Équation du second degré dans ℂ

Plan du chapitre "Nombres complexes"

Racines carrées d’un nombre complexe

Proposition
Tout nombre complexe non nul {Z} admet exactement deux racines
carrées, et elles sont opposées.

Méthode algébrique :

On pose {Z=A+iB}, et on cherche {z=x+iy}, avec {A,B,x,y} dans {\mathbb{R}}.

On a les équivalences : {\begin{array}{rl}z^2=Z&\Leftrightarrow\begin{cases}x^2-y^2=A\\2xy=B\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x^2-y^2=A\\ x^2+y^2=|Z|\\ 2xy=B\end{cases}\\\\&\Leftrightarrow\begin{cases}x^2=\dfrac{|Z|+A}2\\ y^2=\dfrac{|Z|-A}2\\ 2xy=B\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=\varepsilon\,\sqrt{\,\dfrac{|Z|+A}2\,}&\\y=\varepsilon'\,\sqrt{\,\dfrac{|Z|-A}2}\end{cases}\\\\&\text{\ avec\ }\varepsilon,\varepsilon'\in\{-1,1\}\;\text{et}\;\varepsilon\varepsilon'\text{\ du signe de\ }B\end{array}}

Par exemple :

Si {Z=7-24i} (donc {\left|{Z}\right|=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25}), et en posant {z=x+iy} :
{\begin{array}{rl}z^{2}=Z&\Leftrightarrow\begin{cases}x^2-y^2=7\cr2xy=-24\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x^2-y^2=7\cr x^{2}+y^{2}=25\cr xy=-12\end{cases}\\\\&\Leftrightarrow \begin{cases}x^2=16\cr y^{2}=9\cr xy=-12\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}(x=4\;\text{et}\; y=-3)\cr\;\text{ou}\;(x=-4\;\text{et}\; y=3)\end{cases}\end{array}}
Les deux racines carrées de {Z=7-24i} sont donc {\begin{cases}z_{1}=4-3i\\z_{2}=-z_{1}=-4+3i\end{cases}}.

Méthode trigonométrique :

On pose {Z=R\text{e}^{i\varphi}} et {z=\rho\text{e}^{i\theta}}, avec {R>0,\rho>0}, et {\varphi,\theta} dans {\mathbb{R}}.

On a les équivalences :
{\begin{array}{rl}z^2=Z&\Leftrightarrow \rho^2\text{e}^{2i\theta}=R\text{e}^{i\varphi}\Leftrightarrow\begin{cases}\rho^2=R\\2\theta=\varphi\ [2\pi]\end{cases}\\\\&\Leftrightarrow\begin{cases}\rho=\sqrt{R}\\\theta=\dfrac{\varphi}{2}\ [\pi]\phantom{\biggl(}\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}\rho=\sqrt{R}\\\theta=\dfrac{\varphi}{2}\ [2\pi]\phantom{\biggl(}\end{cases}\;\text{ou}\;\begin{cases}\rho=\sqrt{R}\\\theta=\dfrac{\varphi}{2}+\pi\ [2\pi]\phantom{\biggl(}\end{cases}\end{array}}

et on obtient les deux solutions {z=\sqrt{R}\text{e}^{i\varphi/2}\;\text{et}\;}z=-\sqrt{R}\text{e}^{i\varphi/2}.

Par exemple:

Si {Z=2\sqrt3+2i=4\text{e}^{i\pi/6}}, et en posant {z=\rho\text{e}^{i\theta}} :
{\begin{array}{rl}z^{2}=Z&\Leftrightarrow\rho^{2}\text{e}^{2i\theta}=4\text{e}^{i\pi/6}\Leftrightarrow \Big(\rho=2\;\text{et}\; \theta=\dfrac{\pi}{12}~[\pi]\Bigr)\\\\&\Leftrightarrow \Bigl(z=2\text{e}^{i\pi/12}\;\text{ou}\; z=2\text{e}^{7i\pi/12}\Bigr)\end{array}}

Équations du second degré dans ℂ

On considère l’équation {(E)} : {az^2+bz+c=0}, d’inconnue {z}, avec {(a,b,c)\in\mathbb{C}^3}, et {a\ne0}.

On appelle discriminant de {(E)} le nombre complexe : {\Delta=b^2-4ac}.

Mise sous forme canonique :
{\begin{array}{rl}(E): az^2+bz+c=0&\Leftrightarrow z^{2}+\dfrac{b}{a}z+\dfrac{c}{a}=0\\\\&\Leftrightarrow\Bigl(z+\dfrac{b}{2a}\Bigr)^{2}=\dfrac{b^{2}}{4a^{2}}-\dfrac{c}{a}\Leftrightarrow \Bigl(z+\dfrac{b}{2a}\Bigr)^{2}=\dfrac{\Delta}{4a^{2}}\end{array}}

Cas où le discriminant est nul :

Si {\Delta=0}, alors {(E)\Leftrightarrow \Bigl(z+\dfrac{b}{2a}\Bigr)^{2}=0\Leftrightarrow z=-\dfrac b{2a}} (on parle de “racine double”).

Cas où le discriminant est non nul :

Si {\Delta\ne0}, soit {\delta} l’une des deux racines carrées (distinctes et opposées) de {\Delta} (ne pas noter {\sqrt{\Delta}}!!)

On a alors les équivalences : {\begin{array}{rl}(E)&\Leftrightarrow \Bigl(z+\dfrac{b}{2a}\Bigr)^{2}-\Bigl(\dfrac{\delta}{2a}\Bigr)^{2}=0\\\\&\Leftrightarrow\Bigl(z+\dfrac{b}{2a}-\dfrac{\delta}{2a}\Bigr)\Bigl(z+\dfrac{b}{2a}+\dfrac{\delta}{2a}\Bigr)=0\end{array}}

Dans ce cas {(E)} a donc deux racines distinctes dans {\mathbb{C}} : {z=\dfrac{-b+\delta}{2a}} et {z=\dfrac{-b-\delta}{2a}}.

Somme et produit des racines :

Dans tous les cas, la somme des racines est {-\dfrac ba} et leur produit est {\dfrac ca}.

Inversement, si {u,v} sont cherchés dans {\mathbb{C}}, et si {S,P} sont donnés dans {\mathbb{C}}, on a :
{\begin{cases}u+v=S\cr uv=P\end{cases}\Leftrightarrow \Bigl(\{u,v\}\text{\ est l'ensemble des racines de\ }z^{2}-Sz+P=0\Bigr)}

Utilisation du discriminant réduit :

Si {b} s’écrit manifestement {b=2b'}, on peut utiliser le discriminant réduit {\Delta'=b'^2-ac}.

Les solutions de {(E)} s’écrivent alors : {z=\dfrac{-b'-\delta'}{a}} et {z=\dfrac{-b'+\delta'}{a}}{\delta'^2=\Delta'}.

Cas de l’équation du second degré à coefficients réels

Si {(a,b,c)} sont réels, le cas {\Delta\ne0} se subdivise en {\Delta>0} et {\Delta\lt 0}

Si {\Delta>0}, les deux solutions de {(E)} sont réelles et s’écrivent: {z=\dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}}.

Si {\Delta\lt 0}, elles sont non réelles, conjuguées l’une de l’autre et s’écrivent : {z=\dfrac{-b- i\sqrt{-\Delta}}{2a}\;\text{et}\;z=\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}}

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