Notation cartésienne, plan complexe

Plan du chapitre "Nombres complexes"

Notation cartésienne, partie réelle, partie imaginaire

Proposition (opérations sur l'ensemble ℝ²)
On munit l’ensemble {\mathbb{R}^2} des deux lois suivantes :
{\forall\,(x,y,x',y')\in\mathbb{R}^4,\;\begin{cases}(x,y)+(x',y')=(x+x',y+y')\cr(x,y)(x',y')=(xx'-yy',xy'+ yx')\end{cases}}Muni de ces deux lois, {\mathbb{R}^2} est un “corps commutatif”. Plus précisément :

  • Le neutre pour la loi {+} est {(0,0)}, et l’opposé de {(x,y)} est {(-x,-y)}.
  • Le neutre pour le produit est {(1,0)}.
  • Pour tout {z=(x,y)} non nul, l’inverse de {z} est : {\dfrac 1z=\Big(\dfrac x{x^2+y^2},\dfrac{-y}{x^2+y^2}\Big)}.

Définition (nombres complexes, notation provisoire)
On note {\mathbb{C}} l’ensemble {\mathbb{R}^2} quand il est muni deux lois précédentes.
Ses éléments {z=(x,y)} sont appelés nombres complexes.
Proposition (ℝ considéré comme une partie de ℂ)
L’application {\varphi\colon x\mapsto(x,0)} est bijective de {\mathbb{R}} sur {\mathbb{K}=\{(x,0),x\in\mathbb{R}\}}.
De plus, pour tous réels {x,x'}, on a :{\begin{cases}\varphi(x+x')=\varphi(x)+\varphi(x')\\\varphi(xx')=\varphi(x)\varphi(x')\end{cases}}

Cela permet d’identifier algébriquement le couple {(x,0)} avec le réel {x}.
De cette manière, on peut donc considérer que {\mathbb{R}} est une partie de {\mathbb{C}}.

Définition (le nombre i et la notation cartésienne des nombres complexes)
On pose {i=(0,1)}. On rappelle que pour {x\in\mathbb{R}}, on identifie {(x,0)} et {x}.
Par définition, tout {z} de {\mathbb{C}} s’écrit de façon unique {z=(x,y)}, avec {x,y} réels.
De plus {z=(x,y)} s’écrit {z=(x,0)+(0,1)(y,0)}, c’est-à-dire {z=x+iy}.
On a ainsi obtenu la notation cartésienne (ou algébrique) des nombres complexes.
Le réel {x} est appelé partie réelle de {z} et est noté {\text{Re}(z)}.
Le réel {y} est appelé partie imaginaire de {z} et est noté {\text{Im}(z)}.
Définition (nombres complexes réels ou imaginaires purs)
Dire que {z} est réel, c’est dire que sa partie imaginaire {\text{Im}(z)} est nulle.
On dit que {z} est imaginaire pur si {\text{Re}(z)=0}, c’est-à-dire si {z=iy}, avec {y} dans {\mathbb{R}}.

Attention : dire que le complexe {z} n’est pas réel ne signifie pas qu’il est imaginaire pur!

Identifications entre parties réelles et parties imaginaires

Soient {\begin{cases}z=x+iy\cr z'=x'+iy'\end{cases}} deux nombres complexes, avec {(x,y,x',y')\in\mathbb{R}^4}.
On sait que {z=z'\Leftrightarrow\begin{cases}x=x'\\ y=y'&\end{cases}} (identification des parties réelles et imaginaires)
En particulier : {z=0\Leftrightarrow x=y=0} (bien s’assurer que {x} et {y} sont réels!).

Plus généralement, soit {\omega} un nombre complexe non réel.
Alors tout {z} de {\mathbb{C}} s’écrit encore façon unique {z=a+b\omega}, avec {a,b} dans {\mathbb{R}}.
On peut donc encore identifier :
{\forall\,(x,y,x',y')\in\mathbb{R}^4,\;x+\omega y=x'+\omega y'\Leftrightarrow x=x'{\;\text{et}\;}y=y'}

Nouvelle écriture des opérations sur {\mathbb{C}}

Avec les notations précédentes, le nombre {i} vérifie {i^{2}=-1}.
Soient {\begin{cases}z=x+iy\\z'=x'+iy'\end{cases}} deux nombres complexes, avec {(x,y,x',y')\in\mathbb{R}^4}.
Les opérations sur {\mathbb{C}} s’écrivent maintenant : {\begin{cases}z+z'=(x+x')+i(y+y')&\cr zz'=(xx'-yy')+i(xy'+y x')&\end{cases}}

Si {z=x+iy} est non nul (c’est-à-dire {x\ne0} ou {y\ne0}), alors {\dfrac{1}{z}=\dfrac{x-iy}{x^{2}+y^{2}}}.

Puissances du nombre {i}

On constate que {i^2=-1}. Donc {\dfrac1i=-i}. En fait, {z^2=-1\Leftrightarrow z\in\{i,-i\}}.

Plus généralement {i^3=-i}, et {i^4=1} (la suite {n\mapsto i^{n}} est périodique de période 4).

Plan complexe. Affixe d’un point, d’un vecteur

On considère le plan {\mathcal{P}} muni d’un repère orthonormé direct {(0,e_1,e_2)}.
Chaque point {M} de {\mathcal{P}} est donc désigné par un unique couple de coordonnées {(x,y)}.
Pour cette raison, on parlera souvent du plan {Oxy}, du point {M(x,y)}, des axes {Ox} et {Oy}, etc.

Définition (point ou vecteur image, affixe)
L’application qui à {z=x+iy} (avec {x,y} réels) associe {M(x,y)} est une bijection de {\mathbb{C}} sur le plan {Oxy}.
On dit que {M} est le point image de {z}, ou encore que {z} est l’affixe de {M}.
On note {M(z)} pour désigner simultanément {M} et son affixe {z}.
Le plan {Oxy}, muni de cette correspondance, est appelé le plan complexe.
On dit que {\overrightarrow{OM}=xe_1+ye_2} est le vecteur image de {z=x+iy}, e que {z} est l’affixe de {\overrightarrow{OM}}.

Bien sûr, à la partie réelle et à la partie imaginaire d’un nombre complexe {z} correspondent l’abscisse et l’ordonnée du point {M} dans le repère {(0,e_1,e_2)}.
Remarque : on dit “une affixe” et non “un affixe”. Il est prudent de dire “l’affixe”.

L’identification entre {\mathbb{C}} et le plan muni d’un repère orthonormé permet :

  • d’interpréter les propriétés de {\mathbb{C}} dans un langage géométrique (jusqu’à résoudre avec les outils de la géométrie des problèmes posés initialement en termes de nombres complexes).
  • de traduire des notions de géométrie du plan dans le langage algébrique des nombres complexes (jusqu’à résoudre par le calcul des problèmes énoncés en termes purement géométriques).

Par exemple :

  • L’axe {Ox} (resp. {Oy}) est l’ensemble des points images des réels (resp. des imaginaires purs).
  • Si {A,B} ont pour affixes {a,b} alors {\overrightarrow{AB}} a pour affixe {b-a}.
    Le milieu {\Omega} de {[A;B]} a pour affixe {\dfrac{a+b}{2}}.
  • Soient {A,B,C,D} quatre points du plan {Oxy}, d’affixes respectives {a,b,c,d}.
    Alors {ABCD} est un parallélogramme si et seulement si {\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}}.
    Cela équivaut à {b-a=c-d}, ou encore {a+c=b+d}
  • Soient {A,B} deux points distincts du plan, d’affixes respectives {a} et {b}.
    La droite {(AB)} est l’ensemble des points {M(z)}, où : {z=a+\lambda(b-a)=(1-\lambda)a+\lambda b\text{\ avec\ }\lambda\in\mathbb{R}}
    De même le segment {[A;B]} est l’ensemble des points {M(z)}, où {z=a+\lambda(b-a)}, avec {0\le \lambda\le 1}.
    Soit {u} un élément de {\mathbb{C}^*}, et soit {\overrightarrow{\,u}} son vecteur image.
    La droite passant par {A(a)} et dirigée par {\overrightarrow{u}} est l’ensemble des {M(z=a+\lambda u)}, avec {\lambda\in\mathbb{R}}.
  • L’isobarycentre des points {M_k(z_k)} ({1\le k\le n}) est le point {G} d’affixe {g=\dfrac 1n\displaystyle\sum_{k=1}^nz_k}.

Même si c’est tentant, on évitera de confondre complètement le complexe {z} et le point {M} d’affixe {z}.

On représente ci-après deux points {A(a)} et {B(b)} et quelques points de la droite {(AB)} (le milieu {C} du segment {[A;B]}, le symétrique {D} de {A} par rapport à {B}, et le symétrique {E} de {B} par rapport à {A}) :

Conjugué d’un nombre complexe

Définition (conjugué d'un nombre complexe)
Soit {z=x+iy} (avec {x,y} réels) un nombre complexe quelconque.
Le nombre complexe {\overline{z}=x-iy} est appelé le conjugué de {z}.
On nomme conjugaison l’application de {\mathbb{C}} dans {\mathbb{C}}, définie par {z\to\overline{z}}.
Proposition (propriétés de la conjugaison)
La conjugaison vérifie les propriétés suivantes :
Pour tout {z} de {\mathbb{C}}, on a : {\overline{\overline{\,z}}=z} (on dit que la conjugaison est une opération involutive)
Pour tous {z_{1},z_{2}}, on a : {\begin{cases}\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}\\\overline{z_1z_2}=\overline{z_1}\;\overline{z_2}\end{cases}} (la conjugaison est compatible avec les opérations)

Remarques

  • Les propriétés précédentes se généralisent à une somme ou à un produit fini.
    Ainsi, pour tous nombres complexes {z_1,\ldots,z_n} :
    {\displaystyle\overline{\sum_{k=1}^nz_k}=\sum_{k=1}^n\overline{z_k}\;\text{et}\;\displaystyle\overline{\prod_{k=1}^nz_k}=\prod_{k=1}^n\overline{z_k}}

  • Pour tout {z} complexe, on note les égalités :
    {\text{Re}(z)=\dfrac{z+\overline{z}}2\;\text{et}\;\text{Im}(z)=\dfrac{z-\overline{z}}{2i}}
    Ainsi {z} est réel si et seulement si {\overline{z}=z}.
    De même, {z} est imaginaire pur si et seulement si {\overline{z}=-z}.

Notion de transformation du plan complexe

Définition (transformation du plan complexe)
Soit {g} une application de {\mathbb{C}} dans {\mathbb{C}} (définie éventuellement sur une partie de {\mathbb{C}}).
Il lui correspond l’application {f} du plan dans lui-même, qui à {m(z)} associe {M(Z)}.
L’application {f:m(z)\mapsto M(Z)} est appelée transformation du plan complexe.

Cas particuliers simples

  • L’application {f:m(z)\mapsto M(Z=z+a)} ({a\in\mathbb{C}}) est la translation de vecteur le vecteur image de {a}.
  • L’application {f:m(z)\mapsto M(Z=-z)} est la symétrie par rapport au point {O}.
    Plus généralement la symétrie de centre {A(a)} est donnée par {f:m(z)\mapsto M(Z=2a-z)}.
  • L’application {f\colon m(z)\mapsto M(Z=\overline{z})} est la symétrie orthogonale par rapport à l’axe {Ox}.
    L’application {f\colon m(z)\mapsto M(Z=-\overline{z})} est la symétrie orthogonale par rapport à l’axe {Oy}.
  • L’application {f\colon m(z)\mapsto M(Z=\lambda z)}, avec {\lambda} réel, est l’homothétie de centre {O} et de rapport {\lambda}.
    L’homothétie de centre {A(a)} et de rapport {\lambda} réel est {f\colon m(z)\mapsto Z=a+\lambda(z-a)}.
  • L’application {f\colon m(z)\mapsto M(Z=iz)} est la rotation de centre {O} et d’angle {\pi/2}.
    L’application {f\colon m(z)\mapsto M(Z=-iz)} est la rotation de centre {O} et d’angle {-\pi/2}.

On a représenté ci-après un point {A(z)}, et un certain nombre de points qui lui sont liés (le point {B} d’affixe {-z}, le point {C} d’affixe {\overline{z}}, et les points {D(-\overline{z})}, {E(2z)}, {F(z/2)}, {G(iz)} et {H(-iz)}):

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