Équations différentielles d’ordre 1

Plan du chapitre "Calcul intégral"

Dans cette section, il sera question de fonctions à valeurs réelles ou complexes.
Ces fonctions seront définies sur un intervalle ouvert non vide {I} de {\mathbb{R}}.
On notera {\mathbb{K}} pour désigner indifféremment {\mathbb{R}} et {\mathbb{C}}, et on parlera de fonctions à valeurs dans {\mathbb{K}}.

Position du problème

Définition
Soit {I} un intervalle ouvert non vide.
Soit {x\mapsto a(x)} et {x\mapsto b(x)} deux fonctions continues sur {I}, à valeurs dans {\mathbb{K}}.
On dit que (E) : {y'+a(x)y=b(x)} est une équation différentielle linéaire du premier ordre.
On note {(H)} l’équation différentielle : {y'+a(x)y=0}.
On dit que {(H)} est l’équation différentielle homogène associée à {(E)}.

Compléments sur la définition

Résoudre (on dit aussi “intégrer”) l’équation {(E)} (resp. l’équation {(H)}) c’est trouver toutes les fonctions dérivables {y:I\to\mathbb{K}} qui vérifient l’égalité {(E)} (resp. l’égalité {(H)}) sur {I}.

On pourra noter {\mathcal{S}_{E}} (resp. {\mathcal{S}_{H}}) l’ensemble des solutions de {(E)} (resp. de {(H)}) sur {I}.

À la fois pour {(E)} et pour {(H)}, la “solution générale” désigne une expression (en fonction d’une constante d’intégration, comme on le verra) de toutes les “solutions particulières”.

Cas particulier où {a} est une constante

Proposition (solution générale de y'+ay=0 où a est une constante)
On considère l’équation homogène {(H):\ y'+a\,y=0}{a} est un élément de {\mathbb{K}} ({\,\mathbb{R}\;\text{ou}\;\mathbb{C}}).
La solution générale de {(H)} sur {\mathbb{R}} est donnée par {y(x)=\lambda\,\text{e}^{-ax}}, où {\lambda} est quelconque dans {\mathbb{K}}.

Remarque importante sur l’intervalle de résolution

Les résultats de cette section peuvent être étendus aux équations différentielles qui se présentent sous la forme {u(x)y'(x)+v(x)y(x)=w(x)}, où {u,v,w} sont des fonctions numériques continues.

Mais il faut alors obligatoirement se placer sur un intervalle sur lequel la fonction {x\mapsto u(x)} ne s’annule pas (de manière à revenir, en divisant par {u(x)}, à la forme précédente, dite “normalisée”).

Par exemple, pour résoudre {x(1-x)y'(x)+v(x)y(x)=w(x)}, il faudra absolument commencer par dire qu’on se place sur l’intervalle {I=]-\infty,0\,[}, ou {I=\,]\,0,1\,[}, ou {I=\,]\,1,+\infty\,[}.

Résolution de l’équation homogène {y' +a(x)y =0}

Proposition (solution générale de (H) : y'+a(x)y=0)
On considère l’équation {(H):\ y'+a(x)y=0}, sur l’intervalle {I}.
Soit {A} une primitive particulière de {x\mapsto b(x)} sur {I}.
La solution générale de {(H)} sur {I} s’écrit {y(x)=\lambda\,\text{e}^{-A(x)}}, où {\lambda} est quelconque dans {\mathbb{K}}.

Remarques et exemples
Le résultat précédent montre que l’ensemble {\mathcal{S}_{H}} des solutions {y} de {(H)} sur {I} est égal à l’ensemble des multiples d’une solution particulière {y_0} non nulle de {(H)} sur {I}.

On exprime cette situation en disant que {\mathcal{S}_{H}} est une droite vectorielle.

On voit qu’une solution de {(H)} sur {I}, si elle n’est pas la solution nulle, ne s’annule jamais sur {I}.

Si on “devine” une solution non nulle de {(H)} sur {I}, alors on connait la solution générale (sans avoir à passer par la formule précédente).

Par exemple, on constate que {x\mapsto \dfrac1x} est solution de {(H):\ y'+\dfrac{y}{x}=0} sur {\mathbb{R}^{-*}} et sur {\mathbb{R}^{+*}}.

Sur {I=\mathbb{R}^{-*}} ou sur {I=\mathbb{R}^{-*}}, la solution générale de {(H)} est donc {x\mapsto\dfrac\lambda{x}}, {(\lambda\in\mathbb{K})}.

Résolution de l’équation {y' +a(x)y = b(x)}

Proposition (solution générale de (E) : y' +a(x)y = b(x))
On considère l’équation différentielle {(E):\ y'+a(x)y=b(x)}, sur un intervalle {I}.
La solution générale de {(E)} sur {I} est donnée par {y_{\lambda}(x)=(B(x)+\lambda)\text{e}^{-A(x)}}, où :
— la fonction {x\mapsto A(x)} est une primitive particulière de {x\mapsto a(x)} sur {I}

— le scalaire {\lambda} est quelconque dans {\mathbb{K}}.
— la fonction {x\mapsto B(x)} est une primitive particulière de {x\mapsto b(x)\text{e}^{A(x)}} sur {I}

Proposition (structure de l'ensemble des solutions de (E))
On considère les équations {(E):\ y'+a(x)y=b(x)} et {(H):\ y'+a(x)y=0}.
La solution générale de {(E)} est la somme de celle de {(H)} et d’une solution particulière de {(E)}.

Deux exemples

  • Considérons par exemple l’équation différentielle {(E):\ xy'+y=2x}.
    À cause du coefficient de {y'}, il faut obligatoirement se placer sur {I=\mathbb{R}^{-*}} ou {I=\mathbb{R}^{+*}}.
    On “remarque” qu’une solution particulière de {(E):\ xy'+y=2x} est la fonction {x\mapsto x}.
    On sait que la solution générale de {(H)} sur {I=\mathbb{R}^{+*}} ou {\mathbb{R}^{-*}} s’écrit {y(x)=\dfrac{\lambda}{x}}, avec {\lambda} dans {\mathbb{K}}.
    La solution générale de {(E)} sur {I=\mathbb{R}^{+*}} ou {\mathbb{R}^{-*}} est donc {y(x)=x+\dfrac{\lambda}{x}}, avec {\lambda} dans {\mathbb{K}}.
  • Considérons l’équation différentielle {(E):\ \cos(x)\,y'+\sin(x)\,y=1}, sur {I=\,\Big]-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\Big[}.
    On “remarque” qu’une solution particulière de {(E)} sur {I} est {x\mapsto \sin(x)}.
    On “remarque” qu’une solution particulière (non nulle) de {(H)} sur {I} est {x\mapsto \cos(x)}.
    La solution générale de {(E)} sur {I} s’écrit donc {y(x)=\sin(x)+\lambda\cos(x)}, avec {\lambda} dans {\mathbb{K}}.

Principe de superposition

Proposition
On considère l’équation différentielle {(E):\ y'+a(x)y=b(x)}, sur un intervalle {I}.
On suppose que la fonction {x\mapsto b(x)} s’écrit {b(x)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\alpha_{k}\,b_{k}(x)} (les {\alpha_{k}} étant des scalaires).
Soit {x\mapsto y_{k}(x)} une solution particulière sur {I} de l’équation différentielle {(E_{k}):\ y'+a(x)y=b_{k}(x)}.
Alors une solution particulière sur {I} de {(E)} est : {x\mapsto y(x)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\alpha_{k}\,y_{k}(x)}

Remarques et exemples

  • Considérons par exemple {(E):\ xy'+y=2x+1+\ln(x)}, sur {I=\mathbb{R}^{+*}}.
    Une solution particulière de {(E_{1}):\ xy'+y=2x} sur {I} est {x\mapsto x}.
    Une solution particulière de {(E_{2}):\ xy'+y=1+\ln(x)} sur {I} est {x\mapsto \ln(x)}.
    Une solution particulière de {(E)} sur {I} est donc {x\mapsto x+\ln(x)}.
  • Soit {a:I\to\mathbb{R}} et {b:I\to\mathbb{C}}, continues sur {I}.
    Soit {x\mapsto \omega(x)} une solution particulière de {(E):\ y'(x)+a(x)y(x)=b(x)}.

    Alors {x\mapsto \text{Re}(\omega(x))} est solution sur {I} de {y'(x)+a(x)y(x)=\text{Re}(b(x))}.

    De même, {x\mapsto \text{Im}(\omega(x))} est solution sur {I} de {y'(x)+a(x)y(x)=\text{Im}(b(x))}.

    Cette idée sert quand {b(x)=P(x)\cos(\beta x)}, ou {P(x)\sin(\beta x)} ({P} un polynôme à coefficients réels).
    Les calculs sont en effet plus simples en écrivant le second membre sous la forme {P(x)\text{e}^{i\beta x}}.
    Il suffit alors de prendre la partie réelle (ou imaginaire) de la solution particulière obtenue.

Méthode de variation de la constante

On considère les équations {(H):\ y'(x)+a(x)y(x)=0} et {(E):\ y'(x)+a(x)y(x)=b(x)}.
On rappelle que les fonctions {a} et {b} sont continues, à valeurs dans {\mathbb{K}}.

Soit {x\mapsto h(x)} une solution de {(H)} sur {I}, non nulle (donc ne s’annulant pas sur {I}).
On sait que la solution générale de {(H)} sur {I} s’écrit {y:x\mapsto \lambda h(x)}, avec {\lambda\in\mathbb{K}}.

Pour résoudre complètement {(E)} sur {I}, il suffit d’en connaître une solution particulière.

On cherche une telle solution sous la forme {y:x\mapsto\lambda(x)\,h(x)}, où {\lambda} est maintenant une fonction dérivable sur {I} à valeurs dans {K} (on fait donc “varier la constante”).

Avec ces notations, et pour tout {x} de l’intervalle {I} :
{\begin{array}{l}y'(x)+a(x)y(x)=b(x)\phantom{\biggl(}\\\qquad\Leftrightarrow\lambda'(x)h(x)+\lambda(x)h'(x)+a(x)\lambda(x)h(x)=b(x)\phantom{\biggl(}\\\qquad\Leftrightarrow\lambda'(x)h(x)+\lambda(x)\bigl(h'(x)+a(x)h(x)\bigr)=b(x)\phantom{\biggl(}\\\qquad\Leftrightarrow \lambda'(x)h(x)=b(x)\text{\ (car\ }h'(x)+a(x)h(x)\equiv 0)\phantom{\biggl(}\\\qquad\Leftrightarrow \lambda'(x)=\dfrac{b(x)}{h(x)}\text{\ (ce qui détermine\ }x\mapsto \lambda(x)\text{\ à une constante\ }\mu\text{\ près)}\phantom{\biggl(}\end{array}}
Si {\Gamma} est une primitive de {x\mapsto\dfrac{b(x)}{h(x)}} sur {I}, on a ainsi obtenu : {x\mapsto y(x)=\Gamma(x)h(x)+\mu h(x)\text{\ avec }\mu\in\mathbb{K}}
Cette méthode donne donc l’ensemble des solutions de {(E)} sur {I}.
Remarque importante : il n’est pas nécessaire de calculer explicitement {h'(x)} quand on applique la méthode, car cette dérivée se simplifie toujours!

Problème de Cauchy

Proposition (existence et unicité de la solution d'un problème de Cauchy)
On considère l’équation différentielle {(E):\ y'+b(x)y=c(x)}, sur l’intervalle {I}.
Soit {x_0} un point {I}, et soit {y_0} un élément quelconque de {\mathbb{K}}.
Il existe une unique solution de {(E)} sur {I}
satisfaisant à la condition initiale {y(x_0)=y_0}.
Trouver cette solution, c’est résoudre le problème de Cauchy relatif à ces conditions initiales.

Supposons {\mathbb{K}=\mathbb{R}} (toutes les fonctions sont donc à valeurs réelles).

Les courbes représentatives des solutions de {(E)} sont appelées courbes intégrales de {(E)}.

Ce que dit le résultat précédent, c’est que par tout point {M(x_0,y_0)} de {I\times \mathbb{R}}, il passe une et une seule courbe intégrale de {(E)}.

Bien sûr cela n’est valable que sur l’intervalle ouvert sur lequel on résout l’équation {(E)}, et cesse d’être vrai aux extrémités de cet intervalle.

Un premier exemple : l’équation {\cos(x)\,y'+\sin(x)\,y=1} sur {I=\,\Big]-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\Big[}

On voit ici quelques solutions de l’équation {(E):\ \cos(x)\,y'+\sin(x)\,y=1}, sur {I=\,\Big]-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\Big[}

Ce sont les {y(x)=\sin(x)+\lambda\cos(x)} ({\lambda\in\mathbb{R}})

On voit qu’ici les solutions se prolongent par continuité de la même manière aux extrémités de {I}.

Un deuxième exemple : l’équation {(1-x^{2})y'+y=1} sur {I=]-1,1[}

La solution générale : {y(x)=1+\lambda\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}}}. Une solution particulière est {y(x)=1}

Un troisième exemple : l’équation {(1-x^{2})y'-2xy=1-3x^{2}} sur {I=]-1,1[}

Solution générale : {y(x)=x+\dfrac{\lambda}{1-x^{2}}}. Une solution particulière est {y(x)=x}

On retiendra que les “courbes intégrales” d’une équation différentielle {(E):\ y'(x)+a(x)=b(x)} ne se “croisent” jamais sur l’intervalle ouvert {I} où on résout l’équation.

L’ensemble de ces courbes constitue donc une partition de la bande verticale délimitée par l’intervalle {I} (on suppose ici {\mathbb{K}=\mathbb{R}}).

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