Exponentielle complexe

Plan du chapitre "Nombres complexes"

Définition de exp(z) pour z dans ℂ

Définition (la fonction exponentielle complexe)
Soit {z=x+iy} (avec {x,y} dans {\mathbb{R}}) un nombre complexe.
On pose {\exp(z)=\text{e}^x\,\text{e}^{iy}}, quantité également notée {\text{e}^{z}}.
On définit ainsi une application {z\mapsto \exp(z)} de {\mathbb{C}} dans {\mathbb{C}}, appelée exponentielle complexe.

Premières propriétés:

  • La restriction à {\mathbb{R}} de la fonction {z\to\exp(z)} est l’exponentielle réelle déjà connue.
    De même, sa restriction aux imaginaires purs est l’application {i\theta\to\text{e}^{i\theta}} définie précédemment.
  • Pour tout complexe {z=x+iy} (avec {x,y\in\mathbb{R}}) on a, par définition :
    {\begin{cases}\left|{\exp(z)}\right|=\text{e}^{x}&\cr\arg(\exp(z))=y~[2\pi]&\end{cases}}
    En particulier, {\exp(z)} n’est jamais nul.
    On note également que, pour tout {z} de {\mathbb{C}}, on a : {\exp(\overline{z})=\overline{\exp(z)}}.
  • On constate l’équivalence: {\exp(z)=1\Leftrightarrow\exists\, k\in\mathbb{Z}} tel que {z=2ik\pi}.

Propriétés de la fonction exponentielle

Proposition (relation fonctionnelle fondamentale)
Pour tous nombres complexes {z} et {z'}, on a l’égalité: {\exp(z+z')=\exp(z)\,\exp(z')}.
On en déduit que, pour tout {z} de {\mathbb{C}}: {\exp(z)} est non nul et {\dfrac 1{\exp (z)}=\exp(-z)}.

Proposition (périodicité de la fonction exponentielle complexe)
On a l’équivalence: {\exp(z)=\exp(z')\Leftrightarrow(\exists\, k\in\mathbb{Z},\;z=z'+2ik\pi)\Leftrightarrow z\equiv z'\;(2i\pi)}.
L’application exponentielle {z\mapsto\exp(z)} est donc périodique de période {2i\pi}.

Images d’une droite par la fonction exponentielle

Pour illustrer les propriétés suivantes, on est prié de faire un dessin!

  • Quand {M(z=iy)} décrit l’axe des imaginaires purs (la droite verticale {x=0}), dans le sens des ordonnées {y} croissantes, le point {M(\exp(z))} décrit le cercle trigonométrique (dans le sens trigonométrique).
  • Plus généralement, quand {M(z=x_{0}+iy)} décrit la droite verticale {x=x_{0}} (suivant les {y} croissants), le point {M(\exp(z))} décrit le cercle de centre {0} et de rayon {R=\text{e}^{x_{0}}} (dans le sens trigonométrique).
    Si {x_{0}\lt 0} (resp {x_{0}>0}), on est à l’intérieur (resp. à l’extérieur) du cercle trigonométrique.
  • Quand {M(z=x)} décrit l’axe réel (la droite {y=0}), dans le sens des {x} croissants, le point {M(\exp(z))} décrit la demi-droite des réels strictement positifs (dans le sens des abscisses croissantes).
  • Plus généralement, quand {M(z=x+iy_{0})} décrit la droite horizontale {y=y_{0}} (selon les {x} croissants), le point {M(\exp(z))} décrit la demi-droite issue de {O} et d’angle polaire {y_{0}} (en s’éloignant de {O}).

Résolution de l’équation exp(z)=a dans ℂ

Proposition
Soit {a=\rho\,\text{e}^{i\theta}} un nombre complexe non nul, écrit sous forme trigonométrique ({\rho=\left|{a}\right|>0}).
Soit {z=x+iy} (avec {x,y} dans {\mathbb{R}}).
On a les équivalences: {\exp(z)=a\Leftrightarrow\begin{cases}x=\ln(\rho)\cr y\equiv\theta~[2\pi]\end{cases}\Leftrightarrow\exists\, k\in\mathbb{Z},\;z=\ln(\rho)+i(\theta+2k\pi)}.
L’équation {\exp(z)=a} possède donc une infinité de solutions.
Toutes se déduisent de l’une d’entre elles par ajout d’un multiple entier de {2i\pi}.

Remarques:

  • L’équation {\exp(z)=a} (avec {a} dans {\mathbb{C}^{*}}, et {z} cherché sous la forme {x+iy}) possède une solution unique si on se limite à {y} dans {]\,\alpha,\alpha+2\pi]} (par exemple {y} dans {]-\pi,\pi]}).

  • On n’écrira jamais l’expression {\ln(a)}, quand {a} est un nombre complexe non réel strictement positif!
    La raison principale est qu’il y a une infinité de solutions à l’équation {\text{e}^{z}=a}, et qu’on n’a pas de raison objective et sûre de choisir l’une plutôt que l’autre.
  • Par exemple, on a bien {\text{e}^{z}=-1} avec {z=i\pi}, mais ça n’autorise pas à écrire: {\ln(-1)=i\pi}.
    En effet, les solutions de {\text{e}^{z}=-1} sont les {z=(2k+1)i\pi}, avec {k} dans {\mathbb{Z}}.
    De même, on a bien {\text{e}^{z}=i} avec {z=i\dfrac{\pi}{2}}, mais ça n’autorise pas à écrire: {\ln(i)=i\dfrac{\pi}{2}}.
    En effet, les solutions de {\text{e}^{z}=-1} sont les {z=i\dfrac{\pi}{2}+2ik\pi}, avec {k} dans {\mathbb{Z}}.

  • La figure suivante illustre le passage de {M(z)} à {N(\text{e}^{z})} (on n’a pas indiqué les unités sur les axes):

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