Sommes doubles, interversions

Plan du chapitre "Calculs algébriques"

Dans cette section, on désigne par {\Omega} une partie finie de {\mathbb{N}^{2}}.
On identifie tout couple {(i,j)} de {\Omega} au point du plan d’abscisse {i} et d’ordonnée {j}.
On considère une application définie sur {\Omega}, à valeurs dans {\mathbb{C}}, et on note {x_{i,j}} l’image du couple {(i,j)}.
Soit {S=\displaystyle\sum_{(i,j)\in\Omega}x_{i,j}} la somme des {x_{i,j}}, quand {(i,j)} parcourt {\Omega}. On dit que {S} est une somme double.
Une méthode habituelle de calcul de {S} consiste à voir cette somme double comme l’enchaînement de deux sommes simples consécutives.

Somme sur un domaine rectangulaire

Ici {\Omega} est le produit cartésien {I\times J} de deux intervalles {I=[[ m,n]]} et {J=[[ p,q]]}, avec {m\le n} et {p\le q}.
L’ensemble {\Omega} s’identifie alors aux points d’intersection d’une grille rectangulaire du plan.
Dans ces conditions {S=\displaystyle\sum_{(i,j)\in\Omega}x_{i,j}=\displaystyle\sum_{i=m}^{n}\Bigl(\sum_{j=p}^{q}x_{i,j}\Bigl)=\displaystyle\sum_{j=p}^{q}\Bigl(\sum_{i=m}^{n}x_{i,j}\Bigl)}.
La première expression évoque un parcours de {\Omega} en colonnes : pour chaque {i} en abscisse ({m\le i\le n}), on forme la somme “verticale” {V_{i}=\displaystyle\sum_{j=p}^{q}x_{i,j}} et on termine en calculant {\displaystyle\sum_{i=m}^{n}V_{i}}.
La deuxième expression évoque un parcours de {\Omega} en lignes : pour chaque {j} en ordonnée ({p\le j\le q}), on forme la somme “horizontale” {H_{j}=\displaystyle\sum_{i=m}^{n}x_{i,j}} et on termine en calculant {\displaystyle\sum_{j=p}^{q}H_{j}}.
Il y a donc une “somme interne” et une “somme externe”. Le caractère rectangulaire de {\Omega} fait que les bornes de la somme interne ne dépendent pas de “l’indice courant” dans la somme externe, et qu’on peut librement intervertir les deux sommes.
Dans la pratique, on écrira indifféremment :
{S=\displaystyle\sum_{m\le i\le n\atop p\le j\le q}x_{i,j}=\displaystyle\sum_{i=m}^{n}\,\sum_{j=p}^{q}x_{i,j}=\displaystyle\sum_{j=p}^{q}\;\sum_{i=m}^{n}x_{i,j}}Quand {I=J=[[ m,n]]}, on pourra écrire {S=\displaystyle\sum_{m\le i,j\le n}x_{i,j}}

Mise en facteur de termes indépendants de l’indice de sommation

Considérons la somme {S=\displaystyle\sum_{m\le i\le n\atop p\le j\le q}x_{i,j}}, où {x_{i,j}} peut s’écrire {x_{i,j}=\lambda_{i}\,\mu_{j}\,y_{i,j}}.
On peut alors factoriser {\lambda_{i}} dans une somme interne sur {j}, et {\mu_{j}} dans une somme interne sur {I}.
Plus précisément, on peut écrire : {S=\displaystyle\sum_{i=m}^{n}\biggl(\sum_{j=p}^{q}\lambda_{i}\,\mu_{j}\,y_{i,j}\biggr)=\displaystyle\sum_{i=m}^{n}\biggl(\lambda_{i}\sum_{j=p}^{q}\mu_{j}\,y_{i,j}\biggr)=\displaystyle\sum_{j=p}^{q}\biggl(\mu_{j}\sum_{i=m}^{n}\lambda_{i}\,x_{i,j}\biggr)}Dans le cas où {x_{i,j}} s’écrit {x_{i,j}=\lambda_{i}\,\mu_{j}}, la factorisation est encore plus pronconcée.
Dans ce cas on écrira : {S=\displaystyle\sum_{i=m}^{n}\biggl(\sum_{j=p}^{q}\lambda_{i}\,\mu_{j}\biggr)=\displaystyle\sum_{i=m}^{n}\biggl(\lambda_{i}\sum_{j=p}^{q}\mu_{j}\biggr)=\biggl(\displaystyle\sum_{i=m}^{n}\lambda_{i}\biggr)\;\biggl(\sum_{j=p}^{q}\mu_{j}\biggr)}

Somme sur un domaine triangulaire

Un cas particulier important est celui où {\Omega} est un domaine triangulaire du plan.
Pour fixer les idées, supposons que {\Omega=\{(i,j)\in\mathbb{N}^{2},\;0\le i\le j\le n\}}.
Dans ces conditions :{S=\displaystyle\sum_{(i,j)\in\Omega}x_{i,j}=\displaystyle\sum_{0\le i\le j\le n}x_{i,j}=\displaystyle\sum_{i=0}^{n}\Bigl(\sum_{j=i}^{n}x_{i,j}\Bigl)=\displaystyle\sum_{j=0}^{n}\Bigl(\sum_{i=0}^{j}x_{i,j}\Bigl)}Là aussi, on choisit un parcours de {\Omega} en lignes ou en colonnes, mais il faut prendre garde au fait que les bornes de la somme interne dépendent de l’indice courant dans la somme externe : l’interversion nécessite donc un peu de réflexion. Dans le même ordre d’idée, on écrira les interversions suivantes (liste non exhaustive) :

Par exemple : {\displaystyle\sum_{0\le j\le i\le n}x_{i,j}=\displaystyle\sum_{j=0}^{n}\;\sum_{i=j}^{n}x_{i,j}=\displaystyle\sum_{i=0}^{n}\;\sum_{j=0}^{i}x_{i,j}}

ou encore : {\displaystyle\sum_{0\le i\lt j\le n}x_{i,j}=\displaystyle\sum_{i=0}^{n}\;\sum_{j=i+1}^{n}x_{i,j}=\displaystyle\sum_{j=1}^{n}\;\sum_{i=0}^{j-1}x_{i,j}}

ou encore : {\displaystyle\sum_{0\le i,j\le n\atop 0\le i+j\le n}x_{i,j}=\displaystyle\sum_{j=0}^{n}\;\sum_{i=0}^{n-j}x_{i,j}=\displaystyle\sum_{i=0}^{n}\;\sum_{j=0}^{n-i}x_{i,j}}

(dans ce dernier cas, il est très recommandé de faire un dessin!)

Sommation par partition

Si {\Omega} est la réunion disjointe de deux ou de plusieurs parties {\Omega_{1},\Omega_{2},\Omega_{3},\ldots} du plan, on pourra écrire :
{S=\displaystyle\sum_{(i,j)\in\Omega}x_{i,j}=\displaystyle\sum_{(i,j)\in\Omega_{1}}x_{i,j}+\displaystyle\sum_{(i,j)\in\Omega_{2}}x_{i,j}+\displaystyle\sum_{(i,j)\in\Omega_{3}}x_{i,j}\cdots}
Cette méthode est utile lorsque l’expression de {x_{i,j}} varie en fonction de la position respective de deux indices {i} et {j} (par exemple selon que {i\lt j}, {i=j}, ou {i>j}).
On pourra par exemple écrire, si on sait que {\Omega=[[ m,n]]^{2}} : {\begin{array}{rl}\displaystyle\sum_{i,j}x_{i,j}&=\displaystyle\sum_{i\le j}x_{i,j}+\displaystyle\sum_{i>j}x_{i,j}\\\\&=\displaystyle\sum_{i=m}^{n}x_{i,i}+\displaystyle\sum_{i\lt j}x_{i,j}+\displaystyle\sum_{i>j}x_{i,j}=\displaystyle\sum_{i=m}^{n}x_{i,i}+\displaystyle\sum_{i\ne j}x_{i,j}\end{array}}Il est possible aussi de décrire une zone triangulaire par des parallèles aux diagonales.
Par exemple (en faisant un dessin!) : {\begin{array}{rl}\displaystyle\sum_{0\le j\le i\le n}x_{i,j}&=\displaystyle\sum_{d=0}^{n}\biggl(\sum_{0\le j\le i\le n\atop i-j=d}x_{i,j}\biggr)\\\\&=\displaystyle\sum_{d=0}^{n}\biggl(\displaystyle\sum_{i=d}^{n}x_{i,\,i-d}\biggl)=\displaystyle\sum_{d=0}^{n}\biggl(\displaystyle\sum_{j=0}^{n-d}x_{j+d,\,j}\biggl)\end{array}}Ou encore (et là aussi, on s’aide obligatoirement d’une représentation graphique) : {\begin{array}{rl}\displaystyle\sum_{0\le i\le n}\bigg(\displaystyle\sum_{0\le j\le n-i}x_{i,j}\bigg)&=\displaystyle\sum_{0\le j\le n}\bigg(\sum_{0\le i\le n-j}x_{i,j}\bigg)=\sum_{d=0}^{n}\biggl(\displaystyle\sum_{0\le i,j\le n\atop i+j=d}x_{i,j}\biggr)\\\\&=\displaystyle\sum_{d=0}^{n}\biggl(\displaystyle\sum_{i=0}^{d}x_{i,\,d-i}\biggl)=\displaystyle\sum_{d=0}^{n}\biggl(\displaystyle\sum_{j=0}^{d}x_{d-j,\,j}\biggl)\end{array}}

Produits de sommes

Soit {X=\displaystyle\sum_{i\in I}x_{i}} et {Y=\displaystyle\sum_{j\in J}y_{j}} deux sommes finies.
On développe leur produit en écrivant {XY=\displaystyle\sum_{i\in I}x_{i}\displaystyle\sum_{j\in J}y_{j}=\displaystyle\sum_{(i,j)\in I\times J}x_{i}y_{j}}.
Pour le développement de {XY}, il faut utiliser deux indices différents!
On n’écrira donc jamais : {\displaystyle\sum_{i=0}^{n}x_{i}\;\displaystyle\sum_{i=0}^{n}y_{i}=\cdots}, le risque étant l’erreur fatale{\displaystyle\sum_{i=0}^{n}x_{i}\displaystyle\sum_{i=0}^{n}y_{i}=\displaystyle\sum_{i=0}^{n}x_{i}y_{i}}
On peut généraliser ce qui précède au développement du produit de plusieurs sommes :
Par exemple, le développement {\displaystyle\sum_{i\in I}x_{i}\displaystyle\sum_{j\in J}y_{j}\displaystyle\sum_{k\in K}z_{k}=\displaystyle\sum_{(i,j,k)\in I\times J\times K}x_{i}\,y_{j}\,z_{k}} donne une somme triple.
Enfin, les produits de produits ne se comportent pas comme les produits de sommes!
Par exemple : {\displaystyle\prod_{i\in I}x_{i}\;\prod_{i\in I}y_{j}=\displaystyle\prod_{i\in I}(x_{i}\,y_{i})}, ou encore {\Bigl(\displaystyle\prod_{i\in I}x_{i}\Bigr)^{2}=\displaystyle\prod_{i\in I}x_{i}^{2}} (facile, si on réfléchit d’abord).

Développement du carré ou du cube d’une somme

Soit {I=[[ m,n]]} un intervalle d’entiers.
On peut écrire de plusieurs manières différentes le développement du carré de la somme {\Bigl(\displaystyle\sum_{i=m}^{n}x_i\Bigr)^2} :
{\begin{array}{rl}\Bigl(\displaystyle\sum_{i=m}^{n}x_i\Bigr)^2&=\displaystyle\sum_{m\le i,j\le n}x_{i}x_{j}=\displaystyle\sum_{i=m}^{n}\displaystyle\sum_{j=m}^{n}x_{i}x_{j}\\\\&=\displaystyle\sum_{i=m}^{n}x_{i}^{2}+\displaystyle\sum_{m\le i,j\le n\atop i\ne j}x_{i}\,x_{j}=\displaystyle\sum_{i=m}^{n}x_{i}^{2}+2\sum_{m\le i\lt j\le n}x_{i}\,x_{j}\end{array}}“Le carré de la somme” c’est donc “la somme des carrés augmentée de tous les doubles produits”.
De la même manière, on peut développer le cube d’une somme en distinguant (parmi les {x_{i}x_{j}x_{k}} du développement), ceux qui sont des cubes {x_{i}^{3}} (donc obtenus quand {i=j=k}), ceux qui contiennent deux fois (et deux seulement) un même {x_{i}} et ceux pour lesquels les trois indices {i,j,k} sont distincts.
Avec un peu de réflexion, on obtient le développement suivant (on a simplifié l’écriture des sommes, sachant très bien que les indices {i,j,k} sont ici compris entre {m} et {n}) : {\begin{array}{rl}\Bigl(\displaystyle\displaystyle\sum_{i=m}^{n}x_i\Bigr)^3&=\displaystyle\sum_{m\le i,j,k\le n}x_{i}x_{j}x_{k}=\displaystyle\sum_{i=m}^{n}\displaystyle\sum_{j=m}^{n}\displaystyle\sum_{k=m}^{n}x_{i}x_{j}x_{k}\\\\&=\displaystyle\sum_{i=m}^{n}x_{i}^{3}+3\displaystyle\sum_{i\ne j}x_{i}^{2}\,x_{j}+6\displaystyle\sum_{i\lt j\lt k}x_{i}\,x_{j}\,x_{k}\end{array}}

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