Premières définitions

Plan du chapitre "Applications linéaires"

Notion d’application linéaire

Définition (applications linéaires d'un espace vectoriel dans un autre)
Soit {E} et {F} deux espaces vectoriels sur {\mathbb{K}}.
Une application {f} de {E} dans {F} est dite linéaire si : {\forall\, (u,v)\in E^2,\;\forall\,\lambda\in\mathbb{K},\;\begin{cases}f(u+v)=f(u)+f(v)&\cr f(\lambda u)=\lambda f(u)&\end{cases}}

On dit aussi que {f} est un morphisme d’espaces vectoriels.

Premières propriétés

{f:E\to F} est linéaire si et seulement si : {\forall\, (u,v)\in E^2,\,\forall\,(\alpha,\beta)\in\mathbb{K}^2,\,f(\alpha u+\beta v)=\alpha f(u)+\beta f(v)}
Si {f} est linéaire, alors {f\Bigl(\displaystyle\sum_{i\in I}\lambda_i\,u_i\Bigr)=\displaystyle\sum_{i\in I}\lambda_i\,f(u_i)} pour toute combinaison linéaire.
On exprime cette propriété en disant qu’une application linéaire “conserve les combinaisons linéaires”.

Si {f:E\to F} est linéaire, alors {f(0_E)=0_F} (utile pour montrer la non-linéarité).

Notations et terminologie

On note {\mathcal{L}(E,F)} l’ensemble des applications linéaires de {E} dans {F}.
Un endomorphisme de {E} est une application linéaire de {E} dans lui-même.
On note {\mathcal{L}(E)} (plutôt que {\mathcal{L}(E,E)}) l’ensemble des endomorphismes de {E}.

Un isomorphisme est une application linéaire bijective.
On dit qu’un isomorphisme de {E} dans lui-même est un automorphisme de {E}.
On dit qu’une application linéaire de {E} dans {\mathbb{K}} est une forme linéaire.

Premiers exemples d’applications linéaires

  • Soit {E} et {F} deux espaces vectoriels sur {\mathbb{K}}. L’application nulle de {E} dans {F} est linéaire.
  • Soit {E={\mathcal C}([a,b],\mathbb{K})} l’espace vectoriel des applications continues de {[a,b]} dans {\mathbb{K}}.
    L’application {f\to\varphi(f)=\displaystyle\int_a^bf(t)\text{d}t} est une forme linéaire sur l’espace {E}.
  • L’application {f\mapsto f'} est un endomorphisme de {E={\mathcal C}^\infty(I,\mathbb{R})}.
  • Les formes linéaires sur {\mathbb{K}^{n}} sont les applications {f\colon(x_1,x_2,\ldots,x_n)\to\displaystyle\sum_{k=1}^n\lambda_k\,x_k}.
  • Soit {f_{1},\ldots,f_{p}} des applications linéaires de {E} dans {F}.
    Alors l’application {u\mapsto f(u)=(f_{1}(u),\ldots,f_{p}(u))} est linéaire de {E} dans {F^{p}}.
    Par exemple, l’application {(x,y,z)\mapsto (2x-y+z,x-3y+2z)} est linéaire de {\mathbb{R}^{3}} dans {\mathbb{R}^{2}}.
    Plus généralement, tout application {f\colon(x_{1},\ldots,x_{n})\mapsto\Bigl(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}x_{k},\displaystyle\sum_{k=1}^{n}b_{k}x_{k},\displaystyle\sum_{k=1}^{n}c_{k}x_{k},\ldots\Bigr)} est linéaire.

Opérations sur les applications linéaires

Proposition (combinaisons linéaires d'applications linéaires)
Soit {E} et {F} deux espaces vectoriels sur {\mathbb{K}}.
Soit {f} et {g} deux applications linéaires de {E} dans {F}, et soit {\alpha,\beta} deux scalaires.
Alors l’application {\alpha f+\beta g} est linéaire de {E} dans {F}.
Il en résulte que {\mathcal{L}(E,F)} est un espace vectoriel sur {\mathbb{K}}.
Proposition (composition d'applications linéaires)
Soit {E}, {F} et {G} trois espaces vectoriels sur {\mathbb{K}}.
Si {f:E\to F} et {g:F\to G} sont linéaires, alors {g\circ f} est linéaire de {E} dans {G}.
Proposition (isomorphisme réciproque)
Soit {f} un isomorphisme de {E} sur {F}.
Sa bijection réciproque {f^{-1}} est un isomorphisme de {F} sur {E}.

Bilinéarité de la composition des applications linéaires

Soit {f,g,h} des applications linéaires, et soit {\alpha,\beta} des scalaires.
L’égalité {(\alpha f+\beta g)\circ h=\alpha\, f\circ h+\beta\, g\circ h} est toujours vraie (et cela n’utilise pas la linéarité).
L’égalité {h\circ (\alpha f+\beta g)=\alpha\, h\circ f+\beta\, h\circ g} est vraie (et cela utilise la linéarité de {h}).
On retiendra qu’entre applications linéaires, la composition {(f,g)\mapsto f\circ g} est “bilinéaire”.

Applications linéaires et sous-espaces vectoriels

Proposition (image d'un sous-espace par une application linéaire)
Soit {E} et {F} deux espaces vectoriels sur {\mathbb{K}}. Soit {f} une application linéaire de {E} dans {F}.
Si {E'} est un sous-espace vectoriel de {E}, alors {f(E')} est un sous-espace vectoriel de {F}.

Il y a un cas particulier important :

Définition (image d'une application linéaire)
Soit {E} et {F} deux espaces vectoriels sur {\mathbb{K}}. Soit {f} une application linéaire de {E} dans {F}.
Le sous-espace {f(E)=\{f(u),\; u\in E\}} de {F} est appelé image de {f}, et il est noté {\text{Im}(f)}.
Proposition (image réciproque d'un sous-espace par une application linéaire)
Soit {E} et {F} deux espaces vectoriels sur {\mathbb{K}}. Soit {f} une application linéaire de {E} dans {F}.
Si {F'} est un sous-espace vectoriel de {F}, alors {f^{-1}(F')} est un sous-espace vectoriel de {E}.

Il y a un cas particulier important :

Définition (noyau d'une application linéaire)
Soit {E} et {F} deux espaces vectoriels sur {\mathbb{K}}. Soit {f} une application linéaire de {E} dans {F}.
Le sous-espace {f^{-1}(\{0_{F}\})=\{u\in E,\;f(u)=0_{F}\}} de {E}, appelé noyau de {f}, est noté {\text{Ker}(f)}.

On peut parfois montrer qu’une partie d’un espace vectoriel en est un sous-espace vectoriel en l’interprétant comme le noyau ou l’image d’une application linéaire.

Proposition (caractérisation de l'injectivité par le noyau)
Soit {E} et {F} deux espaces vectoriels sur {\mathbb{K}}. Soit {f} une application linéaire de {E} dans {F}.
{f} est injective si et seulement si son noyau {\text{Ker}(f)} se réduit à {\{0_E\}}.
Autrement dit, {f} est injective si et seulement si : {\forall u\in E, f(u)=0_F\Rightarrow u=0_E}.

Sous-espace {E_\lambda(f)} des vecteurs {u} tels que {f(u)=\lambda u}

Soit {f} un endomorphisme de l’espace vectoriel {E}, et soit {\lambda} un scalaire.
Notons {E_\lambda(f)} l’ensemble des {u\in E} tels que {f(u)=\lambda u}. On a les équivalences : {f(u)=\lambda u\Leftrightarrow(f-\lambda\text{Id})(u)=0\Leftrightarrow u\in\text{Ker}(f-\lambda\text{Id})}
Ainsi {E_\lambda(f)=\text{Ker}(f-\lambda\text{Id})}, donc {E_\lambda(f)} est un sous-espace de {E}.

Il y a deux cas particuliers importants :

  • les vecteurs invariants par {f} : {\text{Inv}(f)=E_1=\text{Ker}(f-\text{Id})=\{u\in E,\;f(u)=u\}}
  • les vecteurs changés en leur opposé par {f} : {\text{Opp}(f)=E_{-1}=\text{Ker}(f+\text{Id})=\{u\in E,\;f(u)=-u\}}

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