Module et distance dans le plan complexe

Plan du chapitre "Nombres complexes"

Module d’un nombre complexe

Définition (module d'un nombre complexe)
Soit {z=x+iy} ({x} et {y} réels) un nombre complexe.
La quantité {\left|z\right|=\sqrt{x^2+y^2}} est appelée module de {z}.

Relation entre le module et le conjugué

On voit que {z\overline{z}=\left|z\right|^2} (égalité utile pour se “débarrasser” du module).

En particulier, si {z} est non nul, l’inverse de {z} s’écrit {\dfrac1z=\dfrac{\overline{z}}{\left|z\right|^2}}.

Si {z} est réel, le module de {z} est égal à sa valeur absolue.
Les notations {\left|\;\;\right|} (valeur absolue dans {\mathbb{R}} et module dans {\mathbb{C}}) sont donc “compatibles”.

Module d’un produit, d’un quotient

Pour tous {z} et {z'} de {\mathbb{C}}, on a :{\left|z\right|\ge0,\quad\left|z\right|=0\Leftrightarrow z=0,\quad\left|zz'\right|=\left|z\right|\,\left|z'\right|}
Plus généralement, pour {z_1,\ldots,z_n}, on a : {\Bigl|\displaystyle\prod_{k=1}^nz_k\Big|=\displaystyle\prod_{k=1}^n\left|z_k\right|}.
En particulier : {\forall\, n\in\mathbb{N},\left|z^n\right|=\left|z\right|^n}.

Si {z\ne0}, alors: {\left|\dfrac{1}{z}\right|=\dfrac1{\left|z\right|}}, et {\left|\dfrac{z'}{z}\right|{}=\dfrac{\left|z'\right|}{\left|z\right|}}.

Inégalité triangulaire

Pour tous {z,z'} de {\mathbb{C}}, on a : {\left|z+z'\right|\le\left|z\right|+\left|z'\right|}

La condition d’égalité est : {\exists\,\lambda\in\mathbb{R}^+} tel que {z'=\lambda z} ou {z=\lambda z'}).

L’inégalité précédente se complète en : {|\left|z\right|-\left|z'\right||\le\left|z\pm z'\right|}.
On peut donc écrire l’encadrement: {\big|\left|z\right|-\left|z'\right|\big|\le\left|z\pm z'\right|\le\left|z\right|+\left|z'\right|}.

Conséquence : si {\left|z\right|\le k\lt 1}, alors {1-k\le\left|1+z\right|\le1+k}.

Pour tout {z} de {\mathbb{C}}, on a aussi :
{\max(\left|\text{Re}(z)\right|,\left|{\text{Im}(z)}\right|)\le\left|z\right|\le\left|{\text{Re}(z)}\right|+\left|{\text{Im}(z)}\right|}

Généralisation au module d’une somme de {n} nombres complexes

Soient {z_1,z_2,\ldots,z_n} dans {\mathbb{C}}. Alors {\Big|\displaystyle\sum_{k=1}^nz_k\Big|\le\displaystyle\sum_{k=1}^n\left|z_k\right|}

L’inégalité précédente est une égalité si et seulement les {z_k} sont les produits de l’un d’entre eux par des réels positifs (c’est-à-dire, géométriquement, si les {M_k(z_k)} sont sur une même demi-droite issue de {O}).

Module du carré d’une somme

Voici comment on peut développer le carré du module d’une somme (ou d’une différence) :

Pour tout {u} et {v} de {\mathbb{C}}, {\begin{cases}\left|{u+v}^2\right|=\left|{u}\right|^2+2\,\text{Re}(u\,\overline{v})+\left|{v}\right|^2\\\left|{u-v}^2\right|=\left|{u}\right|^2-2\,\text{Re}(u\,\overline{v})+\left|{v}\right|^2\end{cases}}

En ajoutant ces deux égalités, on obtient : {\left|{u+v}^2\right|+\left|{u-v}^2\right|=2\bigl(\left|{u}\right|^2+\left|{v}\right|^2\bigr)}.

Tout ça se généralise : on a en effet
{\Big|\displaystyle\sum_{k=1}^nz_k\Big|^2=\displaystyle\sum_{k=1}^n\left|z_k\right|^2+<br /> 2\sum_{1\le j\lt k\le n}\text{Re}(z_j\,\overline{z_k})}

Distance dans le plan complexe

Proposition (Distance dans ℂ)
Soit {d} l’application {\mathbb{C}\times\mathbb{C}} vers {\mathbb{R}}, définie par : {\forall\,(z,z')\in\mathbb{C}^2,\;d(z,z')=\left|{z-z'}\right|}.
L’application {d} est une distance sur {\mathbb{C}}, ce qui signifie qu’elle a les propriétés suivantes :
Pour tous nombres complexes {u, v,w} :

  • {d(u,v)\ge0,\quad d(u,v)=0\Leftrightarrow u=v,\quad d(u, v)=d(v,u)}.
  • {d(u,v)\le d(u,w)+d(w,v)} (inégalité triangulaire)

Interprétation géométrique (dans le plan {Oxy})

Bien sûr {d(z,z')=\left|{z'-z}\right|} est la distance, dans le plan, entre {M(z)} et {M'(z')}.

Les propriétés précédentes se comprennent alors aisément en termes géométriques.

Par exemple, si on note {U(u)}, {V(v)}, et {W(w)}, on a l’égalité {\left|{w-u}\right|=\left|{w-v}\right|+\left|{v-u}\right|} si et seulement si {UW=UV+VW}, c’est-à-dire si et seulement si {W} est un élément du segment {[U;W]}. Cela équivaut à dire qu’il existe un réel {\lambda} dans {[0,1]} tel que {v=\lambda u+(1-\lambda)w}.

Propriétés géométriques liées au module

On note ici {A} et {B} deux points du plan, d’affixes respectives {a} et {b}. Soit {r} un réel positif ou nul.

  • L’égalité {\left|{z-a}\right|=r} caractérise les points {M(z)} du cercle de centre {A} et de rayon {r}.
  • L’inégalité large {\left|{z-a}\right|\le r} caractérise les points {M(z)} du disque fermé de centre {A} et de rayon {r}.
    L’inégalité stricte {\left|{z-a}\right|\lt r} caractérise les points {M(z)} du disque ouvert de centre {A} et de rayon {r}.
  • Bien sûr les inégalités {\left|{z-a}\right|\ge r} (ou {\left|{z-a}\right|> r}) caractérisent les points {M(z)} qui sont à l’extérieur (largement, ou strictement) du cercle de centre {A} et de rayon {r}.
  • L’égalité {\left|{z-a}\right|=\left|{z-b}\right|} caractérise les points {M(z)} de la médiatrice {\Delta} du segment {[A;B]}.
    Enfin {\left|{z-a}\right|\lt \left|{z-b}\right|} caractérise les {M(z)} du demi-plan ouvert délimité par {\Delta} et contenant {A}.

Ci-dessous, on a réprésenté le cercle {(C)} de centre {A(a)} et de rayon {r}.

{M''(z'')} est sur {(C)} car {\left|{z''-a}\right|=r}.
{M'(z')} est intérieur à {(C)} car {\left|{z'-a}\right|\lt r}.
{M(z)} est extérieur à {(C)} car {\left|{z-a}\right|>r}.

Ci-dessous, on a représenté la médiatrice {\Delta} du segment {[A;B]}.

{M''(z'')} est sur {\Delta} car {\left|{z''-a}\right|=\left|{z''-b}\right|}.
{M(z)} et {M(z')} sont de part et d’autre de {\Delta}.
{\left|{z-a}\right|\lt \left|{z-b}\right|} (ou encore {AM\lt BM})
{\left|{z'-a}\right|>\left|{z'-b}\right|} (ou encore {AM'>BM'})

Nombres complexes de module 1

Définition (l'ensemble des nombres complexes de module 1)
On note {\mathcal{U}} l’ensemble des nombres complexes de module {1}.

À cette définition algébrique correspondent des définitions géométriques :

Définition (cercle et disque unité)
On appelle “cercle unité” (ou encore “cercle trigonométrique”) le cercle de centre {O} et de rayon {1}, c’est-à-dire l’ensemble des points {M(z)} tels que {\left|z\right|=1} (c’est-à-dire avec {z} dans {\mathcal{U}}).
On appelle “disque unité ouvert” l’ensemble des points {M(z)} tels que {\left|z\right|\lt 1}.
On appelle “disque unité fermé” l’ensemble des points {M(z)} tels que {\left|z\right|\le 1}.

Stabilité de {\mathcal{U}} par produit

  • Pour tous {z} de {\mathbb{C}^{*}}, on a {\left|z\right|=1} (c’est-à-dire {z} est dans {\mathcal{U}}) si et seulement si {\overline{z}=\dfrac{1}{z}}.
  • Si {z} et {z'} sont dans {\mathcal{U}}, il en est de même de {\overline{z}}, de {zz'} et de {\dfrac{z}{z'}}, et de {z^{n}}, pour tout {n} de {\mathbb{Z}}.

Une construction intéressante

Supposons {\left|z\right|>1}, c’est-à-dire supposons que {M(z)} est extérieur au disque unité fermé.
Dans ces conditions, les deux points {N\Bigl(\dfrac{1}{z}\Bigr)} et {P\Bigl(\dfrac{\,1\,}{\overline{z}}\Bigr)} appartiennent au disque unité ouvert.

On observe que : {\dfrac{1}{\,\overline{z}\,}=\dfrac{z}{\left|z\right|^{2}}\Rightarrow\overrightarrow{OP}=\dfrac{\overrightarrow{OM}}{OM^{2}}\Rightarrow OP\cdot OM=1}

Les points {M,P} sont donc sur une demi-droite issue de {O}.

Plus précisément, on a la construction suivante qui permet de passer de {M} à {P}, et inversement.

Le cercle de diamètre {[O;M]} coupe le cercle unité {(C)} en deux points {A,B} (les points d’appuis des tangentes à {(C)} issues de {M}). Le segment {[A;B]} recoupe le segment {[O;M]} orthogonalement au point {P} d’affixe {1/\overline{z}}. Bien sûr le point d’affixe {1/z} est le symétrique de {P} par rapport à l’axe {Ox}.

Pour justifier cette construction, on utilise des relations dans des triangles rectangles :
{\begin{array}{rl}OM^{2}&=1+AM^{2}=1+AP^{2}+PM^{2}\\\\&=2-OP^{2}+(OM-OP)^{2}\\\\&=OM^{2}-2(OP\cdot OM-1)\end{array}}
Il en résulte l’égalité {OP\cdot OM=1}. Donc si {z} est l’affixe de {M}, celle de {P} est {\dfrac{1}{\,\overline{z}\,}}.

Page précédente : notation cartésienne, plan complexe
Page suivante : trigonométrie circulaire