Les ensembles de nombres

Plan du chapitre "Calculs algébriques"

L’existence admise des ensembles de nombres

Conformément au programme, on admet l’existence et les principales propriétés des ensembles de nombres suivants :

  • l’ensemble {\mathbb{N}} des entiers naturels.
  • l’ensemble {\mathbb{Z}} des entiers relatifs.
  • l’ensemble {\mathbb{Q}} des nombres rationnels.
  • l’ensemble {\mathbb{R}} des nombres réels.
  • l’ensemble {\mathbb{C}} des nombres complexes.

On a bien sûr les inclusions strictes : {\mathbb{N}\varsubsetneq\mathbb{Z}\varsubsetneq\mathbb{Q}\varsubsetneq\mathbb{R}\varsubsetneq\mathbb{C}}.

On sera également amené à considérer les ensembles suivants (dont les noms ne sont pas fixés par l’usage, mais dont la signification est bien connue) : l’ensemble {\mathbb{P}} des nombres premiers, l’ensemble {\mathbb{D}} des nombres décimaux, l’ensemble {\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}} des nombres irrationnels.

Propriétés relatives à l’addition dans {\mathbb{C}}

Proposition (propriétés de l'addition dans ?)
L’ensemble {\mathbb{C}} est muni d’une opération (ou loi de composition), notée {+}, avec les propriétés suivantes :

  • 1a) La loi {+} est commutative : {\forall\,(x,y)\in\mathbb{C}^2,\;x+y=y+x}
  • 1b) La loi {+} est associative : {\forall\,(x,y,z)\in\mathbb{C}^3,\;x+(y+z)=(x+y)+z}
  • 1c) Pour la loi {+}, l’entier naturel {0} est élément neutre : {\forall\, x\in\mathbb{C},\;x+0=x}
  • 1d) Pour la loi {+}, tout {x} de {\mathbb{C}} possède un opposé (noté {-x}), donc tel que {x+(-x)=0};
    La notation {x-y} doit être comprise comme une contraction de {x+(-y)}.

Remarques diverses

  • On note {\mathbb{N}^{*},\mathbb{Z}^{*},\mathbb{Q}^{*},\mathbb{R}^{*},\mathbb{C}^{*}} les ensembles {\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R}} privés de l’entier {0}.
  • Chacun des ensembles {\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R}} est stable pour la loi {+} (ce qui signifie que la somme de deux éléments de {\mathbb{Q}}, par exemple, est encore un élément de {\mathbb{Q}}). On peut donc considérer (1a), (1b), et (1c) comme des propriétés de la loi {+} restreinte à {\mathbb{N}}, à {\mathbb{Z}}, à {\mathbb{Q}}, ou à {\mathbb{R}}.
  • De même, chacun des ensembles {\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R}} est stable par passage à l’opposé, ce qui signifie que l’opposé d’un rationnel {x}, par exemple, est encore un rationnel. On peut donc considérer (1d) comme une propriété de la loi {+} restreinte à {\mathbb{Z}}, à {\mathbb{Q}}, ou à {\mathbb{R}}. Pour ces trois ensembles, on peut donc également parler de stabilité par différence (si {x} et {y} sont dans {\mathbb{Q}}, par exemple, {x-y} est dans {\mathbb{Q}}).
    Ici l’ensemble {\mathbb{N}} fait exception, car seul {0} possède un opposé dans {\mathbb{N}} (lui-même!).
    Enfin, on a bien sûr les identités :
    {\qquad-(-x)=x}, {-(x+y)=-x-y}, et {-(x-y)=-x+y}
  • On pourrait considérer l’opération soustraction sur {\mathbb{C}} (définie par {(x,y)\mapsto x-y}) mais cette loi ne présente que peu d’intérêt : elle n’est ni commutative, ni associative, et il n’y a pas d’élément neutre.

  • Une conséquence de (1b), (1c) et (1d) est que tout élément de {\mathbb{C}} est simplifiable pour l’addition.
    En d’autres termes : {\forall\, (x,y,z)\in\mathbb{C}^{3},\;x+y=x+z\Rightarrow y=z} (ajouter {-x} de part et d’autre).
    Pour des raisons analogues : on a l’équivalence {x+y=z\Leftrightarrow y=z-x}.

Propriétés relatives au produit dans {\mathbb{C}}

Proposition (propriétés du produit dans ?)
L’ensemble {\mathbb{C}} est muni d’une multiplication (notée {\times}, ou par juxtaposition : le produit de {x} par {y} est alors noté {xy}), avec les propriétés suivantes :

  • 2a) La loi {\times} est commutative : {\forall\,(x,y)\in\mathbb{C}^2,\;xy=yx}
  • 2b) La loi {\times} est associative : {\forall\,(x,y,z)\in\mathbb{C}^3,\;x(yz)=(xy)z}
  • 2c) Pour la loi {\times}, l’entier naturel {1} est élément neutre : {\forall\, x\in\mathbb{C},\;1x=x}
  • 2d) La loi {\times} est distributive par rapport à l’addition : {\forall\,(x,y,z)\in\mathbb{C}^3,\;x(y+z)=xy+xz}
  • 2e) Pour {\times}, tout {x} non nul de {\mathbb{C}} a un inverse (noté {x^{-1}}), donc tel que {x\, x^{-1}=1}

Remarques diverses

  • On note {\dfrac{1}{x}} plutôt que {x^{-1}}. La notation {\dfrac{y}{x}} doit être vue comme une contraction de {y\,x^{-1}}.
    Cette dernière notation est rendue possible car le produit est une opération commutative.
    Avec ces notations, l’ensemble {\mathbb{Q}} des nombres rationnels s’écrit {\mathbb{Q}=\left\{\dfrac ab,\;a\in\mathbb{Z},\;b\in \mathbb{Z}^*\right\}}.
  • Chacun des ensembles {\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R}} est stable pour la loi {\times} (si {x} et {y} sont dans {\mathbb{Q}}, par exemple, {xy} est encore un élément de {\mathbb{Q}}). On peut donc considérer (2a), (2b), (2c) et (2d) comme des propriétés de la loi {\times} restreinte à {\mathbb{N}}, à {\mathbb{Z}}, à {\mathbb{Q}}, ou à {\mathbb{R}}.
  • Les identités {x0=0} et {x(-y)=(-x)y=-(xy)} semblent évidentes mais elles se démontrent.
    Il en est de même pour l’équivalence {xy=0\Leftrightarrow(x=0\;\text{ou}\; y=0)}.
  • Pour la propriété (2e), les ensembles {\mathbb{N}} et {\mathbb{Z}} font exception. En effet seul {1} possède un inverse dans {\mathbb{N}} (lui-même) et seuls {1} et {-1} possèdent un inverse dans {\mathbb{Z}} (eux-mêmes!).
    Dans {\mathbb{N}}, on a {xy=1\Leftrightarrow(x=1\;\text{et}\; y=1)}.
    Dans {\mathbb{Z}} on a : {xy=1\Leftrightarrow ((x=y=1)\;\text{ou}\;(x=y=-1))}.
  • Bien sûr, l’inverse d’un rationnel (resp. d’un réel) non nul est encore un rationnel (resp. un réel).
    On parle dans ce cas de stabilité par passage à l’inverse.

  • Une conséquence de (2b), (2c) et (2d) est que tout élément de {\mathbb{C}^{*}} est simplifiable pour le produit.
    En d’autres termes : {\forall\, (x,y,z)\in\mathbb{C}^{*}\times\mathbb{C}^{2},\;xy=xz\Rightarrow y=z} (multiplier par {x^{-1}} de part et d’autre).
    Pour des raisons analogues : si {x\ne0}, on a l’équivalence {xy=z\Leftrightarrow y=zx^{-1}}.
    Dans ces questions, il est essentiel de s’assurer que {x} est non nul avant de simplifier par {x}.
  • Si {x} et {y} sont non nuls, on a bien sûr les identités :
    {\qquad(x^{-1})^{-1}=x\;}, {\;(-x)^{-1}=-(x^{-1})\;}, {\;(xy)^{-1}=x^{-1}y^{-1}}.
  • On pourrait considérer l’opération quotient sur {\mathbb{C}} (définie par {(x,y)\mapsto x/y}) mais cette loi n’a que des défauts : elle n’est pas partout définie ({y} doit être on nul), elle n’est ni commutative ni associative, et il n’y a pas d’élément neutre.

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