Interprétations géométriques

Plan du chapitre "Nombres complexes"

Module et argument de {\dfrac{z-b}{z-a}}

Dans cette sous-section, on désigne par {A} et {B} deux points distincts, d’affixes respectives {a} et {b}.

On note {M} un point quelconque du plan, distinct de {A} et {B}, d’affize {z}.

On s’intéresse à l’application {\varphi:z\mapsto\varphi(z)=\dfrac{z-a}{z-b}}, définie sur {\mathbb{C}\setminus\{b\}}, et à valeurs dans {\mathbb{C}\setminus\{1\}}.

Par commodité, on identifie {\varphi} avec la transformation {M(z)\mapsto N(\varphi(z))} du plan complexe.

Proposition
Soient {A,B,M} trois points distincts du plan complexe, d’affixes respectives {a,b,z}.
Avec ces notations: {\left|{\dfrac{z-a}{z-b}}\right|=\dfrac{AM}{BM}}, et {\arg\Bigl({\dfrac{z-a}{z-b}}\Bigr)=\bigl(\widehat{\overrightarrow{BM},\overrightarrow{AM}}\bigr)~[2\pi]}

En particulier: {M} est aligné avec {A} et {B} si et seulement si {\dfrac{z-a}{z-b}} est un nombre réel.
De même: les droites {(AM)} et {(BM)} sont orthogonales si et seulement si {\dfrac{z-a}{z-b}} est imaginaire pur.

Ensemble des points {M(z)} tels que {\left|{\dfrac{z-a}{z-b}}\right|=k>0}

  • Si {k=1}, cet ensemble est la médiatrice {\Delta} du segment {[A;B]}.
  • Si {0\lt k\lt 1}, c’est un cercle centré sur {(AB)} et contenu dans le demi-plan défini par {\Delta} et {A}.
  • Si {k>1}, c’est un cercle centré sur {(AB)} et contenu dans le demi-plan défini par {\Delta} et {B}.

Ensemble des points {M(z)} tels que {\arg\Bigl({\dfrac{z-a}{z-b}}\Bigr)=\theta~[\pi]}

  • Si {\theta=0~[\pi]}, cet ensemble est la droite {(AB)} (privée de {A} et {B}).
  • Si {\theta\ne 0~[\pi]}, c’est un cercle centré sur la médiatrice du segment {[A;B]}, privé de {A} et {B}.
  • Si {\theta= \dfrac{\pi}{2}~[\pi]}, c’est le cercle de diamètre {[A;B]}, privé de {A} et {B}.
  • Les cercles définis par {\theta} et {-\theta} sont symétriques l’un de l’autre par rapport à la droite {(AB)}.

Cercles définis par {\left|{\dfrac{z-a}{z-b}}\right|=k>0} :

Cercles définis par {\arg\Bigl({\dfrac{z-a}{z-b}}\Bigr)=\theta~[2\pi]} :

Équation de droite, condition d’alignement

On a les équivalences :
{\begin{array}{rl}M\in (AB)&\Leftrightarrow \dfrac{z-a}{z-b}\in\mathbb{R}\Leftrightarrow \dfrac{z-a}{z-b}=\dfrac{\overline{z}-\overline{a}}{\overline{z}-\overline{b}}\\\\&\Leftrightarrow (z-a)(\overline{z}-\overline{b})=(z-b)(\overline{z}-\overline{a})\\\\&\Leftrightarrow z(\overline{a}-\overline{b})-\overline{z}(a-b)=a\overline{b}-b\overline{a}\end{array}}
On peut écrire, plus symétriquement :
{A(a),B(b),C(c)\text{\ sont alignés si et seulement si\ }a\overline{b}+b\overline{c}+c\overline{a}\text{\ est réel}}

Équation du cercle circonscrit au triangle {ABC}

On considère trois points distincts {A,B,C}, d’affixes respectives {a,b,c}.
Soit {(\Gamma)} le cercle circonscrit au triangle {ABC}.
On a les équivalences :
{\begin{array}{rl}M\in (\Gamma)&\Leftrightarrow \arg\Bigl(\dfrac{z-a}{z-b}\Bigr)=\arg\Bigl(\dfrac{c-a}{c-b}\Bigr)~[\pi]\\\\&\Leftrightarrow\arg\dfrac{(z-a)(c-b)}{(z-b)(c-a)}=0~[\pi]\Leftrightarrow \dfrac{(z-a)(c-b)}{(z-b)(c-a)}\in\mathbb{R}\\\\&\Leftrightarrow (z-a)(\overline{z}-\overline{b})(c-b)(\overline{c}-\overline{a})=(z-b)(\overline{z}-\overline{a})(\overline{c}-\overline{b})(c-a)\end{array}}

Triangles équilatéraux

Soient {A(a)}, {B(b)}, {C(z)} trois points du plan complexe.
On considère le triangle {ABC} du plan complexe. On a alors les équivalences :
{ABC} est équilatéral {\Leftrightarrow (a+jb+j^2c=0\;\text{ou}\;a+jc+j^2b=0)\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=ab+ac+bc}.

Similitudes directes

Proposition
Soient {a} et {b} deux nombres complexes, {a} étant non nul.
Soit {f} la transformation du plan complexe définie par {m(z)\to M(Z=az+b)}.
Si {a=1}, {f} est la translation dont le vecteur est le vecteur image de {b}.
Si {a\ne1}, l’application {f} possède un point invariant unique {\Omega}, dont l’affixe est {\omega=\dfrac b{1-a}}.
Si {a\ne1}, l’application {f} est la composée commutative {f=r\circ h=h\circ r} de :

  • la rotation {r} de centre {\Omega} et d’angle {\arg(a)~[2\pi]}
  • l’homothétie {h} de centre {\Omega} et de rapport {\left|{a}\right|}

On dit alors que {f} est la similitude directe de centre {\Omega}, de rapport {\left|{a}\right|}, et d’angle {\arg(a)~[2\pi]}.
NB: une translation est une similitude directe de rapport {1} et d’angle {0~[2\pi]} (pas de centre).


Démonstration
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Cas particuliers de similitudes directes

Soit {f:m(z)\mapsto M(Z=az+b)} (on rappelle que si {a=1}, {f} est une translation).
On suppose donc {a\ne1}, et soit {\Omega(\omega)} le point fixe de {f}, avec {\omega=\dfrac{b}{1-a}}.

  • Si {a} est réel, alors {f} est l’homothétie de centre {\Omega(\omega)} et de rapport {a}.
    Réciproquement, soit {\Omega(\omega)} un point du plan, et {\lambda} un nombre réel.
    L’homothétie de centre {\Omega} et de rapport {\lambda} est définie par : {m(z)\mapsto M(Z)=\omega+\lambda(z-\omega)}.
  • Si {a=e^{i\theta}} (donc {\left|{a}\right|=1}), {f} est la rotation de centre {\Omega} et d’angle {\theta~[2\pi]}.
    Réciproquement, si {\Omega(\omega)} est un point du plan, et si {\theta} est un nombre réel, la rotation de centre {\Omega} et d’angle {\theta~[2\pi]} est définie par : {m(z)\mapsto M(Z)=\omega+\text{e}^{i\theta}(z-\omega)}.
  • Considérons par exemple l’application {m(z)\mapsto M(z'=f(z)=2iz+2+i)}.
    C’est une similitude directe du plan complexe. On a {\omega=f(\omega)\Leftrightarrow\omega=i}.
    Ainsi {f} est la composée de la rotation {r} de centre {\Omega(i)} et d’angle {\arg(2i)=\dfrac\pi2~[2\pi]} et de l’homothétie {h} de centre {\Omega(i)} et de rapport {\left|{2i}\right|=2}.

Multiplication des distances, conservation des angles

Soit {f} une similitude de rapport {\rho}.
Pour tous points {A'=f(A)} et {B'=f(B)}, on a : {d(A',B')=\left|{a}\right|d(A,B)}.
L’application {f} multiplie donc les distances par le facteur {\rho=\left|{a}\right|}.

Pour tous points {A'=f(A)}, {B'=f(B)}, et {C'=f(C)}, on a : {\angle{\overrightarrow{A'B'}}{\overrightarrow{A'C'}}=\angle{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{AC}}~[2\pi]}

Ainsi les similitudes directes “conservent les mesures d’angles”.

Inverse et composées de similitudes directes

L’application {f:z\mapsto Z=az+b} est bijective, et {f^{-1}(Z)=(Z-b)/a}.
L’inverse d’une similitude directe (rapport {\rho}, angle {\theta}) est donc une similitude directe (rapport {1/\rho}, angle {-\theta}).

Soit {f,g} deux similitudes directes de rapport {\rho,\rho'} et d’angles {\theta,\theta'}).
Alors {g\circ f} est une similitude directe de rapport {\rho\rho'} et d’angle {\theta+\theta'}.

Similitude directe définie par l’image d’un segment

Proposition (Similitude directe définie par l'image d'un segment)
Soient {A,B,A',B'}, quatre points du plan (avec {A\ne A'} et {B\ne B'}) d’affixes respectives {a,b,a',b'}.
Il existe une unique similitude directe {f} telle que {f(A)=A'} et {f(B)=B'}.
L’image du segment {[A;B]} (resp. la droite {(AB)}) est alors le segment {[A',B']} (resp. la droite {(A'B')}).
L’angle de la similitude directe {f} est égale à {\angle{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{A'B'}}~[2\pi]}, c’est-à-dire {\arg\dfrac{b'-a'}{b-a}~[2\pi]}.
Le rapport de la similitude {f} est {\dfrac{d(A',B')}{d(A,B)}}, c’est-à-dire {\left|{\dfrac{b'-a'}{b-a}}\right|}.

Symétries et projections orthogonales

Applications conservant l’alignement

On montre que les applications du plan complexe dans lui-même et qui “conservent l’alignement” (c’est-à-dire qui sont telles que, pour tous points alignés {A,B,C} les points {f(A),f(B),f(C)} sont alignés) sont les applications {m(z)\mapsto M(Z)=uz+v\overline{z}+w}, avec {(u,v,w)} dans {\mathbb{C}^3}.

Bien sûr les similitudes directes (et parmi elles les translations et les homothéties), c’est-à-dire les applications {f:m(z)\mapsto M(Z=uz+w)}, en font partie. Mais il y en a d’autres, comme les symétries (ou les projections) orthogonales sur (par rapport à) une droite.

Symétrie orthogonale par rapport à une droite

On sait que l’application {f:m(z)\mapsto M(Z=\overline{z})} est la symétrie orthogonale par rapport à l’axe réel.
De même, {f:m(z)\mapsto M(Z=-\overline{z})} est la symétrie orthogonale par rapport à l’axe des imaginaires purs.
Plus généralement, soit {\mathcal{D}} la droite passant par {O} et d’angle polaire {\theta~[\pi]}.
Alors la symétrie orthogonale par rapport à {\mathcal{D}} est donnée par {f:m(z)\mapsto M(Z)=\text{e}^{2i\theta}\,\overline{z}}.
Plus généralement encore, soit {\mathcal{D}'} la droite passant par {\Omega(\omega)}, d’angle polaire {\theta~[\pi]}.
Alors, la symétrie orthogonale par rapport à {\mathcal{D}'} s’écrit
{z\mapsto Z=\omega+\text{e}^{2i\theta}\,\overline{z-\omega}=\text{e}^{2i\theta}\,\overline{z}+\omega-\text{e}^{2i\theta}\,\overline{\omega}}.

Projection orthogonale sur une droite

L’application {f:m(z)\mapsto M\Bigl(Z=\text{Re}(z)=\dfrac{z+\overline{z}}2\Bigr)} est la projection orthogonale sur l’axe {Ox}.
De même, l’application {f:m(z)\mapsto M\Bigl(Z=\text{Im}(z)=\dfrac{z-\overline{z}}{2i}\Bigr)} est la projection orthogonale sur {Oy}.

Plus généralement, soit {\mathcal{D}} la droite passant par {O} et d’angle polaire {\theta~[\pi]}.
Alors la projection orthogonale sur {\mathcal{D}} est donnée par {f:m(z)\mapsto M(Z)=\dfrac12\bigl(z+\text{e}^{2i\theta}\,\overline{z}\bigr)}.

Plus généralement encore, soit {\mathcal{D}'} la droite passant par {\Omega(\omega)}, d’angle polaire {\theta~[\pi]}.
Alors, la projection orthogonale sur {\mathcal{D}'} s’écrit {m(z)\mapsto(Z)=\dfrac12\bigl(z+\text{e}^{2i\theta}\,\overline{z}\bigr)+\dfrac12\bigl(\omega-\text{e}^{2i\theta}\,\overline{\omega}\bigr)}

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