Calculs de primitives

Plan du chapitre "Calcul intégral"

Primitives d’une fonction numérique

Dans cette section, {I} est un intervalle de {\mathbb{R}}, d’intérieur non vide.

Définition (primitive sur un intervalle)
Soit {f} une fonction de {I} dans {\mathbb{R}}. On dit qu’une fonction {F:I\to\mathbb{R}} est une primitive de {f} sur {I} si {F} est dérivable sur {I} et si, pour tout {x} de {I}, on a : {F'(x)=f(x)}.
Proposition (relation entre les primitives d'une même fonction)
Soit {f:I\to\mathbb{R}} une fonction numérique, et soit {F} une primitive de {f} sur {I}.
Les primitives de {f} sur {I} sont les fonctions {x\mapsto G(x)=F(x)+\lambda}, avec {\lambda} dans {\mathbb{R}}.
Pour tout {a} de {I}, et tout {y_{0}} dans {\mathbb{R}}, il existe une unique primitive {G} de {f} telle que {G(a)=b}.

Remarques

  • Les primitives de {f} sur {I} sont définies “à une constante additive près”.
    On note souvent {\displaystyle\int f(x)\,\text{d}x=F(x)+\lambda} pour désigner l’ensemble des primitives de {f} sur {I}.
    On dit alors communément que {\lambda} est la “constante d’intégration”.

    Par exemple {\displaystyle\int\cos(x)\,\text{d}x=\sin(x)+\lambda} désigne l’ensemble des primitives de {x\mapsto\sin(x)} sur {\mathbb{R}}.
    Dans cette notation, {x} joue le rôle de “variable muette”.
    Le symbole choisi n’a pas d’importance dans la mesure où il ne crée pas d’ambigüité.

  • Soit {f:I\to\mathbb{R}} une fonction numérique. Soit {F} et {G} deux primitives de {f} sur {I}.
    Si on souhaite déterminer la constante {\lambda} telle que {G=F+\lambda}, il suffit de calculer {G(a)-F(a)} en un point de {I} (ou de calculer la différence des limites de {F} et {G} en une extrémité de {I}).
  • Le calcul de primitives s’effectue toujours sur un intervalle.
    Par exemple, parler des primitives de {x\mapsto\dfrac{1}{x}} sur {\mathbb{R}^{*}} n’a aucun sens.

    Supposons par exemple que {f} soit définie sur la réunion {\mathcal{D}=I\cup J} de deux intervalles disjoints.
    Supposons aussi que {F,G} soient dérivables sur {\mathcal{D}} et que : {\forall\, x\in\mathcal{D},\;F'(x)=G'(x)=f(x)}.
    D’une part : {\exists\,\lambda\in\mathbb{R},\;\forall\, x\in I,\;G(x)=F(x)+\lambda}.
    D’autre part : {\exists\,\mu\in\mathbb{R},\;\forall\, x\in J,\;G(x)=F(x)+\mu}.
    Mais en aucun cas, on ne peut affirmer que les constantes {\lambda} et {\mu} sont égales.

Primitives usuelles

Voici un mémento des primitives {x\mapsto F(x)} d’une fonction numérique {x\mapsto f(x)}, dans les cas “usuels”.
Les résultats qui figurent dans le tableau suivant doivent donc être connus “par coeur”.
{\begin{array}{||c|c|c||c|c|c||}\phantom{\biggl(}\mathbf{f(x)}&\mathbf{F(x)}&\bf sur&\mathbf{f(x)}&\mathbf{F(x)}&\bf sur\cr \phantom{\Biggl(}x^\alpha,\ (\alpha\ne-1)&\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}&\mathbb{R}^{+*}&\dfrac1{1+x^2}&\arctan x&\mathbb{R}\cr \phantom{\Biggl(}\dfrac1x&\ln\left|x\right|&\mathbb{R}^{-*},\;\mathbb{R}^{+*}&\dfrac1{1-x^2}&\dfrac12\ln\Bigl|\dfrac{1+x}{1-x}\Bigr|&x\ne\pm1\cr \phantom{\Biggl(}\text{e}^x&\text{e}^x&\mathbb{R}&\dfrac1{\sqrt{1+x^2}}&\ln\bigl(x+\sqrt{1+x^2}\bigr)&\mathbb{R}\cr \phantom{\Biggl(}a^{x}\ (a\ne1)&\dfrac{a^x}{\ln a}&\mathbb{R}&\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}&\arcsin(x)&]-1,1\,[\cr \phantom{\Biggl(}\sin(x)&-\cos(x)&\mathbb{R}&\dfrac1{\sqrt{x^2-1}}&\ln\bigl|x+\sqrt{x^2-1}\bigr|&\left|x\right|>1\cr \phantom{\Biggl(}\cos(x)&\sin(x)&\mathbb{R}&\tan(x)&-\ln\left|\cos(x)\right|&x\ne\dfrac\pi2+k\pi\cr \phantom{\Biggl(}\,\text{sh}(x)&\,\text{ch}(x)&\mathbb{R}&\dfrac1{\sin(x)}&\ln\bigl|\tan\bigl(\dfrac x2\bigr)\bigr|&x\ne k\pi\cr \phantom{\Biggl(}\,\text{ch}(x)&\,\text{sh}(x)&\mathbb{R}&\dfrac1{\cos(x)}&\ln\bigl|\tan\bigl(\dfrac x2+\dfrac\pi4\bigr)\bigr|&x\ne\dfrac\pi2+k\pi\cr \phantom{\Biggl(}\dfrac1{\cos^2(x)}&\tan(x)&x\ne\dfrac\pi2+k\pi&\dfrac1{\,\text{ch}^2(x)}&\,\text{th}(x)&\mathbb{R}\cr \phantom{\Biggl(}\dfrac1{\sin^2(x)}&-\dfrac{1}{\text{tan}(x)}&x\ne k\pi&\dfrac1{\,\text{sh}^2(x)}&-\dfrac{1}{\text{th}(x)}&\mathbb{R}^{+*},\;\mathbb{R}^{-*}\cr \end{array}}

Remarque:
{\text{Si\ }\displaystyle\int f(x)\,\text{d}x=F(x)+\lambda\text{,\ alors\ }\displaystyle\int f(ax+b)\,\text{d}x=\dfrac{1}{a}F(ax+b)+\lambda}
Par exemple :
{\begin{array}{ll}\displaystyle\int(ax+b)^{\alpha}\,\text{d}x=\dfrac{1}{a}\,\dfrac{(ax+b)^{\alpha+1}}{\alpha+1}+\lambda\qquad&\qquad \displaystyle\int\dfrac{\,\text{d}x}{ax+b}=\dfrac{1}{a}\ln\left|{ax+b}\right|+\lambda\\\\\displaystyle\int\cos(ax+b)\,\text{d}x=\dfrac{1}{a}\sin(ax+b)+\lambda\qquad&\qquad\displaystyle\int\text{e}^{ax}\,\text{d}x=\dfrac{1}{a}\text{e}^{ax}+\lambda\end{array}}

Reconnaître la dérivée d’une composée

Soit {f:I\to\mathbb{R}}, et soit {\varphi:J\to\mathbb{R}} dérivable telle que {\varphi(J)\subset I}.

Soit {F} une primitive de {f} sur {I}. Alors {F\circ \varphi} est une primitive de {(f\circ\varphi)\varphi'} sur {J}.

On peut donc écrire directement : {\displaystyle\int f(\varphi(x))\varphi'(x)\,\text{d}x=(F\circ\varphi)(x)+\lambda}

Voici trois situations classiques :
{\begin{array}{c}\displaystyle\int\varphi'(x)\,\text{e}^{\varphi(x)}\,\text{d}x=\text{e}^{\varphi(x)}+\lambda\\\\\displaystyle\int\dfrac{\varphi'(x)}{\varphi(x)}\,\text{d}x=\ln\left|{\varphi(x)}\right|+\lambda\\\\\displaystyle\int\varphi'(x)\,\varphi^r(x)\,\text{d}x=\dfrac{\varphi^{r+1}(x)}{r+1}+\lambda\end{array}}

Primitivation de {x\mapsto \frac{px+q}{ax^{2}+bx+c}}

Les deux résultats ci-dessous sont utiles à connaître :
{\begin{array}{cc}\displaystyle\int\dfrac{\,\text{d}x}{x^2+a^2}=\dfrac1a\arctan\dfrac{x}{a}+\lambda\quad&\quad\displaystyle\int\dfrac{\,\text{d}x}{x^2-a^2}=\dfrac1{2a}\ln\Bigl|\dfrac{x-a}{x+a}\Bigr|+\lambda\end{array}}

Plus généralement, soit {f:x\mapsto \dfrac{px+q}{ax^{2}+bx+c}}, où {p,q,a,b,c} sont réels (et {a\ne0}).

On veut calculer {\displaystyle\int f(x)\,\text{d}x}, sur un intervalle {I} où le dénominateur de {f} ne s’annule pas.

La première idée est d’écrire : {f(x)=\dfrac{p}{2a}\Bigl(\dfrac{2ax+b}{ax^{2}+bx+c}\Bigr)+\Bigl(q-\dfrac{pb}{2a}\Bigr)\dfrac{1}{ax^{2}+bx+c}}.

Cette décomposition permet d’utiliser {\displaystyle\int\dfrac{2ax+b}{ax^{2}+bx+c}\,\text{d}x=\ln\left|{ax^{2}+bx+c}\right|+\lambda}.

Il reste donc à calculer {\displaystyle\int\dfrac{\,\text{d}x}{ax^{2}+bx+c}}.

Pour cela, on utilise la “forme canonique”, et le discriminant {\Delta=b^{2}-4ac}. On écrit : {\begin{array}{rl}ax^{2}+bx+c&=a\Bigl(x^{2}+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}\Bigr)\\\\&=a\Bigl(\Bigl(x+\dfrac{b}{2a}\Bigr)^{2}-\dfrac{b^{2}}{4a^{2}}+\dfrac{c}{a}\Bigr)=a\Bigl(\Bigl(x+\dfrac{b}{2a}\Bigr)^{2}-\dfrac{\Delta}{4a^{2}}\Bigr)\end{array}}
Suivant le signe de {\Delta}, on est ramené à l’une des trois situations suivantes :

  • Si {\Delta>0} : {\displaystyle\int\dfrac{\,\text{d}x}{(x+\alpha)^{2}-\beta^{2}}=\dfrac{1}{2\beta}\ln\Bigl|\dfrac{x+\alpha-\beta}{x+\alpha+\beta}\Bigr|+\lambda}
  • Si {\Delta=0} : {\displaystyle\int\dfrac{\,\text{d}x}{(x+\alpha)^{2}}=-\dfrac{1}{x+\alpha}+\lambda}
  • Si {\Delta\lt 0} : {\displaystyle\int\dfrac{\,\text{d}x}{(x+\alpha)^{2}+\beta^{2}}=\dfrac{1}{\beta}\arctan\dfrac{x+\alpha}{\beta}+\lambda}

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