Forme trigonométrique (polaire)

Plan du chapitre "Nombres complexes"

Module et argument d’un nombre complexe non nul

Proposition (forme trigonométrique d'un nombre complexe non nul)
Soit {z} un nombre complexe non nul.
Il existe un unique réel {\rho>0} et une unique classe de réels {\theta} modulo {2\pi}, telle que {z=\rho\,\text{e}^{i\theta}}.
On dit que cette écriture de {z} est sa “forme trigonométrique”, ou encore sa “forme polaire”.
Cette classe de réels modulo {2\pi} est appelée l’argument de {z}. Chacun des réels {\theta} de cette classe est appelée une détermination de l’argument de {z} (ou, par abus de langage, un argument de {z}), et on note: {\arg z=\theta~[2\pi]}.

Interprétation dans le plan complexe

L’interprétation de l’écriture {z=\rho\text{e}^{i\theta}} est claire :

  • Le réel {\rho>0} est le module de {z}
  • {\theta} est une mesure de l’angle orienté {\bigl(\overrightarrow{Ox},\overrightarrow{OM}\bigr)}

Pour tout {z\ne0}, il y a une unique détermination de l’argument dans tout intervalle {]\alpha,\alpha+2\pi]}, et en particulier dans {]-\pi,\pi]} (cette dernière étant appelé détermination principale de l’argument de {z}).

On a {0=\rho\text{e}^{i\theta}}, avec {\rho=0} et pour tout réel {\theta}.
Parler de l’argument de {z=0} n’a donc aucun sens.

La seule écriture {z=\rho\text{e}^{i\theta}} ne caractérise pas la forme polaire, car il faut imposer {\rho>0}.
Si {\rho\lt 0}, la forme polaire de {\rho\text{e}^{i\theta}} est {(-\rho)\text{e}^{i(\theta+\pi)}}

Forme polaire et forme cartésienne

Soit {z\in\mathbb{C}^*}l, écrit sous les deux formes {z=x+iy=\rho\text{e}^{i\theta}} ({\rho>0}).

Dans un sens : {\begin{cases}x=\rho\cos\theta\\ y=\rho\sin\theta\end{cases}}

Dans l’autre sens : {\begin{cases}\rho=\left|z\right|=\sqrt{x^2+y^2}\\ \cos\theta=\dfrac x\rho,\quad\sin\theta=\dfrac y\rho\end{cases}} (ce qui détermine {\rho}, et {\theta~[2\pi]})

On note que si {x\ne0} ({z} non imaginaire pur), alors {\tan\theta=\dfrac yx} (ce qui détermine {\theta~[\pi]}).

Si {z} n’est pas un réel négatif, alors {\tan\dfrac\theta2=\dfrac y{x+\rho}} (ce qui détermine {\theta} modulo {2\pi}).

Si {z\ne0}, mais si on n’est pas certain du signe du réel {\rho} : {z=\rho\text{e}^{i\theta}\Leftrightarrow \Bigl(\rho=|\,z\,|{\;\text{et}\;}\arg z=\theta~[2\pi]\Bigr) {\;\text{ou}\;}\Bigl(\rho=-|\,z\,|{\;\text{et}\;}\arg z =\theta +\pi~[2\pi]\Bigr)}

Cas particuliers

Soit {z} un nombre complexe non nul. On a les équivalences :
{\begin{cases}z\text{\ réel\ }\Leftrightarrow\arg z=0~[\pi]\\ z\text{\ imaginaire pur\ }\Leftrightarrow\arg z=\dfrac\pi2~[\pi]\end{cases}} et {\begin{cases}z\in\mathbb{R}^{+*}\Leftrightarrow\arg z=0~[2\pi]\\z\in\mathbb{R}^{-*}\Leftrightarrow\arg z=\pi(2\pi)\end{cases}}

Forme polaire et opérations dans {\mathbb{C}}

Proposition (module et argument d'un produit)
Soient {u,v} dans {\mathbb{C}^*}, sous forme polaire {u=\rho\,\text{e}^{i\theta}} et {v=r\,\text{e}^{i\varphi}} (avec {\rho>0,r>0}).
Alors: {u\,v=\rho\, r\,\text{e}^{i(\theta+\varphi)}}, qui s’écrit aussi {\begin{cases}\left|{u\,v}\right|=\left|{u}\right|\,\left|{v}\right|\cr \arg (uv)=\arg u+\arg v~[2\pi]\end{cases}}

Cas particuliers

Avec les notations précédentes : {\dfrac1u=\dfrac1\rho\,\text{e}^{-i\theta}}, {\overline{u}=\rho\,\text{e}^{-i\theta}}, et {\dfrac uv=\dfrac\rho r\,\text{e}^{i(\theta-\varphi)}}

En termes d’arguments, on obtient donc :
{\arg\dfrac1u=\arg\overline{u}=-\arg u~[2\pi]\;\text{et}\;\arg\dfrac uv=\arg u-\arg v~[2\pi]}
Pour tout {n} de {\mathbb{Z}}, on a {u^n=\rho^n\,\text{e}^{in\theta}} donc {\arg u^n=n\,\arg u~[2\pi]}.

On a bien sûr: {\begin{cases}\forall\,\lambda\in\mathbb{R}^{+*},\;\arg\lambda u=\arg u~[2\pi]\\\forall\,\lambda\in\mathbb{R}^{-*},\;\arg\lambda u=\arg u+\pi~[2\pi]\end{cases}}

Le cas d’égalité dans l’inégalité triangulaire devient :
{\left|{u+v}\right|=\left|{u}\right|+\left|{v}\right|\Leftrightarrow\arg u=\arg v~[2\pi]}.

Illustration des factorisations de {\text{e}^{ix}\pm1}

On rappelle que pour tout réel {x}, on a : {\text{e}^{ix}+1=2\cos\Bigl(\dfrac{x}{2}\Bigr)\text{e}^{ix/2}\;\text{et}\;\text{e}^{ix}-1=2\,i\sin\Bigl(\dfrac{x}{2}\Bigr)\text{e}^{ix/2}}
Voici un schéma pour bien comprendre la signification géométrique des deux résultats précédents.

  • On note {M} le point d’affixe {\text{e}^{ix}} sur le cercle unité.
    On suppose ici que {x} est strictement compris entre {0} et {\pi}.
  • On applique à ce cercle (donc à {M}) les translations de vecteur {(1,0)} et {(-1,0)}.
  • Quand {M} décrit le cercle unité, son image {N} dans la translation de vecteur {(1,0)} a pour affixe {\text{e}^{ix}+1} et parcourt le cercle de centre {A(1)} et de rayon {1}.
  • L’image {P} de {M} dans la translation de vecteur {(-1,0)} a pour affixe {\text{e}^{ix}-1} et parcourt le cercle de centre {B(-1)} et de rayon {1}.
  • On note que {(\widehat{Ox,\overrightarrow{ON}})=\dfrac{x}{2}} et {ON=2 OH=2\cos\dfrac{x}{2}}.
    Ainsi {\left|{\text{e}^{ix}+1}\right|=2\cos\dfrac{x}{2}} et {\arg\bigl(\text{e}^{ix}+1\bigr)=\dfrac{x}{2}}.
    De même, on voit bien que {(\widehat{Ox,\overrightarrow{OP}})=\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{2}} et {OP=2 HM=2\sin\dfrac{x}{2}}.
    On en déduit {\left|{\text{e}^{ix}-1}\right|=2\sin\dfrac{x}{2}} et {\arg\bigl(\text{e}^{ix}-1\bigr)=\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{2}}.

Transformation de {a\cos x+b\sin x} en {A\cos(x-\varphi)}}

On se donne {(a,b)\ne(0,0)} dans {\mathbb{R}^{2}}, et {x} dans {\mathbb{R}}. Soit {A=\sqrt{a^{2}+b^{2}}} (donc {A>0}).
Il existe un réel {\varphi} (défini de façon unique modulo {2\pi}) tel que : {\dfrac{a}{A}=\cos\varphi} et {\dfrac{b}{A}=\sin\varphi}.
Avec ces notations : {\begin{array}{rl}a\cos x+b\sin x&=A\Bigl(\dfrac{a}{A}\cos x+\dfrac{b}{A}\sin x\Bigr)=A(\cos x\cos\varphi+\sin x\sin\varphi)\\\\&=A\cos(x-\varphi)\end{array}}

Une autre approche est d’introduire {\begin{cases}z=\text{e}^{ix}=\cos x+i\sin x\\\omega =a+ib=A\,\text{e}^{i\varphi}\end{cases}}

On a en effet simultanément: {\begin{cases}z\,\overline{\omega}=(\cos x+i\sin x)(a-ib)\\z\,\overline{\omega}=A\,\text{e}^{i(x-\varphi)}\end{cases}}

On en déduit, en prenant les parties réelles :
{\text{Re}(z\,\overline{\omega})=a\cos x+b\sin x=A\cos(x-\varphi)}
Il y a une troisième approche, plus géométrique.

On note que {a\cos x+b\sin x} est le produit scalaire de {\overrightarrow{ON}(a,b)} et {\overrightarrow{OM}=(\cos x,\sin x)}.

Le point {N} se projette en {H} sur le vecteur unitaire {\overrightarrow{OM}}.

Ainsi {\overrightarrow{ON}\cdot \overrightarrow{OM}=\overline{OH}=\left\|{\overrightarrow{OM}}\right\|\left\|{\overrightarrow{ON}}\right\|\cos\Bigl(\overrightarrow{ON},\overrightarrow{OM}\Bigr)}

Cela s’écrit : {a\cos x+b\sin x=A\cos(x-\varphi)}

Si on fixe {x} (c’est-à-dire {M}) et qu’on fait varier {N} sur le cercle de centre {0} et de rayon {A}, la projection {H} de {N} sur {(OM)} décrit le segment de centre {O} et dont une extrémité est le point {K} d’affixe {A\text{e}^{ix}}.

Interprétation géométrique du produit

Soit {M(z)} un point quelconque du plan, d’affixe {z}.

Soit {a=\text{e}^{i\theta}} et {b=\rho\text{e}^{i\theta}}, avec {(\rho>0)}. On définit les points {A(z)} et {B(b)}.

On passe de {M(z)} à {P(\rho z)} par l’homothétie {h} de centre {O} de rapport {\rho}.

On passe de {M(z)} à {N(\text{e}^{i\theta} z)} par la rotation {r} de centre {O} et d’angle {\theta}.

On passe de {M(z)} à {Q(bz)} par la composée {f=h\circ r=r\circ h}.

On dit que {f} est la similitude directe de centre {0}, de rapport {\rho}, d’angle {\theta}.

En particulier, {R(iz)} se déduit de {M(z)} par la rotation de centre {O} et d’angle {\dfrac\pi2}.

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