Sommes et produits

Plan du chapitre "Calculs algébriques"

Sommes et produits finis

Définition
Soit {I} un ensemble fini, et {(x_{i})_{i\in I}} une famille de nombres complexes.
On note {\displaystyle\sum_{i\in I}x_{i}} la somme des {x_{i}}, et on note {\displaystyle\prod_{i\in I}x_{i}} leur produit.
Si l’ensemble {I} est vide, on convient que {\displaystyle\sum_{i\in I}x_{i}=0} et {\displaystyle\prod_{i\in I}x_{i}=1}.

Remarques

  • Dans les notations précédentes, il faut bien comprendre que chaque indice {i} apparaît une fois et une seule, dans la somme ou dans le produit. La commutativité des opérations fait qu’il n’est pas nécessaire de préciser dans quel ordre sont effectués cette somme ou ce produit.
  • Supposons que {I} soit la réunion {I=J\cup K} de deux ensembles disjoints {J} et {K}.
    Il est clair que {\displaystyle\sum_{i\in I}x_{i}=\displaystyle\sum_{i\in J}x_{i}+\displaystyle\sum_{i\in K}x_{i}} et que {\displaystyle\prod_{i\in I}x_{i}=\Bigl(\displaystyle\prod_{i\in J}x_{i}\Bigr)\Bigl(\displaystyle\prod_{i\in K}x_{i}\Bigr)}.
    Cette remarque aide à comprendre les conventions {\displaystyle\sum_{i\in \emptyset}x_{i}=0} et {\displaystyle\prod_{i\in \emptyset}x_{i}=1} (et elle ).
  • Un cas fréquent est celui ou {I} est un intervalle d’entiers.
    Supposons par exemple {I=[[ m,n]]} (notation usuelle pour désigner {\{k\in \mathbb{N}, m\le k\le n\}}).
    Dans ce cas, on notera {\displaystyle\sum_{i=m}^{n}x_{i}} pour la somme, et {\displaystyle\prod_{i=m}^{n}x_{i}} pour le produit.
    Attention : on effectue ici la somme (ou le produit) dans le sens des indices croissants. On considèrera donc que la somme est vide (donc vaut {0}) et que le produit est vide (donc vaut {1}) si {m>n}.
  • La lettre utilisée pour décrire l’ensemble {I} est sans importance, dans la mesure où elle ne prête pas à confusion (on parle d’indice muet).
    La même somme pourra donc être notée indifféremment {\displaystyle\sum_{i\in I}x_{i}}, {\displaystyle\sum_{j\in I}x_{j}}, ou {\displaystyle\sum_{k\in I}x_{k}}.
    Par exemple, {\displaystyle\sum_{j=1}^{n}x^{j}} peut se noter {\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x^{i}}, mais certainement pas {\displaystyle\sum_{x=1}^{n}x^{x}} ou {\displaystyle\sum_{x=1}^{n}x^{n}}

Factorisations dans des sommes ou des produits

  • Si {\lambda} ne dépend pas de l’indice {i}, alors {\displaystyle\sum_{i\in I}(\lambda x_{i})=\lambda\sum_{i\in I}x_{i}}.
    Bien sûr {\displaystyle\sum_{i\in I}\lambda=\lambda\text{card}(I)} (où {\text{card}(I)} désigne le nombre d’éléments de {I}).

    Plus généralement, si {\lambda,\mu} sont constants : {\displaystyle\sum_{i\in I}(\lambda x_{i}+\mu y_{i})=\lambda\sum_{i\in I}x_{i}+\mu\sum_{i\in I}y_{i}}.

  • Si {\lambda} ne dépend pas de {i}, et si {n=\text{card}(I)\ge1}, alors :
    {\displaystyle\prod_{i\in I}(\lambda x_{i})=\lambda^{n}\prod_{i\in I}x_{i}\text{\ et en particulier\ }\displaystyle\prod_{i\in I}\lambda=\lambda^{n}}
  • On a les égalités {\displaystyle\prod_{i\in I}(x_{i}\,y_{i})=\Bigl(\displaystyle\prod_{i\in I}x_{i}\Bigr)\Bigl(\displaystyle\prod_{i\in I}y_{i}\Bigr)} et {\displaystyle\prod_{i\in I}x_{i}^{p}\,y_{i}^{q}=\Bigl(\displaystyle\prod_{i\in I}x_{i}\Bigr)^{p}\Bigl(\displaystyle\prod_{i\in I}y_{i}\Bigr)^{q}}
  • Attention surtout à ne pas faire l’erreur d’écrire {\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_{i}\,y_{i}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_{i}\displaystyle\sum_{i=1}^{n} y_{i}}.

Changements d’indice

Soit {I} un ensemble fini, et {(x_{i})_{i\in I}} une famille de nombres complexes.
Soit {J} un ensemble fini, et {\varphi} une bijection de {J} sur {I}.
Ainsi à chaque indice {i} de {I} correspond un unique {j} de {J} tel que {i=\varphi(j)}.
Effectuer le changement d’indice {i=\varphi(j)}, c’est écrire (en posant {y_{j}=x_{\varphi(j)}}, pour tout {j} de {J}) :

  • Dans une somme : {S=\displaystyle\sum_{i\in I}x_{i}=\sum_{j\in J}x_{\varphi(j)}=\sum_{j\in J}y_{j}} (puis si on veut {S=\displaystyle\sum_{i\in J}y_{i}}).
  • Dans un produit : {P=\displaystyle\prod_{i\in I}x_{i}=\prod_{j\in J}x_{\varphi(j)}=\prod_{j\in J}y_{j}} (puis si on veut {P=\displaystyle\prod_{i\in J}y_{i}}).

Dans un tel calcul il faut distinguer le temps du changement d’indice {i=\varphi(j)}, pendant lequel {i} et {j} ne doivent pas être confondus, et le temps qui vient après (où l’indice muet {j} peut être renommé {i}).

La situation la plus fréquente est celle où {I} est un intervalle {[[ m,n]]} d’entiers, et où le changement d’indice est une translation {i=j+p} (le plus souvent {i=j+1} ou {i=j-1}).
On écrira : {S=\displaystyle\sum_{i=m}^{n}x_{i}=\sum_{j=m+1}^{n+1}x_{j-1}=\sum_{k=m-1}^{n-1}x_{k+1}}.
On écrira souvent directement : {S=\displaystyle\sum_{i=m}^{n}x_{i}=\sum_{i=m+1}^{n+1}x_{i-1}=\sum_{i=m-1}^{n-1}x_{i+1}}.

Autre situation classique, un changement d’indice suggérant que la somme ou le produit sont parcourus en sens contraire du sens initial. Par exemple, avec “{k\leftarrow n-k}” on écrira :
{\displaystyle\sum_{k=0}^{n}x_{k}=\sum_{k=0}^{n}x_{n-k}\;\text{ou}\;\displaystyle\prod_{k=0}^{n}x_{k}=\prod_{k=0}^{n}x_{n-k}}

Sommes et produits “télescopiques”

Pour comprendre cette notion, considérons l’exemple de la somme {u_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k(k+1)}}.
Par exemple {u_{6}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{20}+\dfrac{1}{30}+\dfrac{1}{42}}.

Pour calculer {u_{n}}, tout s’éclaire quand on réalise que {\dfrac{1}{k(k+1)}=\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}}.
Par exemple, pour {n=6}, on trouve : {\begin{array}{rl}u_{6}&=\Bigl(\dfrac{1}{1}\!-\!\dfrac{1}{2}\Bigr)+\Bigl(\dfrac{1}{2}\!-\!\dfrac{1}{3}\Bigr)+\Bigl(\dfrac{1}{3}\!-\!\dfrac{1}{4}\Bigr)+\Bigl(\dfrac{1}{4}\!-\!\dfrac{1}{5}\Bigr)+\Bigl(\dfrac{1}{5}\!-\!\dfrac{1}{6}\Bigr)+\Bigl(\dfrac{1}{6}\!-\!\dfrac{1}{7}\Bigr)\\\\&=1-\dfrac{1}{7}=\dfrac{6}{7}\end{array}}Plus généralement, soit à calculer une somme {S=\displaystyle\sum_{i=m}^{n}x_{i}}.
Il peut être judicieux d’écrire {x_{i}=y_{i}-y_{i+1}} (mais trouver {y_{i}} n’est pas forcément facile!).
Dans ce cas, on peut écrire toutes les étapes :
{\begin{array}{rl}S&=\displaystyle\sum_{i=m}^{n}x_{i}=\sum_{i=m}^{n}(y_{i}-y_{i+1})=\sum_{i=m}^{n}y_{i}-\sum_{i=m}^{n}y_{i+1}=\displaystyle\sum_{i=m}^{n}y_{i}-\sum_{i=m+1}^{n+1}y_{i}\\&=\displaystyle\Bigl(y_{m}+\sum_{i=m+1}^{n}y_{i}\Bigr)-\Bigl(\sum_{i=m+1}^{n}y_{i}+y_{n+1}\Bigr)=y_{m}-y_{n+1}\end{array}}L’idéal est d’écrire directement (et on parle de “somme télescopique”) : {\displaystyle\sum_{i=m}^{n}(y_{i}-y_{i+1})=y_{m}-y_{n+1}} On est en présence d’un “produit télescopique” {P=\displaystyle\prod_{i=m}^{n}x_{i}} quand {x_{i}} s’écrit {x_{i}=\dfrac{y_{i}}{y_{i+1}}}.
Dans ces conditions, on écrira directement (en justifiant) : {P=\displaystyle\prod_{i=m}^{n}\dfrac{y_{i}}{y_{i+1}}=\dfrac{y_{m}}{y_{n+1}}}.

Quelques résultats classiques

Somme d’une suite arithmétique:

Proposition (somme des entiers de 1 à n)
Pour tout {n} de {\mathbb{N}}, on a {\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k=1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}}.

Plus généralement, si {S} est la somme de {n} termes successifs {a_{k}} d’une suite arithmétique de raison {r} (donc {a_{k+1}=a_{k}+r} pour tout {k}), et si les termes de début et de fin sont {d} et {f} alors : {\displaystyle\sum a_{k}=n\,\dfrac{d+f}2}.

Un bon moyen de retrouver {S} est d’écrire (en notant {a_{k}^{+}} et {a_{k}^{-}} les {a_{k}} “parcourus” de gauche à droite et de droite à gauche) : {2S=\sum\limits a_{k}^{+}+\sum\limits a_{k}^{-}=\sum\limits(a_{k}^{+}+a_{k}^{-})=\sum\limits(d+f)=n(d+f)}

Proposition (somme des carrés ou des cubes des entiers de 1 à n)
Pour tout {n} de {\mathbb{N}}, on a {\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^{2}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}}, et {\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^{3}=\dfrac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}}.

On notera (ça aide à la mémorisation) que {\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^{3}} est égale au carré de {\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k}.

Proposition
Pour {x\ne1} et {n\in\mathbb{N}^{*}} : {S_n(x)=1+x+x^2+\cdots+x^{n-1}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}x^{k}=\dfrac{x^{n}-1}{x-1}}.
On a bien sûr {S_n(1)=n}.

Par exemple, pour tout {n} de {\mathbb{N}^{*}} : {1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\cdots+\dfrac{1}{2^{n-1}}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{1}{2^{k}}=2\Bigl(1-\dfrac{1}{2^{n}}\Bigr)}

Plus généralement, soit {S} la somme de {n} termes successifs {a_{k}} d’une progression géométrique de raison {q} ({a_{k+1}=qa_{k}} pour tout {k}), de termes extrêmes {d} et {f} alors :
{\displaystyle\sum a_{k}=\dfrac{qf-d}{q-1}\text{\ (si\ }q\ne1,\text{\ si\ }q=1\text{\ la somme vaut\ }na_{0}}On peut calculer {T_{n}(x)=1+2x+3x^{2}+\cdots+nx^{n-1}} par dérivation de la somme {S_{n+1}(x)} :
{\begin{array}{rl}T_{n}(x)&=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k x^{k-1}=S_{n+1}'(x)=\Bigl(\dfrac{x^{n+1}-1}{x-1}\Bigr)'\\\\&=\dfrac{n x^{n+1}-(n+1)x^{n}+1}{(x-1)^{2}}\text{\ (si\ }x\ne1)\end{array}}Le calcul précédent est valable pour {x} dans {\mathbb{R}}, mais l’expression finale de {T_{n}(x)} reste vraie dans {\mathbb{C}}.

Voici un résultat analogue au précédent (mais davantage du point de vue de la factorisation) :

Proposition
Pour tous {x,y} dans {\mathbb{C}}, et pour tout {n} de {\mathbb{N}^{*}}, on a la factorisation :{x^{n}-y^{n}=(x-y)\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}x^{n-1-k}y^k=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+\cdots+xy^{n-2}+y^{n-1})}Si l’entier {n} est impair (en appliquant ce qui précède à {-y} plutôt qu’à {y}) :
{\begin{array}{rl}x^{n}+y^{n}&=(x+y)\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{k}x^{n-1-k}y^k\\\\&=(x+y)(x^{n-1}-x^{n-2}y+\cdots+(-1)^{k}x^{n-1-k}y^k+\cdots-xy^{n-2}+y^{n-1})\end{array}}

On trouve en particulier les factorisations :

  • {x^2-y^2=(x-y)(x+y)}
  • {x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)}
  • {x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)}
  • {x^{4}-y^{4}=(x-y)(x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3})}
  • {x^{5}-y^{5}=(x-y)(x^{4}+x^{3}y+x^{2}y^{2}+xy^{3}+y^{4})}
  • {x^{5}+y^{5}=(x+y)(x^{4}-x^{3}y+x^{2}y^{2}-xy^{3}+y^{4})}

De même, en choisissant {y=1}, on a les factorisations :

  • {x^2-1=(x-1)(x+1)}
  • {x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)}
  • {x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)}
  • {x^{4}-1=(x-1)(x^{3}+x^{2}+x+1)}
  • {x^{5}-1=(x-1)(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)}
  • {x^{5}+1=(x+1)(x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1)}

Et plus généralement :

  • Pour tout entier {n}, {x^{n}-1=(x-1)\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}x^{k}}
  • Pour tout entier {n} impair, {x^{n}+1=(x+1)\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{k}x^{n-1-k}}

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