases}}

D’autre part {Z_{n}(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\text{e}^{ikx}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}q^{k}}, avec {q=\text{e}^{ix}} (somme géométrique).

Cas particulier :
Si {x\equiv 0~[2\pi]}, c’est-à-dire si {q=1}, alors {Z_{n}(x)=n+1} donc {\begin{cases}C_{n}(x)=n+1\cr S_{n}(x)=0\end{cases}}

Cas général :
On suppose {x\not\equiv 0~[2\pi]}, donc {q\ne1}. Ainsi : {\begin{array}{rl}Z_{n}(x)&=\dfrac{q^{n+1}-1}{q-1}=\dfrac{\text{e}^{i(n+1)x}-1}{\text{e}^{ix}-1}\\\\&=\dfrac{\text{e}^{i(n+1)x/2}}{\text{e}^{ix/2}}\,\dfrac{2\,i\sin((n+1)x/2)}{2\,i\sin(x/2)}=\text{e}^{inx/2}\dfrac{\sin((n+1)x/2)}{\sin(x/2)}\end{array}}
On en tire : {C_{n}(x)=\dfrac{1}{\sin(x/2)}\Big(\sin\dfrac{(n+1)x}{2}\cos\dfrac{nx}{2}\Bigr)}

De même : {S_{n}(x)=\dfrac{1}{\sin(x/2)}\Big(\sin\dfrac{(n+1)x}{2}\sin\dfrac{nx}{2}\Bigr)}

Autre méthode, avec une somme télescopique :

{\begin{array}{rl}\Bigl(\sin\dfrac{x}{2}\Bigr)C_{n}(x)&=\sin\dfrac{x}{2}\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\cos(kx)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\Bigl(\sin\dfrac{x}{2}\cos(kx)\Bigr)\\\\&=\dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\Bigl(\sin\Bigl(k+\dfrac{1}{2}\Bigr)x-\sin\Bigl(k-\dfrac{1}{2}\Bigr)x\Bigr)\\&=\dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}\sin\Bigl(k-\dfrac{1}{2}\Bigr)x-\dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\sin\Bigl(k-\dfrac{1}{2}\Bigr)x\\\\&=\dfrac{1}{2}\Bigl(\sin\Bigl(n+\dfrac{1}{2}\Bigr)x+\sin\dfrac{x}{2}\Bigr)\end{array}}
On en déduit: {\Bigl(\sin\dfrac{x}{2}\Bigr)C_{n}(x)=\sin\dfrac{(n+1)x}{2}\cos\dfrac{nx}{2}}, et on retrouve l’expression de {C_{n}(x)}.

{\begin{array}{rl}\Bigl(\sin\dfrac{x}{2}\Bigr)S_{n}(x)&=\sin\dfrac{x}{2}\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\sin(kx)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\Bigl(\sin\dfrac{x}{2}\sin(kx)\Bigr)\\\\&=\dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\Bigl(\cos\Bigl(k-\dfrac{1}{2}\Bigr)x-\cos\Bigl(k+\dfrac{1}{2}\Bigr)x\Bigr)\\&=\dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\cos\Bigl(k-\dfrac{1}{2}\Bigr)x-\dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}\cos\Bigl(k-\dfrac{1}{2}\Bigr)x\\\\&=\dfrac{1}{2}\Bigl(\cos\dfrac{x}{2}-\cos\Bigl(n+\dfrac{1}{2}\Bigr)x\Bigr)\end{array}}
On en déduit: {\Bigl(\sin\dfrac{x}{2}\Bigr)S_{n}(x)=\sin\dfrac{(n+1)x}{2}\sin\dfrac{nx}{2}}, et on retrouve l’expression de {S_{n}(x)}.

La fonction tangente {x\mapsto \tan x}

Définition (définition de la fonction tangente)
Pour tout réel {x} tel que {\cos x\ne0}, c’est-à-dire {x\ne\dfrac\pi2~[\pi]}, on pose: {\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}}.

Imparité et périodicité

Sur son domaine, l’application {x\mapsto\tan x} est impaire et {\pi}-périodique : {\begin{cases}\tan(-x)=-\tan x\cr \tan(x+\pi)=\tan x\end{cases}}

Valeurs particulières, et égalités {\tan x=\tan \alpha}

On note les trois valeurs particulières :
{\tan\dfrac\pi6=\dfrac{\sqrt3}3,\quad\tan\dfrac\pi4=1,\quad\tan\dfrac\pi3=\sqrt3}
Pour tout réel {\alpha\ne\dfrac\pi2(\pi)}, on a l’équivalence:
{\tan x=\tan\alpha\Leftrightarrow x=\alpha\,(\pi)}.

En particulier: {\tan x=0\Leftrightarrow x=0~[\pi]}, {\tan x=1\Leftrightarrow x=\dfrac\pi4~[\pi]}, {\tan x=-1\Leftrightarrow x=-\dfrac\pi4~[\pi]}

Dérivée et sens de variation de {x\mapsto\tan x}

Pour tout {x\ne\dfrac\pi2~[\pi]}, on a : {\tan' x=1+\tan^2 x=\dfrac1{\cos^2x}}.
L’application {x\mapsto\tan x} est donc strictement croissante sur chaque intervalle de son domaine.
Plus généralement, l’application {x\mapsto\tan x} est indéfiniment dérivable sur son domaine.

Représentation graphique, et interprétation sur le cercle unité


Passage de {x} à {\pi-x} ou à {\dfrac\pi2\pm x}

Les résultats suivants se retrouvent vite, grâce à {\sin\Bigl(x\pm\dfrac{\pi}{2}\Bigr)} et {\cos\Bigl(x\pm\dfrac{\pi}{2}\Bigr)}.

On retiendra les égalités : {\tan(\pi-x)=-\tan x,\quad\tan\Big(\dfrac\pi2+x\Big)=-\dfrac1{\tan x},\quad\tan\Big(\dfrac\pi2-x\Big)=\dfrac1{\tan x}}

Tangente d’une somme ou d’une différence

On retrouve les égalités suivantes à partir de celles sur {\sin(x\pm y)} et {\cos(x\pm y)} :
{\tan(x+y)=\dfrac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y},\quad\tan(x-y)=\dfrac{\tan x-\tan y}{1+\tan x\tan y}}

En posant {y=x}, on trouve {\tan2x=\dfrac{2\tan x}{1-\tan^2x}}

Les identités relatives à la fonction tangente nécessitent une étude préalable du domaine de définition.
L’expression de {\tan(x+y)}, par exemple, suppose que {x}, {y} et {x+y} soient distincts de {\dfrac\pi2} modulo {\pi}.

Utilisation du changement de variable {t=\tan\dfrac x2}

Le changement de variable {t=\tan\dfrac x2} est utile en calcul intégral.

Par exemple, en posant { \theta=\dfrac{x}{2}} :
{\cos x=\cos^{2} \theta-\sin^{2} \theta=\dfrac{\cos^{2} \theta-\sin^{2} \theta}{\cos^{2} \theta+\sin^{2} \theta}=\dfrac{1-\tan^{2} \theta}{1+\tan^{2} \theta}=\dfrac{1-t^{2}}{1+t^{2}}}
On retiendra qu’avec {t=\tan\dfrac x2}, on a :
{\cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2},\quad\sin x=\dfrac{2t}{1+t^2},\quad\tan x=\dfrac{2t}{1-t^2}}

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