Intégration sur un segment

Plan du chapitre "Calcul intégral"

Intégrale d’une fonction continue

Nous admettrons le résultat suivant :

Proposition
Si {f:I\to\mathbb{R}} est une fonction continue, elle admet des primitives sur {I}.

Remarque : la réciproque de la propriété précédente est fausse (il existe des fonctions numériques qui admettent des primitives sur un intervalle {I} sans être continues en tout point de {I}) mais la question est relativement difficile et elle est hors-programme.

Définition (intégrale d'une fonction continue sur un segment)
Soit {f:I\to\mathbb{R}} une fonction numérique continue. Soit {a,b} deux éléments de {I}.
On note {\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,\text{d}x} la quantité {F(b)-F(a)}, où {F} est une primitive quelconque de {f} sur {I}.
Cette quantité est appelée intégrale de {f} sur le segment {[a,b]} (ou “entre {a} et {b}“).

Remarques

  • Si {f} vaut constamment {\lambda} sur {I}, alors on a : {\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,\text{d}x=\lambda(b-a)}.
  • La quantité {F(b)-F(a)}, notée {\bigl[F(x)\bigr]_{a}^{b}}, ne dépend pas de la primitive {F} choisie pour {f}.
  • Soit {f:I\to\mathbb{R}} une fonction numérique continue. Soit {a} un élément de {I}.
    Alors la fonction {F:x\mapsto F(x)=\displaystyle\int_{a}^{x}f(t)\,\text{d}t} est la primitive de {f} sur {I} qui s’annule en {a}.
    Le nom de la “variable d’intégration” (ici {t}) doit être différent de celui de variable (ici {x}) de {F}.

  • Quand on calcule {\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,\text{d}x}, on dit qu’on “intègre” {f} sur le segment {[a,b]}.
    Même si les deux notions sont très liées, on ne confondra pas la primitivation de {f} sur {I} (qui est l’art de chercher les primitives de {f} sur {I}, donc les fonctions dont la dérivée est {f}) avec l’intégration de {f} sur un segment {[a,b]} de {I} (le résultat est dans ce cas un réel).
Proposition (linéarité de l'intégrale)
Soit {f} et {g} deux fonctions continues sur {I}. Soit {a} et {b} deux éléments de {I}.
Pour tous réels {\alpha,\beta}, on a : {\displaystyle\int_{a}^{b}(\alpha f(x)+\beta g(x))\,\text{d}x=\alpha\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,\text{d}x+\beta\displaystyle\int_{a}^{b}g(x)\,\text{d}x}.
Proposition (positivité et croissance de l'intégrale)
Soit {f} et {g} deux fonctions continues sur le segment {[a,b]}, avec {a\lt b}.
Si {f\ge0} sur {[a,b]}, alors on a : {\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,\text{d}x\ge0} (avec égalité {\Leftrightarrow f(x)=0} sur tout {[a,b]}).
Si {f\le g} sur {[a,b]}, alors {\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,\text{d}x\le\displaystyle\int_{a}^{b}g(x)\,\text{d}x} (avec égalité {\Leftrightarrow f(x)=g(x)} sur tout {[a,b]}).

Remarque : l’hypothèse {a\lt b} est ici essentielle.

Proposition (relation de Chasles)
Soit {f:I\to\mathbb{R}}, continue. Soit {a,b,c} dans {I}.
Alors {\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,\text{d}x=\displaystyle\int_{a}^{c}f(x)\,\text{d}x+\displaystyle\int_{c}^{b}f(x)\,\text{d}x}.

Interprétation de l’intégrale, en termes d’aire

Historiquement, la notion d’intégrale est liée au calcul d’aire de domaines du plan.

Notre définition de l’intégrale possède l’avantage d’être rapidement opérationnelle, mais elle recèle une difficulté qui ne peut pas être levée à ce stade de l’année.

Contentons-nous d’admettre que si {f} est continue et positive ou nulle sur {[a,b]}, avec {a\le b}, alors l’intégrale de {f} sur {[a,b]} est une mesure de l’aire du domaine défini par {a\le x\le b} et {0\le y\le f(x)}.

L’aire est exprimée en “unités d’aires”, l’unité étant l’aire du rectangle délimité par {(0,0)} et {(1,1)}.

On peut étendre cette interprétation au cas d’une fonction ne gardant pas un signe constant, à condition de “compter positivement” les parties où {f\ge0} et négativement celles où {f\ge0}.

Intégration et fonctions de classe {{\mathcal{C}}^{1}}

Pour tout ce qui touche à l’intégration, il est souvent utile de disposer de propriétés un peu plus fortes que la continuité ou même la dérivabilité, ce qui conduit à la définition suivante :

Définition (fonctions de classe C1 sur un intervalle)
Soit {f:I\to\mathbb{R}} une fonction numérique.
On dit que {f} est de classe {\mathcal{C}^{1}} sur {I} si {f} est dérivable sur {I} et si {f'} est continue sur {I}.

Bien sûr, si {f} est de classe {\mathcal{C}^{1}}, l’intégrale de {f'} sur {[a,b]} est la différence des valeurs de {f} entre {a} et {b} :

Proposition (intégrale de la dérivée d'une fonction de classe C1)
Soit {f:I\to\mathbb{R}}, de classe {\mathcal{C}^{1}}. Pour tous {a} et {b} dans {I}, on a : {\displaystyle\int_a^bf'(t)\,\text{d}t=f(b)-f(a)}

Si {f} est continue sur {I}, et si {F(x)=\displaystyle\int_{a}^{x}f(t)\,\text{d}t}, on sait que {F'(x)=f(x)} pour tout {x}.
On exprime la définition de {F} en disant qu’elle est une “intégrale fonction de sa borne supérieure”.

La résultat suivant apporte une généralisation aux “intégrales fonctions de leurs bornes” :

Proposition (intégrale fonction de ses bornes)
Soit {f} une fonction continue sur un intervalle {I}.
Soit {u} et {v} deux fonctions de classe {{\mathcal C}^{1}}, de {J} dans {\mathbb{R}}, telles ques {u(J)\subset I} et {v(J)\subset I}.
La fonction {G}, définie sur {J} par {G(x)=\displaystyle\int_{u(x)}^{v(x)}f(t)\,\text{d}t}, est de classe {{\mathcal C}^{1}} sur {J}.
Sa dérivée est donnée par : {\forall\, x\in J,\;G'(x)=v'(x)f(v(x))-u'(x)f(u(x))}.

Si l’intégrale cherchée ne peut pas être obtenue immédiatement par utilisation d’une primitive usuelle, on cherche souvent à transformer l’intégrale initiale en une ou plusieurs autres que l’on sait calculer.

Intégration par parties

Proposition (intégration par parties)
Soit {f} et {g} deux fonctions de classe {{\mathcal C}^{1}} sur un intervalle {I}.
Pour tous {a,b} dans l’intervalle {I}, on a : {\displaystyle\int_a^bf(x)g'(x)\,\text{d}x=\Big[f(x)g(x)\Big]_a^b-\displaystyle\int_a^bf'(x)g(x)\,\text{d}x}.

Il y a aussi une méthode de “primitivation par parties” :

Si {f,g} sont {{\mathcal C}^{1}} sur {I}, alors :
{\displaystyle\int f(x)g'(x)\,\text{d}x=f(x)g(x)-\displaystyle\int f'(x)g(x)\,\text{d}x}.

Exemples d’intégrations par parties

  • Pour {n\in\mathbb{N}^{*}}, et {m\in\mathbb{N}}, on pose {I_{n,m}=\displaystyle\int_{0}^{1}\,x^{n}\ln^{m}(x)\,\text{d}x}.

    Pour tout couple {(m,n)}, avec {m\ge 1}, on a : {\begin{array}{rl}I_{n,m}&=\Bigl[\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\ln^{m}(x)\Bigr]_{0}^{1}-\dfrac{m}{n+1}\displaystyle\int_{0}^{1}x^{n}\ln^{m-1}(x)\,\text{d}x\\\\&=-\dfrac{m}{n+1}\,I_{n,m-1}\end{array}}
    Une récurrence facile donne alors : {I_{n,m}=\dfrac{(-1)^{m}\,m!}{(n+1)^{m}}\,I_{n,0}=\dfrac{(-1)^{m}\,m!}{(n+1)^{m}}\displaystyle\int_{0}^{1}x^{n}\,\text{d}x=\dfrac{(-1)^{m}\,m!}{(n+1)^{m+1}}}

  • On peut calculer une primitive de {\dfrac{1}{(1+x^{2})^{2}}} en primitivant par parties {\dfrac{1}{1+x^{2}}}.

    {\begin{array}{rl}\text{En effet : }\displaystyle\int\dfrac{\,\text{d}x}{1+x^{2}}&=\dfrac{x}{1+x^{2}}+2\displaystyle\int\dfrac{x^{2}\,\text{d}x}{(1+x^{2})^{2}}\\\\&=\dfrac{x}{1+x^{2}}+2\displaystyle\int\dfrac{(x^{2}+1)-1}{(1+x^{2})^{2}}\,\text{d}x\\\\\&=\dfrac{x}{1+x^{2}}+<br /> 2\displaystyle\int\dfrac{\,\text{d}x}{1+x^{2}}-2\displaystyle\int\dfrac{\,\text{d}x}{(1+x^{2})^{2}}\end{array}}
    On en déduit :
    {\displaystyle\int\dfrac{\,\text{d}x}{(1+x^{2})^{2}}=\dfrac{1}{2}\Bigl(\dfrac{x}{1+x^{2}}+\displaystyle\int\dfrac{\,\text{d}x}{1+x^{2}}\Bigr)=\dfrac{1}{2}\Bigl(\dfrac{x}{1+x^{2}}+\arctan(x)\Bigr)+\lambda}

  • Soit {(\alpha,\beta)} dans {\mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}}.

    Posons {C_{\alpha,\beta}=\displaystyle\int\text{e}^{\alpha x}\cos(\beta x)\,\text{d}x} et {S_{\alpha,\beta}=\displaystyle\int\text{e}^{\alpha x}\sin(\beta x)\,\text{d}x}.

    On trouve : {\alpha\,C_{\alpha,\beta}=\text{e}^{\alpha x}\cos(\beta x)+\beta\displaystyle\int\text{e}^{\alpha x}\sin(\beta x)\,\text{d}x=\text{e}^{\alpha x}\cos(\beta x)+\beta\,S_{\alpha,\beta}}.

    De même : {\alpha\,S_{\alpha,\beta}=\text{e}^{\alpha x}\sin(\beta x)-\beta\displaystyle\int\text{e}^{\alpha x}\cos(\beta x)\,\text{d}x=\text{e}^{\alpha x}\sin(\beta x)-\beta\,C_{\alpha,\beta}}

    En combinant ces deux égalités, on trouve : {\begin{cases}\alpha^{2}\,C_{\alpha,\beta}=\alpha\,\text{e}^{\alpha x}\cos(\beta x)+\beta\bigl(\text{e}^{\alpha x}\sin(\beta x)-\beta\, C_{\alpha,\beta}\bigr)\phantom{\biggl(}\\\alpha^{2}\,S_{\alpha,\beta}=\alpha\,\text{e}^{\alpha x}\sin(\beta x)-\beta\bigl(\text{e}^{\alpha x}\cos(\beta x)+\beta\, S_{\alpha,\beta}\bigr)\end{cases}}
    Et finalement , on obtient : {\begin{cases}C_{\alpha,\beta}=\displaystyle\int\text{e}^{\alpha x}\cos(\beta x)\,\text{d}x=\dfrac{\text{e}^{\alpha x}}{\alpha^{2}+\beta^{2}}(\alpha\cos(\beta x)+\beta\sin(\beta x))+\lambda\\\\ S_{\alpha,\beta}=\displaystyle\int\text{e}^{\alpha x}\sin(\beta x)\,\text{d}x=\dfrac{\text{e}^{\alpha x}}{\alpha^{2}+\beta^{2}}(\alpha\sin(\beta x)-\beta\cos(\beta x))+\lambda\end{cases}}

Changement de variable

Proposition (changement de variable dans une intégrale)
Soit {f:I\to\mathbb{R}} une fonction continue.
Soit {\varphi:J\to\mathbb{R}}, de classe {{\mathcal C}^{1}} sur {J}, telle que {\varphi(J)\subset I}.
Pour tous {a,b} de {J}, on a : {\displaystyle\int_a^bf(\varphi(t))\,\varphi'(t)\,\text{d}t=\int_{c}^{d}f(x)\,\text{d}x}, où {\begin{cases}c=\varphi(a)\\ d=\varphi(b)\end{cases}}

Pratique du changement de variable :

Cette égalité peut être utilisée dans un sens ou dans l’autre selon les cas :

  • Dans le sens {\displaystyle\int_a^b\varphi'(t)f(\varphi(t))\,\text{d}t\Rightarrow\int_{c}^{d}f(x)\,\text{d}x}.

    On veut calculer {\displaystyle\int_a^bg(t)\,\text{d}t}, et on constate que {g(t)} se met sous la forme {g(t)=f(\varphi(t))\varphi'(t)}.

    On pose alors {x=\varphi(t)}, et on note que si {t=a} ou {t=b}, alors {x=c} ou {x=d}.

    On écrit {\,\text{d}x=\varphi'(t)\,\text{d}t} puis {\displaystyle\int_a^bg(t)\,\text{d}t=\displaystyle\int_a^b\varphi'(t)f(\varphi(t))\,\text{d}t=\int_{c}^{d}f(x)\,\text{d}x}.

  • Dans le sens {\displaystyle\int_{c}^{d}f(x)\,\text{d}x\Rightarrow\displaystyle\int_a^b\varphi'(t)f(\varphi(t))\,\text{d}t}.

    On part donc de {\displaystyle\int_{c}^{d}f(x)\,\text{d}x} et on pose (indication, intuition, expérience, etc.) {x=\varphi(t)}.

    Il faut trouver {a,b} tels que {\varphi(a)=c} et {\varphi(b)=d}.

    Il est préférable (mais ça n’est pas obligatoire) de choisir {\varphi} et l’intervalle sur lequel cette fonction est définie de manière à ce que {\varphi} soit bijective : on a alors {a=\varphi^{-1}(c)} et {b=\varphi^{-1}(d)}.

    Par exemple, pour calculer {\displaystyle\int_0^1\sqrt{1-x^2}\,\text{d}x}, on pose {x=\varphi(t)=\sin t}, avec {t\in\Bigl[0,\dfrac\pi2\Bigr]}.

    On a alors {\sqrt{1-x^2}=\left|{\cos(t)}\right|=\cos(t)}, et {\,\text{d}x=\cos(t)\,\text{d}t}.

    D’autre part, quand {x=0} alors {t=0}, et quand {x=1} alors {t=\dfrac\pi2}.

    On en déduit : {\displaystyle\int_0^1\sqrt{1-x^2}\,\text{d}x=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^2(t)\,\text{d}t=\frac12\displaystyle\int_0^{\pi/2}(1+\cos(2t))\,\text{d}t=\frac\pi4}

    Remarque : il y a un moyen encore plus simple de calculer {\displaystyle\int_0^1\sqrt{1-x^2}\,\text{d}x} (devinez)

Utilisation de la parité ou de la périodicité

Quelques changements de variables très simples permettent d’exploiter la parité, ou l’imparité, ou la périodicité, de la fonction à intégrer.

  • Une simple translation permet d’écrire : {\displaystyle\int_a^b f(x)\,\text{d}x=\int_{a+\alpha}^{b+\alpha}f(x-\alpha)\,\text{d}x}.
  • Si {f} est paire, alors {\displaystyle\int_{-a}^af(x)\,\text{d}x=2\int_{0}^{a}f(x)\,\text{d}x}.

    Si {f} est impaire, alors {\displaystyle\int_{-a}^af(x)\,\text{d}x=0} (pas la peine de perdre du temps à calculer l’intégrale!)

  • On suppose maintenant que {f} est {T}-périodique sur {\mathbb{R}}.

    On a {\displaystyle\int_{a+T}^{b+T}f(x)\,\text{d}x=\int_a^bf(x)\,\text{d}x=\displaystyle\int_{a+kT}^{b+kT}f(x)\,\text{d}x} pour tout {k} de {\mathbb{Z}}.

    Pour tous réels {a} et {b}, on a l’égalité {\displaystyle\int_a^{a+T}f(x)\,\text{d}x=\int_b^{b+T}f(x)\,\text{d}x}.

Page précédente : calculs de primitives
Page suivante : compléments sur les primitives