Racines n-ièmes dans ℂ

Plan du chapitre "Nombres complexes"

Racines n-ièmes de l’unité

Dans tout cette sous-section, on désigne par {n} un entier strictement positif.

Définition
On appelle racines {n}-ièmes de l’unité les solutions dans {\mathbb{C}} de l’équation {z^{n}=1}.
On note {\mathcal{U}_{n}} l’ensemble des racines {n}-ièmes de l’unité.

Proposition
L’ensemble {\mathcal{U}_{n}} des racines {n}-ièmes de l’unité est formé de {n} nombres complexes distincts.
Les éléments de {\mathcal{U}_{n}} sont donnés par par {\omega_k=\text{e}^{2ik\pi/n}}, avec {0\le k\le n -1}.
Si on note {\omega=\omega_1=\text{e}^{2i\pi/n}}, alors {\omega_k=\omega^k} pour tout {k} (en particulier {\omega_0=1}).
Autrement dit, avec ces notations: {\mathcal{U}_{n}=\{1,\omega,\omega^2,\ldots,\omega^{n-1}\}}.

Cas particuliers

  • La seule racine “une-ième” de l’unité est {z=1} (donc {\mathcal{U}_{1}=\{1\}}).
  • Les deux racines carrées de l’unité sont {1} et {-1} (donc {\mathcal{U}_{2}=\{1,-1\}}).
  • Les trois racines cubiques de l’unité sont {1,j,j^{2}} avec {j=\text{e}^{2i\pi/3}} (donc {\mathcal{U}_{3}=\{1,j,j^{2}\}}).
  • Les racines quatrièmes de l’unité sont: {1,i,-1,-i} (donc {\mathcal{U}_{4}=\{1,i,-1,-i\}}).
  • Les racines cinquièmes de l’unité sont {1,\omega,\omega^2,\omega^3,\omega^4}, avec {\omega=\text{e}^{2i\pi/5}}.
  • Les racines sixièmes de l’unité sont : {1,\text{e}^{i\pi/3}=-j^{2},\ j,\ -1,\ j^2}, et {-j}.
Proposition (disposition dans le plan complexe)
Les points images des racines {n}-ièmes de l’unité forment les {n} sommets d’un polygône régulier convexe inscrit dans le cercle unité, l’un de ces sommets étant le point d’affixe {1}.

Racines cubiques de l’unité :

Racines quatrièmes de l’unité :

Racines cinquièmes de l’unité :

L’ensemble des points-images des racines sixièmes de l’unité forme bien sûr un hexagone régulier de sommet {0}, dont un sommet est {A(1)}, et on fera soi-même le dessin!

Remarques

  • Le nombre {z=-1} est une racine {n}-ième de l’unité si et seulement si {n} est pair
  • Les racines {n}-ièmes de l’unité apparaissent dans la factorisation : {z^n-1=\displaystyle\prod_{k=0}^{n-1}(z-\omega_k)}.
  • Si {n\ge2}, la somme des racines {n}-ièmes de l’unité est nulle.
  • Considérons l’équation {(E): z^{n-1}+z^{n-2}+\ldots+1=0}, d’inconnue {z} dans {\mathbb{C}}.
    Les solutions de {(E)} sont les {n-1} racines racines {n}-ièmes de l’unité distinctes de {1}.
    Démonstration
      Pour voir ce contenu, vous devez : 

  • En particulier: les solutions de {z^{2}+z+1=0} sont {j} et {j^{2}}.
    Concernant {j=\text{e}^{2i\pi/3}=-\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}2}, on retiendra {j^{2}+j+1=0}, {j^{2}=\dfrac{1}{j}=\overline{j}}.

Le groupe des racines {n}-ièmes de l’unité

Proposition
Si {z} et {z'} sont dans {\mathcal{U}_{n}}, il en est de même de {zz'} et de {\overline{z}=\dfrac{1}{z}}.
On exprime ces propriétés (stabilité par le produit et par le passage à l’inverse) en disant de {\mathcal{U}_{n}} qu’il est le “groupe des racines {n}-ièmes de l’unité”.

On sait que {\mathcal{U}_{n}=\{1,\omega,\omega^2,\ldots,\omega^{n-1}\}}, avec {\omega=\text{e}^{2i\pi/n}}.
On exprime cette propriété en disant que {\omega} “engendre” le groupe des racines {n}-ièmes de l’unité.
On peut vérifier que les autres “générateurs” de {\mathcal{U}_{n}} sont les {\omega_{k}}, quand {k} est premier avec {n}.

Racines n-ièmes d’un nombre complexe

Définition
Soit {Z} un nombre complexe non nul, et {n} un entier strictement positif.
On appelle racine {n}-ième de {Z} tout nombre complexe {z} tel que {z^n=Z}.
Proposition
Soit {Z=\rho\,\text{e}^{i\theta}} la forme trigonométrique de {Z} (avec {\rho>0}).
Alors {Z} possède {n} racines {n}-ièmes, données par :
{z_k=\sqrt[n]{\rho}\,\text{e}^{\,i\theta_{k}}}, où {\theta_{k}=\dfrac\theta n+2k\dfrac\pi n}, avec {0\le k\le n-1}.

La méthode est la suivante, en cherchant {z} sous la forme {z=r\text{e}^{i\varphi}} ({r>0}) :
{\begin{array}{rl}z^n=Z&\Leftrightarrow r^n\text{e}^{in\varphi}=\rho\text{e}^{i\theta}\Leftrightarrow \begin{cases}r^n=\rho\\ n\varphi\equiv\theta~[2\pi]\end{cases}\\\\&\Leftrightarrow \begin{cases}r=\sqrt[n]{\rho}\\\varphi\equiv\dfrac\theta n\;(\dfrac{2\pi}n)\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}r=\sqrt[n]{\rho}\\\varphi=\dfrac{\theta+2k\pi}n\\0\le k\le n-1\end{cases}\end{array}}

Remarques:

  • Rappel : {\mathcal{U}_{n}=\{1,\omega,\omega^2,\ldots,\omega^{n-1}\}}, où {\omega=\text{e}^{2i\pi/n}}, est l’ensemble des racines {n}-ièmes de 1.
    Il s’agit donc d’un cas particulier du problème des racines {n}-ièmes d’un élément {Z} de {\mathbb{C}^{*}}.
    Inversement, si {z_0} est une racine {n}-ième de {Z}, on les obtient toutes par {z_k=\omega_kz_0} ({0\le k\le n-1}).
    On obtient donc les racines {n}-ièmes de {Z} en multipliant l’une d’elles par les racines {n}-ièmes de {1}.
  • Les points images {M_k} de ces {n} racines {n}-ièmes sont les sommets d’un polygône régulier convexe inscrit dans le cercle de centre {O} et de rayon {\rho^{1/n}}.
  • Les {n} racines {n}-ièmes {z_k} de {Z} apparaissent dans la factorisation : {z^n-Z=\displaystyle\prod_{k=0}^{n-1}(z-z_k)}.
  • La somme des {n} racines {n}-ièmes {z_k} de {Z} est nulle (si {n\ge2})
Proposition (disposition dans le plan complexe)
Soit {Z} un nombre complexe non nul, et {n} un entier (avec {n\ge2}). Les points images des racines {n}-ièmes de {Z} forment les {n} sommets d’un polygône régulier convexe de centre {O}.

On illustre ici le cas d’un complexe {Z} de module {\left|{Z}\right|>1} (en fait {\left|{Z}\right|=1}).
On a représenté les points {A_{0},\ldots,A_{4}} images des racines cinquièmes de {Z}.
On a posé {\arg Z=\varphi~[2\pi]}. On a ici {\Bigl(\widehat{\overrightarrow{Ox},\overrightarrow{OA_{0}}}\Bigr)=\dfrac{\varphi}{5}~[2\pi]}.
Le pentagone {A_{0}A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}} se déduit, par rotation de centre {O} d’angle {\varphi/5}, et homothétie de centre {O} de rapport {\sqrt[5]{\left|{Z}\right|}}, du pentagone (non dessiné) des points-images des racines cinquièmes de {1}.

Généralisation (admise) aux racines des polynômes

Dans cette sous-section, dont les résultats sont admis, on note {P(z)=a_n z^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_1z+a_0} une fonction polynomiale de degré {n\ge1} (donc ici {a_{n}\ne0}), dont les coefficients {a_{k}} sont dans {\mathbb{C}}.

Les résultats suivants généralisent (considérablement) ce qui a été vu pour les racines {n}-ièmes d’un nombre complexe {a} (en effet, il suffit de considérer la fonction polynomiale {z\mapsto z^{n}-a}).

  • La fonction polynomiale {P(z)} se factorise en le produit de {n} fonctions polynomiales de degré {1}.
  • L’équation {P(z)=0} admet donc exactement {n} solutions, chacune étant répétée “autant de fois que sa multiplicité” (il peut y avoir des racines simples, des racines doubles, etc).
  • Dans le cas où les coefficients {a_{k}} sont réels, on a {P(\overline{z})=\overline{P(z)}} pour tout {z}.
    Il en résulte que si {\alpha} est une racine de {P}, avec la multiplicité {m}, alors {\overline{\alpha}} est également racine de {P}, et avec la même multiplicité.

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