Compléments sur les primitives

Plan du chapitre "Calcul intégral"

Le calcul d’une intégrale se ramène souvent au calcul d’une primitive.

Dans ce paragraphe, on va passer en revue quelques situations courantes.

Les méthodes décrites ici doivent être considérées comme des “compléments utiles” du cours.

On note {\displaystyle\int f(x)\,\text{d}x=F(x)+\lambda} l’ensemble des primitives d’une application {f}.

Primitives de {\sin^p(x)\cos^q(x)}

Si on veut calculer {\displaystyle\int\sin^p(x)\cos^q(x)\,\text{d}x}, avec {p} et {q} dans {\mathbb{N}}, tout dépend de la parité de {p} et {q}.

  • Si {p} est impair, on peut poser {t=\cos(x)} (donc {\,\text{d}t=-\sin(x)\,\text{d}x}) :
    {\begin{array}{rl}\displaystyle\int\sin^3(x)\cos^4(x)\,\text{d}x&=\displaystyle\int(t^2-1)\,t^4\,\text{d}t=\dfrac{t^7}7-\dfrac{t^5}5+\lambda\\\\&=\dfrac{\cos^7(x)}7-\dfrac{\cos^5(x)}5+\lambda\end{array}}
  • Si {q} est impair, on peut poser {t=\sin(x)} (donc {\,\text{d}t=\cos(x)\,\text{d}x}) :
    {\begin{array}{rl}\displaystyle\int\cos^5(x)\,\text{d}x&=\displaystyle\int(1-t^2)^2\,\text{d}t=t-\dfrac{2t^3}3+\dfrac{t^5}5+\lambda\\\\&=\sin(x)-\dfrac{2\sin^3(x)}{3}+\dfrac{\sin^5(x)}5+\lambda\end{array}}
  • Si {p} et {q} sont pairs, on linéarise :
    {\begin{array}{rl}\displaystyle\cos^4(x)\,\text{d}x&=\dfrac18\displaystyle\int(\cos(4x)+4\cos(2x)+3)\,\text{d}x\\\\&=\dfrac{\sin(4x)}{32}+\dfrac{\sin(2x)}4+\dfrac{3x}8+\lambda\end{array}}

Primitives de {P(x)\,\text{e}^{ax}} (et associées)

On veut calculer {\displaystyle\int P(x)\,\text{e}^{ax}\,\text{d}x}, où {P} est un polynôme et {a} un scalaire.

On peut procéder par intégrations par parties successives, si {\deg P} n’est pas trop grand.

Mais il est souvent préférable d’utiliser une méthode de coefficients indéterminés, et de chercher une primitive de {P(x)\,\text{e}^{ax}} sous la forme {Q(x)\,\text{e}^{ax}}, avec {\deg Q=\deg P}.

Prenons un exemple. On écrit {\displaystyle\int(x^3-2x+1)\,\text{e}^{-x}\,\text{d}x=Q(x)\,\text{e}^{-x}+\lambda\text{\ où\ }Q(x)=\alpha x^3+\beta x^2+\gamma x+\delta}
Par dérivation et identification, on obtient :
{\begin{array}{rl}(Q(x)\,\text{e}^{-x})'&=(Q'(x)-Q(x))\,\text{e}^{-x}\\\\&=(-\alpha x^3+(3\alpha-\beta)x^2+(2\beta-\gamma)^x+\gamma-\delta)\,\text{e}^{-x}\\\\&=(x^3-2x+1)\,\text{e}^{-x}\\\\&\text{\ donc\ }\alpha=-1,\beta=-3,\gamma=-4,\delta=-5\end{array}}
Ainsi {\displaystyle\int(x^3-2x+1)\,\text{e}^{-x}\,\text{d}x=-(x^3+3x^2+4x+5)\,\text{e}^{-x}+\lambda}.

Primitives de {P(x)\sin(ax)}, ou {P(x)\cos(ax)}, ou {P(x)\,\text{sh}(ax)} ou {P(x)\,\text{ch}(ax)}.

On est ramené au cas précédent en utilisant les formules d’Euler (quitte à aller vers des fonctions à valeurs complexes : ce sujet est traité un peu plus loin dans ce chapitre).

  • Calculons par exemple {I=\displaystyle\int(x^3-2x+1)\,\text{ch}(x)\,\text{d}x}. On écrit {\,\text{ch}(x)=\dfrac{\text{e}^x+\text{e}^{-x}}{2}}.

    Ainsi {I=\dfrac{J+K}2}, où {J=\displaystyle\int(x^3-2x+1)\,\text{e}^{x}\,\text{d}x} et {K=\displaystyle\int(x^3-2x+1)\,\text{e}^{-x}\,\text{d}x}.

    On sait déjà que {J=-(x^3+3x^2+4x+5)\,\text{e}^{-x}+\lambda} (voir exemple précédent).

    Une méthode analogue donne {K=(x^3-3x^2+4x-3)\text{e}^x+\lambda}.

    On en déduit : {I=\dfrac{1}{2}\,\text{e}^x\,(x^3-3x^2+4x-3)-\dfrac{1}{2}\,\text{e}^{-x}\,(x^3+3x^2+4x+5)+\lambda}
    Dans le résultat, on peut remplacer {\text{e}^x} par {\,\text{ch}(x)+\,\text{sh}(x)} et {\text{e}^{-x}} par {\,\text{ch}(x)-\,\text{sh}(x)}.

    Tout calcul fait, on trouve : {I=-(3x^2+4)\,\text{ch}(x)+(x^3+4x+1)\,\text{sh}(x)+\lambda}.

  • Pour calculer par exemple {J=\displaystyle\int x^4\cos(x)\,\text{d}x}, on écrit {J=\text{Re}\Bigl(\displaystyle\int x^4\text{e}^{ix}\,\text{d}x\Bigr)}.

    Par identification, {\displaystyle\int x^4\text{e}^{ix}\,\text{d}x=-\text{e}^{ix}(ix^4-4x^3-12ix^2+24x+24i)+\lambda}. Ainsi : {\begin{array}{rl}J&=\displaystyle\int x^4\cos(x)\,\text{d}x\\\\&=x^4\sin(x)+4x^3\cos(x)-12x^2\sin(x)-24x\cos(x)+24\sin(x)+\lambda\\\\&=(x^4-12x^2+24)\sin(x)+4(x^3-6x)\cos(x)+\lambda\end{array}}

Utilisation de récurrences

Pour calculer {I_n=\displaystyle\int f_n(x)\,\text{d}x}, avec {n} dans {\mathbb{N}}, on peut chercher une relation de récurrence.

Cela passe souvent par une intégration par parties.

  • Premier exemple :
    On veut calculer {I_n=\displaystyle\int\sin^n(x)\,\text{d}x}
    ou {J_n=\displaystyle\int\cos^n(x)\,\text{d}x}
    (“intégrales de Wallis”).

    On suppose {n\ge2} et on intègre par partie {\sin(x)\,\sin^{n-1}(x)} en dérivant {\sin^{n-1}(x)}.

    {\begin{array}{rl}I_n&=\displaystyle\int\sin^n(x)\,\text{d}x=-\cos(x)\,\sin^{n-1}(x)+(n-1)\displaystyle\int\cos^2(x)\,\sin^{n-2}(x)\,\text{d}x\\\\&=-\cos(x)\,\sin^{n-1}(x)+(n-1)\displaystyle\int(1-\sin^2(x))\,\sin^{n-2}(x)\,\text{d}x\\\\&=-\cos(x)\,\sin^{n-1}(x)+(n-1)(I_{n-2}-I_n)\end{array}}

    Ainsi : {I_n=\dfrac1n\bigl(-\cos(x)\,\sin^{n-1}(x)+(n-1)I_{n-2}\bigr)}

    Connaissant {\begin{cases}I_0=x+\lambda\cr I_1=-\cos(x)+\lambda\end{cases}}, on trouve les {I_n} de proche en proche.

  • Deuxième exemple : on veut calculer {I_n=\displaystyle\int\dfrac{\,\text{d}x}{(a^2+x^2)^n}}.

    Première méthode, on intègre {I_{n}} par parties, en primitivant {1} et en dérivant {\dfrac{1}{(a^2+x^2)^n}} :
    {\begin{array}{rl}I_n&=\dfrac{x}{(a^2+x^2)^n}+2n\displaystyle\int\dfrac{x^2}{(a^2+x^2)^{n+1}}\,\text{d}x\\\\&=\dfrac{x}{(a^2+x^2)^n}+2n\displaystyle\int\dfrac{(a^2+x^2)-a^2}{(a^2+x^2)^{n+1}}\,\text{d}x\\\\&=\dfrac{x}{(a^2+x^2)^n}+2n(I_n-a^2I_{n+1})\\\\&\Longrightarrow I_{n+1}=\dfrac1{2na^2}\,\biggl[\;\dfrac{x}{(a^2+x^2)^n}+(2n-1)I_n\;\biggr]\end{array}}
    Connaissant {I_1=\dfrac1a\arctan\Bigl(\dfrac xa\Bigr)+\lambda}, on en déduit {I_n} pour tout {n} de {\mathbb{N}^*}.

    Il y a une autre méthode pour calculer {I_n=\displaystyle\int\dfrac{\,\text{d}x}{(a^2+x^2)^n}} (recommandée si {n\le 3}).

    On pose {x=a\tan t}. Ainsi {\,\text{d}x=a(1+\tan^2t)\,\text{d}t} et :{I_n=\displaystyle\int\dfrac{\,\text{d}t}{a^{2n-1}(1+t^2)^{n-1}}=\dfrac1{a^{2n-1}}\displaystyle\int\cos^{2n-2}(t)\,\text{d}t}ce qui ramène aux intégrales de Wallis.

Primitives des fractions rationnelles

On décompose la fraction rationnelle en éléments simples.

La théorie sera abordée plus tard (et en se limitant à des situations assez simples).

Le problème est la primitivation de {f(x)=\dfrac{\lambda x+\mu}{(x^2+bx+c)^n}}, où {b^2-4c\lt 0}.

On écrit {f(x)=\dfrac{\lambda(2x+b)}{2(x^2+bx+c)^n}+\dfrac{2\mu-\lambda b}{2(x^2+bx+c)^n}}.

La fonction {g(x)=\dfrac{2x+b}{2(x^2+bx+c)^n}} s’intègre facilement car du type {\dfrac{u'(x)}{u(x)}}.

Il reste à intégrer {h(x)=\dfrac{1}{(x^2+bx+c)^n}}.

Or {x^2+bx+c=\Bigl(x+\dfrac b2\Bigr)^2+\alpha^2}, avec {\alpha=\dfrac12\sqrt{4c-b^2}}.

Le changement de variable {x=t-\dfrac{b}2} donne : {\displaystyle\int\dfrac{\,\text{d}x}{(x^2+bx+c)^n}=\displaystyle\int\dfrac{\,\text{d}t}{(t^2+\alpha^2)^n}}.

On est ainsi ramené à une intégrale qu’on sait calculer (exemple précédent).

  • Un exemple très simple :

    On veut calculer {I=\displaystyle\int\dfrac{\,\text{d}x}{x(x^2+2x+5)}}. On trouve :
    {\begin{array}{rl}\dfrac{1}{x(x^2+2x+5)}&=\dfrac{1}{5x}-\dfrac{x+2}{5(x^2+2x+5)}\\\\&=\dfrac{1}{5x}-\dfrac{2x+2}{10(x^2+2x+5)}-\dfrac{1}{5(x^2+2x+5)}\\\\&=\dfrac{1}{5x}-\dfrac{2x+2}{10(x^2+2x+5)}-\dfrac{1}{5((x+1)^2+2^2)}\end{array}}
    Conclusion : {\displaystyle\int\dfrac{\,\text{d}x}{x(x^2+2x+5)}=\dfrac15\,\ln\left|x\right|-\dfrac1{10}\ln(x^2+2x+5)-\dfrac{1}{10}\arctan\dfrac{x+1}2+\lambda}

  • Cas des fractions rationnelles impaires :

    Poser {t=x^2} permet d’abaisser le degré pratiquement de moitié. Par exemple :
    {\begin{array}{rl}\displaystyle\int\dfrac{\,\text{d}x}{x(x^2+1)^2}&=\displaystyle\int\dfrac{\,\text{d}t}{2t(t+1)^2}=\displaystyle\int\Bigl(\dfrac1{2t}-\dfrac1{2(t+1)^2}-\dfrac{1}{2(t+1)}\Bigr)\,\text{d}t\\\\&=\dfrac12\,\ln t+\dfrac{1}{2(t+1)}-\dfrac12\,\ln(t+1)+\lambda\\\\&=\ln\left|x\right|+\dfrac{1}{2(x^2+1)}-\dfrac12\,\ln(x^2+1)+\lambda\end{array}}
    Dans certains, cas, on peut abaisser le degré de manière plus spectaculaire.

    Par exemple, avec le changement de variable {t=x^5} :
    {\begin{array}{rl}\displaystyle\int\dfrac{\,\text{d}x}{x(x^5+1)^2}&=\displaystyle\int\dfrac{\,\text{d}t}{5t(t+1)^2}=\dfrac15\,\ln\left|{t}\right|+\dfrac{1}{5(t+1)}-\dfrac15\,\ln(t+1)+\lambda\\\\&=\ln\left|x\right|+\dfrac{1}{5(x^5+1)}-\dfrac15\,\ln(x^5+1)+\lambda\end{array}}

Fractions trigonométriques

Règles de Bioche

Attention : les “règles de Bioche” sont des méthodes empiriques, hors-programme mais utiles.

On considère ici une expression {f(x)} formée par sommes, produits, quotients et puissances entières de fonctions trigonométriques.

Les règles de Bioche consistent à proposer un changement de variable quand l’expression {f(x)\,\text{d}x} (donc y compris {\,\text{d}x}) est invariante dans une certaine transformation.

On est alors conduit à une fraction rationnelle (et on a des méthodes pour ça).

  • On dit que {\displaystyle\int f(x)\,\text{d}x} a “l’invariant du cosinus” si {f(x)\,\text{d}x} est inchangé dans {x\mapsto-x}.
    Dans ce cas, on peut faire le changement de variable {t=\cos(x)}. Exemple :
    {\begin{array}{rl}\displaystyle\int\dfrac{\,\text{d}x}{\sin(x)}&=\displaystyle\int\dfrac{dt}{t^2-1}=\dfrac12\,\ln\Bigl|\dfrac{1-t}{1+t}\Bigr|+\lambda\\\\&=\dfrac12\,\ln\Bigl|\dfrac{1-\cos(x)}{1+\cos(x)}\Bigr|+\lambda=\ln\left|{\tan\Bigl(\dfrac{x}2\Bigr)}\right|+\lambda\end{array}}
  • On dit que {\displaystyle\int f(x)\,\text{d}x} a “l’invariant du sinus” si {f(x)\,\text{d}x} est inchangé dans {x\mapsto\pi-x}.

    Dans ce cas, on peut faire le changement de variable {t=\sin(x)}. Exemple :
    {\begin{array}{rl}\displaystyle\int\dfrac{2\cos(x)\,\text{d}x}{3-\cos(2x)}&=\displaystyle\int\dfrac{\cos(x)\,\text{d}x}{1+\sin^2(x)}=\displaystyle\int\dfrac{\,\text{d}t}{1+t^2}\\\\&=\arctan(t)+\lambda=\arctan\sin(x)+\lambda\end{array}}

  • On dit que {\displaystyle\int f(x)\,\text{d}x} a “l’invariant de la tangente” si {f(x)\,\text{d}x} est inchangé dans {x\mapsto x+\pi}.

    Dans ce cas, on peut faire le changement de variable {t=\tan(x)}. Exemple :
    {\displaystyle\int\dfrac{\,\text{d}x}{\sin(x)\cos(x)}=\displaystyle\int\dfrac{\,\text{d}t}{t}=\ln\left|{t}\right|+\lambda=\ln\left|{\tan(x)}\right|+\lambda}

S’il n’y a pas d’invariant

On peut poser {t=\tan\bigl(\dfrac{x}2\bigr)}, qui ramène à une fraction rationnelle, mais dont le degré est doublé.

Les règles de Bioche sont donc prioritaires si elles sont applicables.

On rappelle que {\sin(x)=\dfrac{2t}{1+t^2}}, {\cos(x)=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}}, et {\tan(x)=\dfrac{2t}{1-t^2}}. D’autre part :
{t=\tan\dfrac{x}2\Rightarrow\,\text{d}t=\dfrac12\Bigl(1+\tan^2\bigl(\dfrac x2\bigr)\Bigr)\,\text{d}x=\dfrac12(1+t^2)\,\text{d}x\Rightarrow\,\text{d}x=\dfrac{2\,\text{d}t}{1+t^2}}
Voici un exemple d’utilisation de ce changement de variable : {\displaystyle\int\dfrac{\,\text{d}x}{1+\sin(x)}=\displaystyle\int\biggr(\dfrac{2\,\text{d}t}{1+t^2}\,\dfrac1{1+\dfrac{2t}{1+t^2}}=\displaystyle\int\dfrac{2\,\text{d}t}{(1+t)^2}=-\dfrac2{1+\tan\dfrac x2}+\lambda}

Fractions trigonométriques en {\text{sh}(x)}, {\text{ch}(x)} ou {\text{th}(x)}

On peut s’inspirer des règles de Bioche : on imagine de remplacer les fonctions hyperboliques par les fonctions circulaires correspondantes, et s’il y a par exemple l’invariant du sinus alors on effectue le changement de variable {t=\,\text{sh}(x)} dans l’intégrale initiale.

On peut aussi poser {t=\,\text{th}\dfrac x2}, ou encore {u=\text{e}^x} (doublement du degré dans les deux cas).

Rappel : {\,\text{sh}(x)=\dfrac{u^2-1}{2u}}, {\,\text{ch}(x)=\dfrac{u^2+1}{2u}}, {\,\text{th}(x)=\dfrac{u^2-1}{u^2+1}}.

De même : {\Bigl(u=\text{e}^x\Rightarrow\,\text{d}u=u\,\text{d}x\Rightarrow\,\text{d}x=\dfrac{\,\text{d}u}u\Bigr)}.

Primitives avec radicaux

  • En présence de {\sqrt{\dfrac{ax+b}{cx+d}}}, on essaiera le changement de variable {y=\sqrt{\dfrac{ax+b}{cx+d}}}.

    Exemple très simple : on veut calculer {\displaystyle\int\dfrac{x\,\text{d}x}{\sqrt{x+1}}}.

    On pose {t=\sqrt{x+1}}, donc {x+1=t^2} et {\,\text{d}x=2t\,\text{d}t}. On en déduit :
    {\begin{array}{rl}\displaystyle\int\dfrac{x\,\text{d}x}{\sqrt{x+1}}&=\displaystyle\int\dfrac{2t(t^2-1)}{t}\,\text{d}t=\dfrac23t^3-2t+\lambda\\\\&=\dfrac23(x+1)^{3/2}-2\sqrt{x+1}+\lambda\end{array}}

  • En présence de {\sqrt{ax^2+bx+c}}, on met {ax^2+bx+c} sous forme canonique :

    Si {ax^2+bx+c} s’écrit {\alpha^2\bigl((x+\lambda)^2+\mu^2\bigr)}, on pose {x+\lambda=\mu\,\text{sh}(t)}.

    Si {ax^2+bx+c} s’écrit {\alpha^2\bigl((x+\lambda)^2-\mu^2\bigr)}, on pose {x+\lambda=\pm\,\mu\,\text{ch}(t)}.

    Si {ax^2+bx+c} s’écrit {\alpha^2\bigl(\mu^2-(x+\lambda)^2\bigr)}, on pose {x+\lambda=\mu\sin t}.

    On retiendra surtout que la présence de {\sqrt{1+x^2}}, {\sqrt{1-x^2}} ou {\sqrt{x^2-1}} incite aux changements de variables définis respectivement par {x=\,\text{sh}(t)}, {x=\sin(t)} ou {x=\pm\,\text{ch}(t)}.

    Exemple : on veut calculer {\displaystyle\int\dfrac{\,\text{d}x}{(x(2-x))^{3/2}}}.

    On pose {y=\sqrt{x(2-x)}} (mais attention ce n’est pas le changement de variable).

    On obtient alors {y^2=x(2-x)=2x-x^2=1-(x-1)^2}.

    On pose alors {x-1=\sin(t)}, avec {t} dans {\Bigl]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\Bigr[}.

    Ainsi {\,\text{d}x=\cos(t)\,\text{d}t} et {y=\sqrt{\cos^2(t)}=\cos(t)}. On en déduit : {\begin{array}{rl}\displaystyle\int\dfrac{\,\text{d}x}{(x(2-x))^{3/2}}&=\displaystyle\int\dfrac{\,\text{d}x}{y^3}=\displaystyle\int\dfrac{\,\text{d}t}{\cos^2t}=\tan t+\lambda\\\\&=\dfrac{x-1}{\sqrt{x(2-x)}}+\lambda\end{array}}

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