Extension aux fonctions à valeurs complexes

Plan du chapitre "Calcul intégral"

Fonctions à valeurs complexes

Définition
On note {\mathcal{F}(\mathcal{D},\mathbb{C})} l’ensemble des fonctions définies sur une partie {\mathcal{D}} de {\mathbb{R}}, à valeurs complexes.
Une telle fonction numérique complexe {f} est définie de façon unique par la donnée de deux fonctions numériques réelles {u} et {v} de la manière suivante : {\forall\, t\in\mathcal{D},\;f(t)=u(t)+i\,v(t)}

Il revient au même d’écrire : {\forall\, t\in\mathcal{D},\;u(t)=\text{Re}(f(t))\;\text{et}\; v(t)=\text{Im}(f(t))}.
On dit que {u} est la partie réelle de {f}, et {v} sa partie imaginaire. On note {u=\text{Re}(f)} et {v=\text{Im}(f)}.


Si on doit représenter graphiquement une telle fonction {f}, le mieux est d’imaginer un arc paramétré du plan, trajectoire du point {M(t)} d’affixe {f(t)=u(t)+i\,v(t)} quand le paramètre {t} parcourt l’intervalle {I}.

Si {f,g} sont dans {\mathcal{F}(\mathcal{D},\mathbb{C})}, et si {\alpha,\beta} sont dans {\mathbb{C}}, on peut former les fonctions suivantes :

  • La fonction {\alpha f+\beta g} définie sur {\mathcal{D}} par : {\forall\, t\in\mathcal{D},\;(\alpha f+\beta g)(t)=\alpha\,f(t)+\beta\,g(t)}
  • La fonction {\overline{f}} définie sur {\mathcal{D}} par : {\forall\, t\in\mathcal{D},\;(\overline{f})(t)=\overline{f(t)}}
  • La fonction {fg} définie sur {\mathcal{D}} par : {\forall\, t\in\mathcal{D},\;(fg)(t)=f(t)g(t)}

Dérivée et intégrale des fonctions complexes

Définition (continuité d'une fonction à valeurs dans ℂ)
Soit {f:\mathcal{D}\to\mathbb{C}} une fonction à valeurs complexes. Soit {u=\text{Re}(f)} et {v=\text{Im}(f)}.
On dit que {f} est continue sur {I} si et seulement si les fonctions {u} et {v} sont continues sur {I}.
Définition (dérivabilité d'une fonction à valeurs dans ℂ)
Soit {f:\mathcal{D}\to\mathbb{C}} une fonction à valeurs complexes. Soit {u=\text{Re}(f)} et {v=\text{Im}(f)}.
On dit que {f} est dérivable sur {I} si et seulement si les fonctions {u} et {v} sont dérivables sur {I}.
On note alors {f'=u'+i\,v'} et on dit que {f'} est la fonction dérivée première de {f}.
Définition (intégrale sur un segment d'une fonction complexe)
Soit {f:\mathcal{D}\to\mathbb{C}} une fonction à valeurs complexes. Soit {u=\text{Re}(f)} et {v=\text{Im}(f)}.
Pour tous {a,b} de {I}, on pose : {\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,\text{d}x=\displaystyle\int_{a}^{b}u(x)\,\text{d}x\,+\,i\displaystyle\int_{a}^{b}v(x)\,\text{d}x}

Remarques

On retiendra de ce qui précède que, concernant les fonctions à valeurs complexes, tout revient à procéder (continuité, dérivées, intégrales) séparément sur la partie réelle et sur la partie imaginaire.

  • On dit que {f:I\to\mathbb{C}} est {n} fois dérivable si {u,v} sont {n} fois dérivables.
    On écrit alors : {f^{(n)}=u^{(n)}+i\,v^{(n)}}.
    En d’autres termes, on peut écrire {\text{Re}(f^{(n)})=(\text{Re} f)^{(n)}} et {\text{Im}(f^{(n)})=(\text{Im} f)^{(n)}}.
  • On définit de façon évidente les primitives d’une fonction {f:\mathcal{D}\to\mathbb{C}} :
    {\displaystyle\int f(x)\,\text{d}x=\displaystyle\int u(x)\,\text{d}x\,+\,i\displaystyle\int v(x)\,\text{d}x} (à une constante près {\lambda\in\mathbb{C}}).
  • De même, par définition de l’intégrale de {f}, on a les égalités :
    {\text{Re}\Big(\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,\text{d}x\Big)=\displaystyle\int_{a}^{b}\text{Re}\bigl(f(x)\bigr)\,\text{d}x\qquad\text{Im}\Big(\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,\text{d}x\Big)=\displaystyle\int_{a}^{b}\text{Im}\bigl(f(x)\bigr)\,\text{d}x}
    et enfin : {\overline{\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,\text{d}x}=\displaystyle\int_{a}^{b}\overline{f(x)}\,\text{d}x}

Extension des résultats relatifs aux fonctions réelles

Des définitions précédentes, il découle que de nombreuses propriétés établies pour des fonctions à valeurs réelles s’étendent sans difficulté au cas des fonctions à valeurs complexes.

En revanche, et c’est important:

Tout ce qui a un rapport avec la relation d’ordre dans l’ensemble d’arrivée {\mathbb{R}} n’a plus de sens pour une fonction {f} à valeurs complexes.
On ne parlera donc jamais de la monotonie ou des extremums de {f} (ça n’existe pas).

De même, si {f} est continue sur l’intervalle {I} et à valeurs dans {\mathbb{C}}, l’image {f(I)} est un arc du plan complexe (mais certainement pas un intervalle). Le signe de {f:I\to\mathbb{C}}, ou le théorème des valeurs intermédiaires, ou le théorème de la bijection réciproque n’ont ici plus aucune signification.

Voici ce qui reste vrai pour la dérivabilité, dans le cas des fonctions à valeurs complexes :

  • On dispose encore de égalités suivantes: {\begin{array}{ll}(\alpha f+\beta g)'=\alpha f'+\beta g'&(fg)'=f'g+fg'\\\\\Bigl(\dfrac1g\Bigr)'=-\dfrac{g'}{g^2}&\Bigl(\dfrac{f}{g}\Bigr)'=\dfrac{f'g-fg'}{g^2}\end{array}}
  • avec {f:I\to\mathbb{R}} et {g:J\to\mathbb{C}} et {f(I)\subset J}, on a encore {(g\circ f)'=f'\,(g'\circ f)}
  • la fonction dérivable {f:I\to\mathbb{C}} est constante si et seulement si {f'} est identiquement nulle.
    la fonction {f-g} est constante sur {I} si et seulement si {f'=g'} sur tout {I}.

Voici ce qui reste vrai pour l’intégration, dans le cas des fonctions à valeurs complexes :

  • l’égalité {\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,\text{d}x=F(b)-F(a)}, où {F} est une primitive quelconque de {f} sur {I}.
  • la linéarité de l’intégrale, la relation de Chasles, l’intégration par parties.

En revanche, dans le cas des fonctions à valeurs dans {\mathbb{C}}, il n’est évidemment plus question de positivité et de croissance de l’intégrale.

Un exemple à connaître, et à méditer!

Soit {\omega} un nombre complexe non réel.
Considérons la fonction complexe définie sur {\mathbb{R}} par {f(x)=\dfrac{1}{x-\omega}}.

La fonction {f} est continue sur {\mathbb{R}} et on se propose d’en calculer les primitives.

Une erreur (catastrophique) consiste à écrire :{\displaystyle\int\dfrac{\,\text{d}x}{x-\omega}=\ln\left|{x-\omega}\right|+\lambda?\;\text{ou}\;ac{\,\text{d}x}{x-\omega}=\ln(x-\omega)+\lambda?}
La deuxième expression n’a aucun sens car la fonction {t\mapsto\ln(t)} n’est définie, pour nous, que sur {\mathbb{R}^{+*}}.

En revanche (et avant de savoir ce qu’il convient réellement de faire), on peut s’interroger sur la première expression, car l’application {\varphi\colon x\mapsto\ln\left|{x-\omega}\right|} est définie sur {\mathbb{R}}.

Posons {\omega=a+ib}, avec {(a,b)} dans {\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{*}}.

Pour tout réel {x}, on a {\varphi(x)=\ln\sqrt{(x-a)^{2}+b^{2}}=\dfrac{1}{2}\ln\bigl((x-a)^{2}+b^{2}\bigr)}.

On a donc {\varphi'(x)=\dfrac{x-a}{(x-a)^{2}+b^{2}}}.

Mais {f(x)=\dfrac{1}{x-\omega}=\dfrac{x-\overline{\omega}}{\left|{x-\omega}\right|^{2}}=\dfrac{x-a+ib}{(x-a)^{2}+b^{2}}}, et on voit que {\varphi'(x)} n’est jamais égal à {f(x)}.

Pour calculer correctement les primitives de {f}, voici la méthode :
{\begin{array}{rl}\displaystyle\int f(x)\text{d}x&=\displaystyle\int\dfrac{\text{d}x}{x-\omega}=\displaystyle\int\dfrac{x-\overline{\omega}}{\left|x-\omega\right|^{2}}\text{d}x=\displaystyle\int\dfrac{x-a+ib}{(x-a)^{2}+b^{2}}\text{d}x\\\\&=\displaystyle\int\dfrac{x-a}{(x-a)^{2}+b^{2}}\text{d}x+ib\displaystyle\int\dfrac{\text{d}x}{(x-a)^{2}+b^{2}}\\\\&=\dfrac{1}{2}\ln\bigl((x-a)^{2}+b^{2}\bigr)+i\arctan\dfrac{x-a}{b}+\lambda \text{\ avec\ }\lambda\in\mathbb{C}\end{array}}

Si on veut vraiment exprimer les primitives de {f} à l’aide de {\omega} (plutôt que {a=\text{Re}\omega} et {b=\text{Im}\omega}), et également si on a le goût du risque, on peut observer que le résultat précédent s’écrit :
{\displaystyle\int\dfrac{\,\text{d}x}{x-\omega}=\ln\left|{x-\omega}\right|+i\,\arg(x-\omega)+\lambda\text{\ avec\ }\lambda\in\mathbb{C}}

(on choisit par exemple d’utiliser la détermination principale de l’argument)
Si pour {z} dans {\mathbb{C}^{*}} on note {\psi(z)=\ln\left|{z}\right|+i\,\arg(z)}, on sait que {\exp(\psi(z))=z}.

En conclusion, l’évocation prématurée du logarithme dans le calcul de {\displaystyle\int\dfrac{\,\text{d}x}{x-\omega}} reste une erreur flagrante, mais on a tout de même {\displaystyle\int\dfrac{\,\text{d}x}{x-\omega}=\psi(x-\omega)+\lambda}, avec {\exp(\psi(x-\omega))=x-\omega} pour tout {x} de {\mathbb{R}}.

Cas de la fonction exponentielle complexe

Proposition
Soit {\varphi:I\to\mathbb{C}} une fonction dérivable. Soit {f=\exp(\varphi)}, définie sur {I} par {f(x)=\exp(\varphi(x))}.
Alors {f} est dérivable sur {I} et, pour tout {x} de {I} : {f'(x)=\varphi'(x)\exp(\varphi(x))}.

Applications

  • Un cas particulier du résultat précédent est : si {f(x)=\text{e}^{\omega x}}, alors {f'(x)=\omega\text{e}^{\omega x}}.
  • Si {\omega} est dans {\mathbb{C}^{*}}, on peut écrire : {\displaystyle\int\text{e}^{\omega x}\,\text{d}x=\dfrac{1}{\omega}\,\text{e}^{\omega x}+\lambda} (avec {\lambda} quelconque dans {\mathbb{C}}).
  • On va utiliser cette idée pour reprendre un exemple déjà vu. Soit {(\alpha,\beta)} dans {\mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}}.

    Posons {C_{\alpha,\beta}=\displaystyle\int\text{e}^{\alpha x}\cos(\beta x)\,\text{d}x} et {S_{\alpha,\beta}=\displaystyle\int\text{e}^{\alpha x}\sin(\beta x)\,\text{d}x}

    On introduit {\omega=\alpha+i\beta}, puis :{Z_{\alpha,\beta}=C_{\alpha,\beta}+iS_{\alpha,\beta}=\displaystyle\int\text{e}^{\alpha x}(\cos(\beta x)+i\sin(\beta x))\,\text{d}x=\displaystyle\int\text{e}^{\omega x}\,\text{d}x}
    On trouve alors: {\begin{array}{rl}Z_{\alpha,\beta}&=\dfrac{1}{\omega}\,\text{e}^{\omega x}+\lambda=\dfrac{\overline{\omega}}{\left|{\omega}\right|^{2}}\,\text{e}^{(\alpha+i\beta)x}+\lambda\\\\&=\dfrac{\alpha-i\beta}{\alpha^{2}+\beta^{2}}\,\text{e}^{\alpha x}(\cos(\beta x)+i\sin(\beta x))+\lambda\end{array}}
    En prenant la partie réelle et la partie imaginaire, on retrouve (avec {\lambda} quelconque dans {\mathbb{R}}) :
    {\begin{cases}\begin{array}{rl}C_{\alpha,\beta}&=\text{Re}(Z_{\alpha,\beta})=\displaystyle\int\text{e}^{\alpha x}\cos(\beta x)\,\text{d}x\\&=\dfrac{\text{e}^{\alpha x}}{\alpha^{2}+\beta^{2}}(\alpha\cos(\beta x)+\beta\sin(\beta x))+\lambda\end{array}\\\\\begin{array}{rl}S_{\alpha,\beta}&=\text{Im}(Z_{\alpha,\beta})=\displaystyle\int\text{e}^{\alpha x}\sin(\beta x)\,\text{d}x\\&=\dfrac{\text{e}^{\alpha x}}{\alpha^{2}+\beta^{2}}(\alpha\sin(\beta x)-\beta\cos(\beta x))+\lambda\end{array}\end{cases}}

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