Équations différentielles d’ordre 2

Plan du chapitre "Calcul intégral"

Dans cette section, il sera question de fonctions à valeurs réelles ou complexes.
Ces fonctions seront définies sur un intervalle ouvert non vide {I} de {\mathbb{R}}.
On notera {\mathbb{K}} pour désigner indifféremment {\mathbb{R}} et {\mathbb{C}}, et on parlera de fonctions à valeurs dans {\mathbb{K}}.

Position du problème

Définition
Soit {I} un intervalle ouvert non vide. Soit {a,b} deux éléments de {\mathbb{K}}.
Soit {x\mapsto f(x)} une fonction continue sur {I}, à valeurs réelles ou complexes.
On considère l’équation (E) : {y''+ay'+by=f(x)}.
On dit que {(E)} est une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants.
On note {(H)} l’équation différentielle : {y''+ay'+by=0}.
On dit que {(H)} est l’équation différentielle homogène associée à {(E)}.

Compléments sur la définition

Résoudre (ou “intégrer”) l’équation {(E)} (resp. {(H)}) c’est trouver toutes les fonctions deux fois dérivables {y:I\to\mathbb{K}} (resp. {y:\mathbb{R}\to\mathbb{K}}) qui vérifient l’égalité {(E)} sur {I} (resp. {(H)} sur {\mathbb{R}}).

On pourra noter {\mathcal{S}_{E}} (resp. {\mathcal{S}_{H}}) l’ensemble des solutions de {(E)} de {I} (resp. de {(H)} sur {\mathbb{R}}).

À la fois pour {(E)} et pour {(H)}, la “solution générale” désigne une expression (en fonction de deux constantes d’intégration, comme on le verra) de toutes les “solutions particulières”.

Résolution de l’équation homogène

Proposition (équation caractéristique)
Soit {a,b} dans {\mathbb{K}}, et soit {(H)} l’équation différentielle : {y''+ay'+by=0}.
On dit que {(C):\ r^2+ar+b=0} est l’équation caractéristique de {(H)}.
L’application {y:x\mapsto \text{e}^{r x}} est solution de {(H)} sur {\mathbb{R}} et si seulement si {r} est solution de {(C)}.
Proposition (solution générale de (H) dans le cas complexe)
Soit {a,b} dans {\mathbb{C}}, et soit {(H)} l’équation différentielle : {y''+ay'+by=0}.
Soit {\Delta=a^2-4b}, le discriminant de l’équation caractéristique {(C):\ r^2+ar+b=0}

  • Si {\Delta\ne0}, l’équation {(C)} possède deux solutions complexes distinctes {r} et {s}.
    La solution générale de {(H)} sur {\mathbb{R}} s’écrit alors : {y(x)=\lambda\,\text{e}^{rx}+\mu\,\text{e}^{sx}}, avec {\lambda} et {\mu} dans {\mathbb{C}}.
  • Si {\Delta=0}, l’équation {(C)} possède une solution double {r} dans {\mathbb{C}}.
    La solution générale de {(H)} sur {\mathbb{R}} s’écrit alors : {y(x)=(\lambda x+\mu)\,\text{e}^{rx}}, avec {\lambda} et {\mu} dans {\mathbb{C}}.

Proposition (solution générale de (H) dans le cas réel)
Soit {a,b} dans {\mathbb{R}}, et soit {(H)} l’équation différentielle : {y''+ay'+by=0}.
Soit {\Delta=a^2-4b}, le discriminant de l’équation caractéristique {(C):\ r^2+ar+b=0}

  • Si {\Delta>0}, l’équation {(C)} possède deux solutions réelles distinctes {r} et {s}.
    La solution générale de {(H)} sur {\mathbb{R}} s’écrit : {y(x)=\lambda\,\text{e}^{rx}+\mu\,\text{e}^{sx}}, avec {\lambda} et {\mu} dans {\mathbb{R}}.
  • Si {\Delta=0}, l’équation {(C)} possède une solution double {r} dans {\mathbb{R}}.
    La solution générale de {(H)} sur {\mathbb{R}} s’écrit : {y(x)=(\lambda x+\mu)\text{e}^{rx}}, avec {\lambda} et {\mu} dans {\mathbb{R}}.
  • Si {\Delta\lt 0}, l’équation {(C)} possède deux solutions complexes conjuguées distinctes {r} et {\bar r}.
    Posons {r=\alpha+i\beta}, avec {(\alpha,\beta)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}^*}.
    La solution générale de {(H)} sur {\mathbb{R}} est {y(x)=e^{\alpha x}(\lambda\cos(\beta x)+\mu\sin(\beta x))}, où {(\lambda,\mu)\in\mathbb{R}^2}.

Structure de l’ensemble des solutions de {(H)}

Dans tous les cas, la solution générale {y} de {(H)} sur {\mathbb{R}} s’écrit {x\mapsto y(x)=\lambda h(x)+\mu k(x)}, où {x\mapsto h(x)} et {x\mapsto k(x)} sont deux solutions particulières de {(H)} non nulles et non proportionnelles.

On exprime cette situation en disant que la solution générale de {(H)} sur {\mathbb{R}} est un plan vectoriel, dont une base est constituée des fonctions {x\mapsto h(x)} et {x\mapsto k(x)}.

Deux cas particuliers importants

On suppose ici {\mathbb{K}=\mathbb{R}}. Soit {\omega} un réel strictement positif.

  • La solution générale de {y''+\omega^2y=0} est {y(x)=\lambda\cos(\omega x)+\mu\sin(\omega x)\text{\ avec\ }(\lambda,\mu)\in\mathbb{R}^2}

    Elle s’écrit aussi : {y(x)=A\cos\bigl(\omega(x-x_{0})\bigr)}, avec {(A,x_0)\in\mathbb{R}^2}.

  • La solution générale de {y''-\omega^2y=0} est {y(x)=\lambda\,\text{e}^{\omega x}+\mu\,\text{e}^{-\omega x}}, où {(\lambda,\mu)\in\mathbb{R}^2}.

    Elle s’écrit aussi {y(x)=\lambda\,\,\text{ch}(\omega x)+\mu\,\,\text{sh}(\omega x)}, avec {(\lambda,\mu)\in\mathbb{R}^2}.

Forme des solutions de l’équation complète

Proposition (structure de la solution générale de (E))
Soit {f:I\to\mathbb{K}} une fonction continue sur {I}. Soit {a,b} deux éléments de {\mathbb{K}}.
L’équation {(E):\ y''+ay'+by=f(x)} a des solutions sur {\mathbb{I}}. Soit {y_{0}:I\to\mathbb{K}} l’une d’elles.
Alors {y:I\to\mathbb{K}} est solution de {(E)} si et seulement si {y-y_{0}} est solution de {(H)}.
En d’autres termes, la solution générale de {(E)} sur {I} s’obtient en ajoutant à une solution particulière de {(E)} la solution générale de {(H)} sur {\mathbb{R}}.

Remarque importante

On sait que la solution générale de {(H)} sur {\mathbb{R}} s’écrit {x\mapsto \lambda\, h(x)+\mu\, k(x)}, où {h} et {k} sont deux solutions particulières de {(H)} non nulles et non proportionnelles.

La solution générale de {(E)} sur {I} s’écrit donc {x\mapsto y(x)=y_{0}(x)+\lambda\, h(x)+\mu\, k(x)}.

En particulier l’expression de cette solution générale fait toujours apparaître deux constantes {\lambda} et {\mu} arbitraires.

Cas où on “devine” une solution particulière de {(E)}

On possède une “formule” pour la solution générale de {(H)}, et tout le problème est de trouver une solution particulière de {(E)}. Le cas le plus favorable est celui où on “devine” une telle solution.

Par exemple, une solution particulière de {(E):\ y''+y=1} est évidemment {y=1}.

La solution générale de {(E)} est donc donnée par {y(x)=\alpha\cos(x)+\beta\sin(x)+1}.

La proposition suivante est utile si le second membre est combinaison linéaire de fonctions simples :

Proposition (principe de superposition)
On considère l’équation {(E):\ y''+ay'+by=f(x)}, où {f:I\to\mathbb{K}} est continue.
On suppose {f(x)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\alpha_{k}\,f_{k}(x)} (où les {\alpha_{k}} sont scalaires, et les {f_{k}:I\to\mathbb{K}} sont continues sur {I}).
Soit {x\mapsto y_{k}(x)} une solution particulière sur {I} de l’équation {(E_{k}):\ y''+ay'+by=f_{k}(x)}.
Alors une solution particulière sur {I} de {(E)} est : {x\mapsto y(x)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\alpha_{k}\,y_{k}(x)}.

Problème de Cauchy

Proposition (Problème de Cauchy)
On considère l’équation {(E):\ y''+ay'+by=f(x)}, où {f:I\to\mathbb{K}} est continue.
Soit {x_0} un élément de {I}, et {(y_0,m)} un élément quelconque de {\mathbb{K}^2}.
Il existe une unique solution de {(E)} sur {I}
satisfaisant aux conditions initiales {\begin{cases}y(x_0)=y_0\cr y'(x_0)=m\end{cases}}
La trouver c’est résoudre le problème de Cauchy relatif à ces conditions initiales.

Interprétation graphique

Supposons {\mathbb{K}=\mathbb{R}} (toutes les fonctions sont donc ici à valeurs réelles).

Par tout point {M(x_0,y_0)}, avec {x_{0}} dans {I} et {y_{0}} dans {\mathbb{R}}, il passe une courbe intégrale unique ayant une pente donnée {m}. Il faut donc “deux conditions” au même point {x_{0}} (l’une portant sur la valeur de la solution, l’autre sur sa dérivée) pour s’assurer de l’unicité d’une solution.

Si on ne fixe qu’une des deux conditions (soit {y(x_{0})=y_{0}}, soit {y'(x_{0})=m}), il reste encore une infinité de solutions dont les représentations graphiques forment :

  • dans le premier cas : un faisceau de courbes passant par {M(x_{0},y_{0})},
  • dans le second cas, un faisceau de courbes dont les tangentes au point d’abscisse {x_{0}} sont parallèles.

Exemple avec l’équation différentielle {4y''+4y'+y=\cos(x)}

  • Avec la seule condition {y(1)=1} :

  • Avec la seule condition {y'(0)=0} :

Quelques exemples

Conjuguée d’une solution complexe

Soit {(E):\ y''+ay'+by=f(x)}, avec {a,b} réels et {f:I\to\mathbb{C}} continue.

Soit {x\mapsto \varphi(x)} une solution particulière de {(E)} sur l’intervalle {I}.

Alors l’application conjuguée {x\mapsto \overline{\varphi}(x)} est solution de {(\overline{E}) : y''+ay'+by=\overline{f}(x)} sur {I}.

Par superposition des deux seconds membres {x\mapsto f(x)} et {x\mapsto \overline{f(x)}}, on en déduit que :

  • la fonction {x\mapsto \text{Re}({\varphi}(x))} est solution de {y''+ay'+by=\text{Re}({f}(x)} sur {I}.
  • la fonction {x\mapsto \text{Im}({\varphi}(x))} est solution de {y''+ay'+by=\text{Im}({f}(x))} sur {I}.

Par exemple, pour trouver une solution de l’équation {y''+y'+2y=x\cos(x)}, il suffit de trouver une solution {\varphi} de l’équation {y''+y'+2y=x\text{e}^{ix}} et d’en prendre la partie réelle.

Seconds membres particuliers

On considère l’équation {(E):\ y''+ay'+by=f(x)}, avec {a,b} dans {\mathbb{K}} et {f:I\to\mathbb{K}} continue.

Soit {(C):\ r^{2}+br+c=0} son équation caractéristique.

On suppose ici que {f(x)=P(x)\text{e}^{mx}}, où {P} est un polynôme à coefficients dans {\mathbb{K}}, et où {m\in\mathbb{K}}.

Alors on peut chercher une solution particulière de {(E)} :

  • sous la forme {y(x)=Q(x)\text{e}^{mx}}, avec {\deg(Q)=\deg(P)}, si {m} n’est pas racine de {(C)}.
  • sous la forme {y(x)=xQ(x)\text{e}^{mx}}, avec {\deg(Q)=\deg(P)}, si {m} est racine simple de {(C)}.
  • sous la forme {y(x)=x^2Q(x)\text{e}^{mx}}, avec {\deg(Q)=\deg(P)}, si {m} est racine double de {(C)}.

Une fois qu’on a compris sous quelle forme chercher cette solution particulière de l’équation {(E)}, il suffit d’écrire le polynôme {Q} avec des coefficients indéterminés, d’injecter cette expression de {y(x)} dans {(E)} et de procéder à une identification pour déterminer les coefficients de {Q}.

Si le second membre est de la forme {f(x)=P(x)\cos(\omega x)+Q(x)\sin(\omega x)}, on se ramène à ce qui précède en écrivant {\cos(\omega x)} et {\sin(\omega x)} en fonction de {\text{e}^{i\omega x}} et en utilisant le principe de superposition.

On peut également chercher une solution particulière sous la forme {f(x)=R(x)\cos(\omega x)+S(x)\sin(\omega x)} (en attendant l’identification pour déterminer le degré de {R} et {S}).

Un exemple

On considère l’équation différentielle : {(E):\ y''-3y'+2y=(2x+3)\text{e}^{x}+(4x-5)\text{e}^{-x}}
L’équation caractéristique est {(C):\ r^{2}-3r+2=0}, de racines {r=1} et {r=2}.

La solution générale de {(H)} sur {\mathbb{R}} s’écrit : {y(x)=\lambda\,\text{e}^{x}+\mu\,\text{e}^{2x}\text{\ avec\ }(\lambda,\mu)\in\mathbb{K}^2}
On écrit le second membre {f(x)=g(x)+h(x)}, avec {\begin{cases}g(x)=(2x+3)\text{e}^{x}\\h(x)=(4x-5)\text{e}^{-x}\end{cases}}

On considère donc séparément les équations {\begin{cases}(E_{1}):\ y''-3y'+2y=(2x+3)\text{e}^{x}\cr (E_{2}):\ y''-3y'+2y=(4x-5)\text{e}^{-x}\end{cases}}
Tout d’abord {r=1} est une racine simple de {(C)}.

On cherche donc une solution {(E_{1})} sous la forme {y_{1}(x)=x(ax+b)\text{e}^{x}}.

Ensuite {r=-1} n’est pas racine de {(C)}.

On cherche une solution {(E_{2})} sous la forme {y_{1}(x)=(cx+d)\text{e}^{-x}}.

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