Méthode du pivot de Gauss

Plan du chapitre "Calculs algébriques"

{\vartriangleright} Principe de la méthode

Le principe est le suivant : par une suite d’opérations élémentaires, on transforme le système (S) en un système ({\Sigma}) équivalent et dont la matrice est échelonnée supérieurement.

La résolution de ({\Sigma}) donne alors les solutions de (S).

{\vartriangleright} Mise en oeuvre de la méthode

Considérons le système : {{\text{(S)}\ }\left\{\begin{array}{lll}a_{11}\,x_1+a_{12}\,x_2+\cdots+a_{1j}\,x_j+\cdots+a_{1p}\,x_p&=b_1\\a_{21}\,x_1+a_{22}\,x_2+\cdots+a_{2j}\,x_j+\cdots+a_{2p}\,x_p&=b_2\\\vdots&=\vdots\\a_{i1}\,x_1\,+a_{i2}\,x_2\,+\cdots\,+a_{ij}\,x_j+\cdots+a_{ip}\,x_p&=b_i\\\vdots&=\vdots\\a_{n1}\,x_1+a_{n2}\,x_2+\cdots+a_{nj}\,x_j+\cdots+a_{np}\,x_p&=b_n\end{array}\right.}Supposons dans un premier temps que {a_{11}} est non nul.

On effectue alors des opérations élémentaires, avec {a_{11}} comme pivot, pour annuler les coefficients de {x_1} dans les équations {\text{E}_2,\text{E}_3,\ldots,\text{E}_n}.

Ainsi, avec les opérations {\begin{cases}\text{E}_2\leftarrow a_{11}\text{E}_2-a_{21}\text{E}_1\\\ldots\\\text{E}_i\leftarrow a_{11}\text{E}_i-a_{i1}\text{E}_1\\\ldots\\\text{E}_n\leftarrow a_{11}\text{E}_n-a_{n1}\text{E}_1\end{cases}}, le système (S) devient : {{\text{(S')}\ }\left\{\begin{array}{rll}a_{11}\,x_1+a_{12}\,x_2+\cdots+a_{1j}\,x_j+\cdots+a_{1p}\,x_p&=b_1\\a'_{22}\,x_2+\cdots+a'_{2j}\,x_j+\cdots+a'_{2p}\,x_p&=b'_2\\\vdots&=\vdots\\a'_{i2}\,x_2\,+\cdots\,+a'_{ij}\,x_j+\cdots+a'_{ip}\,x_p&=b'_i\\\vdots&=\vdots\\a'_{n2}\,x_2+\cdots+a'_{nj}\,x_j+\cdots+a'_{np}\,x_p&=b'_n\end{array}\right.}

Supposons maintenant que le coefficient {a'_{22}} soit non nul.

Les opérations élémentaires {\text{E}_i\leftarrow a'_{22}\text{E}_i-a'_{i2}\text{E}_2}
(avec {3\le i\le n}) conduisent à :
{(S")\ \left\{\begin{array}{rl}a_{11}\,x_1+a_{12}\,x_2+a_{13}\,x_3+a_{14}\,x_4+\cdots+a_{1p}\,x_p&=b_1\\a'_{22}\,x_2+a'_{23}\,x_3+a'_{24}\,x_4+\cdots+a'_{2p}\,x_p&=b'_2\\a''_{33}\,x_3\,+a''_{34}\,x_4\,+\cdots+a''_{3p}\,x_p&=b''_3\\\vdots&=\vdots\\a''_{n3}\,x_3\,+a''_{n4}\,x_4\,+\cdots+a''_{np}\,x_p&=b''_n\end{array}\right.}
On poursuit ainsi la mise sous forme échelonnée de la matrice du système.

À un moment donné, il est possible que le coefficient diagonal qui doit nous servir de nouveau pivot soit nul (mais alors ce n’est pas un pivot!) : dans ce cas on échange l’équation concernée avec l’une des équations suivantes de manière à obtenir un pivot non nul.

Il se peut que tous les pivots potentiels pour passer à l’étape suivante soient nuls. C’est le cas dans ({S''}) par exemple, si tous {a''_{33},a''_{43},\ldots,a''_{n3}} sont tous nuls : dans cette situation particulière, on s’intéressera au coefficient {a''_{34}} (s’il est non nul) ou à défaut aux coefficients {a_{44},\ldots,a_{n4}}, etc.

{\vartriangleright} Forme finale du système

A la fin de la méthode, (S) a été transformé en un système échelonné supérieurement ({\Sigma}), et qui peut se présenter sous trois formes suivantes, dont on indique les représentations symboliques.

Premier cas :
Dans cette représentation symbolique, on voit bien la diagonale des pivots non nuls. Le cas évoqué ici est donc celui d’un système de Cramer, ramené à une forme triangulaire supérieure, qu’on résout “en cascades”, ce qui donne la solution unique de (S) :

Deuxième cas :

Il y a ici des inconnues en surnombre (c’est la zone marquée du symbole {\ast}). Ces inconnues excédentaires (ou non principales) sont alors reportées au second membre, où elles jouent le rôle de paramètres arbitraires.

On résout le système par rapport aux inconnues principales. C’est alors un système de Cramer, dont l’unique solution s’exprime en fonction des inconnues non principales. La présence de ces valeurs arbitraires fait que (S) possède une infinité de solutions :

Troisième cas :

Ici il y a des équations en surnombre, dites non principales. Leurs premiers membres sont nuls.
Tout dépend alors de leurs seconds membres (c’est la zone marquée d’un {\ast{}}) :

  • Si l’un d’eux est non nul, alors ({\Sigma}) et donc (S) n’ont pas de solution.
  • Si tous ces seconds membres sont nuls, ({\Sigma}) se réduit à ses équations principales, qui forment un système de Cramer. (S) admet donc une solution unique, obtenue en résolvant ce système “en cascades” :

Trois exemples

Premier exemple
Résoudre le système (S) : {\left\{\begin{array}{rrrrrrrrr}x&+&2y&+&3z&+&4t&=&11\\2x&+&3y&+&4z&+&t&=&12\\3x&+&4y&+&z&+&2t&=&13\\4x&+&y&+&2z&+&3t&=&14\end{array}\right.}

On applique la méthode du pivot, et on procède par équivalences :
{\left\{\begin{array}{rrrrrrrrr}x&+&2y&+&3z&+&4t&=&11\\2x&+&3y&+&4z&+&t&=&12\\3x&+&4y&+&z&+&2t&=&13\\4x&+&y&+&2z&+&3t&=&14\end{array}\right.}

{\begin{array}{c}\iff\\\left(\begin{array}{l}\text{E}_2\leftarrow 2\text{E}_1-\text{E}_2\\\text{E}_3\leftarrow3\text{E}_1-\text{E}_3\\\text{E}_4\leftarrow4\text{E}_1-\text{E}_4\end{array}\right)\end{array}\left\{\begin{array}{rrrrrrrrrr}x&+&2y&+&3z&+&4t&=&11\\&&y&+&2z&+&7t&=&10\\&&2y&+&8z&+&10t&=&20\\&&7y&+&10z&+&13t&=&30\end{array}\right.} {\begin{array}{c}\\\iff\\\left(\begin{array}{l}\text{E}_3\leftarrow\text{E}_3-2\text{E}_2\\\text{E}_4\leftarrow7\text{E}_2-\text{E}_4\end{array}\right)\end{array}\left\{\begin{array}{rrrrrrrrrr}x&+&2y&+&3z&+&4t&=&11\\& &y&+&2z&+&7t&=&10\\&&&&4z&-&4t&=&0\\&&&&4z&+&36t&=&40\end{array}\right.} {\begin{array}{c}\\\\\iff\\\left(\text{E}_4\leftarrow\text{E}_4-\text{E}_3\right)\end{array}\left\{\begin{array}{rrrrrrrrr}x&+&2y&+&3z&+&4t&=&11\\&&y&+&2z&+&7t&=&10\\&&&&4z&-&4t&=&0\\&&&&&&40t&=&40\end{array}\right.} {\iff\left\{\begin{array}{l}t=1\\z=t=1\\y=-2z-7t+10=1\\x=11-2y+3z+4t=2\end{array}\right.}

Le système {(S)} possède donc l’unique solution {(x,y,z,t)=(2,1,1,1)}.

Deuxième exemple

Résoudre {(S)\left\{\begin{array}{rrrrrrrrrrr}x&+&3y&+&5z&-&2t&-&7u&=&3\\3x&+&y&+&z&-&2t&-&u&=&1\\2x&-&y&-&3z&+&7t&+&5u&=&2\\3x&-&2y&-&5z&+&7t&+&8u&=&\lambda\end{array}\right.} (où {\lambda} un paramètre réel)

On applique la méthode du pivot, et on procède par équivalences :
{(S)\qquad\begin{array}{c}\iff\\\left(\begin{array}{l}\text{E}_2\leftarrow(3\text{E}_1-\text{E}_2)/2\\\text{E}_3\leftarrow2\text{E}_1-\text{E}_3\\\text{E}_4\leftarrow3\text{E}_1-\text{E}_4\end{array}\right)\end{array}\left\{\begin{array}{rrrrrrrrrrlr}x&+3y&+5z&-2t&-7u&=&3\\&4y&+7z&-2t&-10u&=&4\\&7y&+13z&-11t&-19u&=&4\\&&11y&+20z&-13t&-29u&=&9-\lambda\end{array}\right.}

{\begin{array}{c}\\\iff\\\left(\begin{array}{l}\text{E}_3\leftarrow(4\text{E}_3-7\text{E}_2)/3\\\text{E}_4\leftarrow4\text{E}_4-11\text{E}_2\end{array}\right)\end{array}\left\{\begin{array}{rrrrrrrrrrlr}x&+3y&+5z&-2t&-7u&=&3\\&4y&+7z&-2t&-10u&=&4\\&&z&-10t&-2u&=&-4\\&&3z&-30t&-6u&=&-4\lambda-8\end{array}\right.} {\begin{array}{c}\\\\\iff\\\left(\text{E}_4\leftarrow\text{E}_4-3\text{E}_3\right)\end{array}\left\{\begin{array}{rrrrrrrrrrl}x&+3y&+5z&-2t&-7u&=&3\\&4y&+7z&-2t&-10u&=&4\\&&z&-10t&-2u&=&-4\\&&&&0&=&4-4\lambda\end{array}\right.}

On constate que si {\lambda\ne1}, alors {(S)} n’a pas de solution.

Supposons donc {\lambda=1}. Le système {(S)} se réduit au trois premières équations ci-dessus.
On constate qu’on obtient un système de Cramer par rapport aux inconnues {x,y,z}, à condition de traiter les variables {t} et {u} comme des paramètres arbitraires.

Voici comment se termine la résolution de {(S)} :

{(S)\iff\left\{\begin{array}{rrrrrrrrrrrr}x&+&3y&+&5z&=&3&+&2t&+&7u\\&&4y&+&7z&=&4&+&2t&+&10u\\&&&&z&=&-4&+&10t&+&2u\end{array}\right.} {\begin{array}{c}\begin{array}{l}\text{E}_1\leftarrow\text{E}_1-5\text{E}_3\\\text{E}_2\leftarrow(\text{E}_2-7\text{E}_3)/4\end{array}\\\iff\end{array}\left\{\begin{array}{rrrrrrr}x+3y&=23&-48t&-3u\\y&=8&-17t&-u\\z&=-4&+10t&+2u\end{array}\right.} {\begin{array}{c}\text{E}_1\leftarrow\text{E}_1-3\text{E}_2\\\iff\\\end{array}\left\{\begin{array}{rrrrrrr}x&=-1&+3t\\y&=8&-17t&-u\\z&=-4&+10t&+2u\end{array}\right.}

Les solutions de {(S)} sont les {5}-uplets {A=(x,y,z,t,u)} qui s’écrivent : {\begin{array}{rl}(x,y,z,t,u)&=(-1+3t,8-17t-u,-4+10t+2u,t,u)\\&=(-1,8,-4,0,0)+t(3,-17,10,1,0)+u(0,-1,2,0,1)\end{array}}{t} et {u} ont des valeurs arbitraires.

On voit bien ici la structure de l’ensemble des solutions : à la solution particulière {A_0=(-1,8,-4,0,0)} (obtenue pour {t=u=0}), on ajoute la solution générale du système homogène {(H)} associé à {(S)}, et la solution générale de {(H)} est le plan engendré par {(3,-17,10,1,0)} et {(0,-1,2,0,1)}.

Troisième exemple

Résoudre le système {(S):\left\{\begin{array}{rrrrrrrrr}\lambda x&+&y&+&z&+&t&=&1\\x&+&\lambda y&+&z&+&t&=&-2\\x&+&y&+&\lambda z&+&t&=&0\\x&+&y&+&z&+&\lambda t&=&3\end{array}\right.}

Il est ici rentable d’adjoindre à {(S)} une nouvelle équation combinaison linéaire des équations initiales.
Plus précisément on va lui adjoindre l’équation {\text{E}_1+\text{E}_2+\text{E}_3+\text{E}_4}.

On obtient le système équivalent :
{\left\{\begin{array}{rrrrrrrrl}\lambda x&+&y&+&z&+&t&=&1\\x&+&\lambda y&+&z&+&t&=&-2\\x&+&y&+&\lambda z&+&t&=&0\\x&+&y&+&z&+&\lambda t&=&3\\&&&&&&&&(\lambda+3)(x+y+z+t)=\;2\end{array}\right.}
On voit tout de suite que le système n’a pas de solution si {\lambda=-3}.

Supposons donc {\lambda\ne-3}.
On peut alors remplacer {\text{E}_{5}} par {\text{E}_{5}=\text{E}_{5}/(\lambda+3)}, et on obtient : {\left\{\begin{array}{rrrrrrrrlc}\lambda x&+&y&+&z&+&t&=&1&\quad\text{E}_1\leftarrow\text{E}_1-\text{E}_5\\x&+&\lambda y&+&z&+&t&=&-2&\quad\text{E}_2\leftarrow\text{E}_2-\text{E}_5\\x&+&y&+&\lambda z&+&t&=&0&\quad\text{E}_3\leftarrow\text{E}_3-\text{E}_5\\x&+&y&+&z&+&\lambda t&=&3&\quad\text{E}_4\leftarrow\text{E}_4-\text{E}_5\\x&+&y&+&z&+&t&=&\dfrac2{\lambda+3}&\iff\end{array}\right.}

{\left\{\begin{array}{l}(\lambda-1)x=\dfrac{\lambda+1}{\lambda+3}\phantom{\biggl(}\cr(\lambda-1)y=-2\dfrac{\lambda+4}{\lambda+3}\phantom{\biggl(}\cr(\lambda-1)z=\dfrac{-2}{\lambda+3}\phantom{\biggl(}\cr(\lambda-1)t=\dfrac{3\lambda+7}{\lambda+3}\end{array}\right.}
On voit que si {\lambda=1} le système {(S)} n’a pas de solution.

On suppose donc que {\lambda } n’est ni égal à {-3} ni égal à {1}.

Le système {(S)} possède alors une solution unique {(x,y,z,t)} donnée par :
{(x,\;y,\;z,\;t)=\dfrac1{(\lambda-1)(\lambda+3)}\,(\lambda+1,\;-2\lambda-8,\;-2,\;3\lambda+7)}

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