Formes linéaires, hyperplans

Plan du chapitre "Applications linéaires"

Formes linéaires

Définition (formes linéaires sur un espace vectoriel)
Soit {E} un espace vectoriel sur {\mathbb{K}}.
On appelle forme linéaire sur {E} toute application linéaire de {E} dans {\mathbb{K}}.

Remarques et exemples

  • Si une forme linéaire {f} n’est pas identiquement nulle, alors elle est surjective (et donc de rang {1}).
  • L’application de {\mathbb{R}^{3}} dans {\mathbb{R}} définie par {f(x,y,z)=2x-3y+5z} est une forme linéaire sur {\mathbb{R}^{3}}.
  • L’application {\varphi:f\mapsto\displaystyle\int_a^bf(t)\,\text{d}t} est une forme linéaire sur {\mathcal{C}([a,b],\mathbb{K})}.
  • Soit {E={\mathcal F}(I,\mathbb{K})} l’espace des applications définies sur l’intervalle {I} et à valeurs dans {\mathbb{K}}
    Soit {x_0} un élément de {I}. L’application {\varphi:f\mapsto f(x_0)} est une forme linéaire sur {E}.
Définition (formes linéaires coordonnées)
Soit {E} un espace vectoriel sur {\mathbb{K}}. Soit {(e_{i})_{i\in I}} une base de {E}.
On sait que tout vecteur {u} de {E} s’écrit de façon unique {u=\displaystyle\sum_{i\in I}x_{i}e_{i}} (somme à support fini).
Pour tout {i} de {I}, on note {e_{i}^{*}} l’application qui au vecteur {u} associe sa coordonnée {x_{i}} sur le vecteur {e_{i}}.
Les applications {(e_{i}^{*})_{i\in I}} sont des formes linéaires sur {E}.
On les appelles les “formes linéaires coordonnées” sur {E} relativement à la base {(e_{i})_{i\in I}}.
Proposition (en dimension finie, les formes linéaires coordonnées forment une base)
Soit {E} un espace vectoriel sur {\mathbb{K}}, de dimension finie {n}. Soit {(e_{i})_{1\le i\le n}} une base de {E}.
Alors la famille {(e_{i}^{*})_{1\le i\le n}} des formes linéaires coordonnées est une base de {\mathcal{L}(E,\mathbb{K})}.

Soit {E} un espace de dimension finie {n}, muni d’une base {(e_{i})_{1\le i\le n}}. Soit {f} une forme linéaire sur {E}.
Alors {f} s’écrit, de manière unique : {f=\displaystyle\sum_{i=1}^na_i\,e_i^{*}}. Dans cette écriture on a {a_{i}=f(e_{i})}.
Autrement dit, {f} est définie de façon unique sous la forme : {f\Bigl(\displaystyle\sum_{i=1}^nx_i\,e_i\Bigr)=\displaystyle\sum_{k=1}^na_i\,x_i}.

Considérons ainsi {\mathbb{R}^{3}} avec sa base canonique {e_{1}=(1,0,0)}, {e_{2}=(0,1,0)}, {e_{3}=(0,0,1)}.

Les formes linéaires coordonnées sont définies par : {\forall\, (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3},\;\begin{cases}e_{1}^{*}(x,y,z)=x\\ e_{2}^{*}(x,y,z)=y\\ e_{3}^{*}(x,y,z)=z\end{cases}}

Les formes linéaires sur {\mathbb{R}^3} sont les applications {f=a e_{1}^{*}+be_{2}^{*}+ce_{3}^{*}}, où {(a,b,c)} est dans {\mathbb{R}^3}.

Ou encore : les formes linéaires sur {\mathbb{R}^3} sont les applications {(x,y,z)\mapsto ax+by+cz}.
Par exemple si {f} est définie par {f(x,y,z)=2x-3y+5z}, on a {\begin{cases}f(e_{1})=2\\ f(e_{2})=-3\\ f(e_{3})=5\end{cases}}

Hyperplans vectoriels

Définition (hyperplans d'un espace vectoriel)
Soit {E} un espace vectoriel sur {\mathbb{K}}. Soit {H} un sous-espace vectoriel de {E}.
On dit que {H} est un hyperplan de {E} s’il existe une forme linéaire non nulle {f} telle que {H=\text{Ker} f}.
Proposition (caractérisations des hyperplans)
Soit {E} un espace vectoriel sur {\mathbb{K}}. Soit {H} un sous-espace vectoriel de {E}.
Les conditions suivantes sont équivalentes :

  • le sous-espace {H} est un hyperplan de {E}.
  • pour toute droite vectorielle {D} non incluse dans {H}, on a {E=H\oplus D}.
  • il existe une droite vectorielle {D} non incluse dans {H}, telle que {E=H\oplus D}.

On dispose finalement de trois caractérisations des hyperplans de {E} :

  • les hyperplans de {E} sont les sous-espaces supplémentaires d’une droite vectorielle.
  • les hyperplans de {E} sont les noyaux des formes linéaires non nulles sur {E}.
  • si {\dim(E)=n\ge1}, les hyperplans de {E} sont les sous-espaces de dimension {n-1}.
Proposition (formes linéaires non nulles ayant le même noyau)
Soit {E} un espace vectoriel sur {\mathbb{K}}, et soit {f,g} deux formes linéaires non nulles sur {E}.
Alors {f} et {g} ont le même hyperplan noyau si et seulement si {f} et {g} sont proportionnelles.

Équations d’un hyperplan

Soit {H} un hyperplan de {E} et {f} est une forme linéaire non nulle telle que {H=\text{Ker}f}.

Alors l’égalité {f(x)=0} (où {x} est quelconque dans {E}) est appelée une équation de l’hyperplan {H}.

La propriété précédente dit que l’équation d’un hyperplan est unique à un facteur multiplicatif près :

Proposition (équation d'un hyperplan en dimension finie)
Soit {E} un espace de dimension {n\ge1}, muni d’une base {(e_{i})_{1\le i\le n}}. Soit {H} un hyperplan de {E}.
L’équation de {H} s’écrit {\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}x_{i}=0}, où les {x_{i}} sont les coordonnées d’un vecteur quelconque {u}.
Cette équation est unique à un facteur multiplicatif non nul près.

Hyperplans de {\mathbb{R}^{2}} et de {\mathbb{R}^{3}}

  • Les hyperplans de {\mathbb{R}^{2}} sont les droites vectorielles de {\mathbb{R}^{2}}.
    Si {\mathbb{R}^{2}} est muni d’une base {e_{1},e_{2}}, et si on note {(x,y)} les coordonnées d’un vecteur quelconque dans cette base, l’équation d’une droite {D} de {\mathbb{R}^{2}} s’écrit d’une manière unique (à un facteur multiplicatif non nul près) sous la forme {ax+by=0}, avec {(a,b)\ne(0,0)}.
    Sous cette forme, un vecteur directeur de {D} est {u=-be_{1}+ae_{2}}.
  • Les hyperplans de {\mathbb{R}^{3}} sont les plans vectoriels de {\mathbb{R}^{3}}.
    Si {\mathbb{R}^{3}} est muni d’une base {e_{1},e_{2},e_{3}}, et si on note {(x,y,z)} les coordonnées d’un vecteur {u} quelconque dans cette base, l’équation d’un plan {P} de {\mathbb{R}^{3}} s’écrit d’une manière unique (à un facteur multiplicatif non nul près) sous la forme {ax+by+cz=0}, avec {(a,b,c)\ne(0,0,0)}.
    Sous cette forme, et si par exemple {a\ne0}, une base de ce plan est {\begin{cases}u_{1}=-be_{1}+ae_{2}\cr u_{2}=-ce_{1}+ae_{3}\end{cases}}

Systèmes d’équations de sous-espaces vectoriels

Proposition (intersection de deux hyperplans dans un espace de dimension n)
Soit {E} un {\mathbb{K}}-espace vectoriel de dimension {n\ge1}.
Soit {H} et {K} deux hyperplans distincts de {E}. Alors {\dim(H\cap K)=n-2}.

Par exemple, l’intersection de deux plans distincts de {\mathbb{R}^{3}} est une droite vectorielle.

Proposition (intersection de m hyperplans dans un espace de dimension n)
Soit {E} un {\mathbb{K}}-espace vectoriel de dimension {n\ge1}.
On se donne {m} hyperplans {H_{1},H_{2},\ldots,H_{m}} de {E}. Alors {\dim\Bigl(\displaystyle\bigcap_{i=1}^{m}H_{i}\Bigr)\ge n-m}.

Un exemple

On se place dans {\mathbb{R}^{5}} muni de sa base canonique.

Soit {H_{1},H_{2},H_{3}} les hyperplans d’équations respectives : (S)\;{\left\{\begin{array}{rrrrrrrrrrr}x_1&-&2x_2&+&3x_3&-&x_4&+&x_5&=&0\\2x_1&-&x_2&+&x_3&+&x_4&-&x_5&=&0\\x_1&+&2x_2&-&2x_3&-&x_4&+&3x_5&=&0\end{array}\right.}

Soit {F=H_{1}\cap H_{2}\cap H_{3}}. D’après la proposition précédente {\dim(F)\ge 5-3=2}.

Pour déterminer {F}, on applique la méthode du pivot au système {(S)}.

En appliquant l’opération {\begin{cases}\text{L}_2\leftarrow\text{L}_2-2\text{L}_1\\ \text{L}_3\leftarrow\text{L}_3-\text{L}_1\end{cases}} on trouve : {(S)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{rrrrrrrrrrrl}x_1&-&2x_2&+&3x_3&-&x_4&+&x_5&=&0\\&&3x_2&-&5x_3&+&3x_4&-&3x_5&=&0\\&&4x_2&-&5x_3&&&+&2x_5&=&0\end{array}\right.}

En appliquant au résultat l’opération {\begin{cases}\text{L}_1\leftarrow3\text{L}_1+2\text{L}_2\\ \text{L}_3\leftarrow3\text{L}_3-4\text{L}_2\end{cases}}, on troue : {(S)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{rrrrrrrrrrrl}3x_1&&-&x_3&+&3x_4&-&3x_5&=&0\\&3x_2&-&5x_3&+&3x_4&-&3x_5&=&0\\&&&5x_3&-&12x_4&+&18x_5&=&0\end{array}\right.}

Après les opérations {\begin{cases}\text{L}_1\leftarrow5\text{L}_1+\text{L}_3\\ \text{L}_2\leftarrow\text{L}_2+\text{L}_3\end{cases}}, on trouve : {(S)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{rrrrrrrrrrrl}15x_1&&&+&3x_4&+&3x_5&=&0\\&3x_2&&-&9x_4&+&15x_5&=&0\\&&5x_3&-&12x_4&+&18x_5&=&0\end{array}\right.}

On a donc les équivalences : {\begin{array}{l}u=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})\in F\\\\\Leftrightarrow\Bigl(x_1=-\dfrac15(x_4+x_5),\;x_2=3x_4-5x_5,\;x_3=\dfrac15(12x_4-18x_5)\\\\\Leftrightarrow u=(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)=\dfrac{x_4}5(-1,15,12,5,0)-\dfrac{x_5}5(1,25,18,0,-5)\end{array}}
Dans cette expression, les composantes {x_{4}} et {x_{5}} sont arbitraires.

Ainsi {F} est le plan de {\mathbb{R}^{5}} engendré par les deux vecteurs indépendants {\begin{cases}u_{1}=(-1,15,12,5,0)\cr u_{2}=(1,25,18,0,-5)\end{cases}}

Voici un résultat qui énonce la réciproque de la proposition précédente.

Proposition
Soit {E} un {\mathbb{K}}-espace vectoriel de dimension {n\ge1}.
Soit {F} un sous-espace de {E}, de dimension {m}, avec {0\le m\le n-1}.
Alors {F} peut s’écrire comme l’intersection de {n-m} hyperplans de {E}.

Système d’équations cartésiennes d’un sous-espace vectoriel

Si {\dim(F)=m\le n-2}, c’est-à-dire si {F} n’est pas lui-même un hyperplan de {E}, l’écriture de {F} comme intersection de {n-m} hyperplans est loin d’être unique.
Soit {F=\displaystyle\bigcap_{i=1}^{n}H_{i}} une telle écriture du sous-espace {F}.
Si on munit {E} d’une base {(e_{i})_{1\le i\le n}}, chaque hyperplan {H_{i}} est défini par une équation cartésienne {(E_{i})} définie elle-même de façon unique à un facteur multiplicatif non nul près.
Le système formé par ces {n-m} équations est appelé un “système d’équations” de {F}.

Un exemple

On se place dans {\mathbb{R}^{4}} muni de sa base canonique.
Soit {F} le plan de {\mathbb{R}^{4}} engendré par les deux vecteurs {\begin{cases}v_{1}=(1,-1,2,1)\cr v_{2}=(1,1,3,-2)\end{cases}}

On va écrire {F} comme l’intersection de {n-m} hyperplans, avec ici {n-m=4-\dim(F)=4-2=2}.

Soit {u=(x,y,z,t)} un vecteur quelconque de {\mathbb{R}^{4}}.

Dire que {u} est dans {F}, c’est dire que la famille {(v_{1},v_{2},u)} est de rang {2}.

On procède par opérations élémentaires (elles ne modifient pas le rang d’une famille de vecteurs) : {\begin{array}{l}\left(\begin{array}{rr|l}1&1&\,x\\-1&1&\,y\\2&3&\,z\\1&-2&\,t\end{array}\right)\begin{array}{c}\Rightarrow\\\text{L}_2\leftarrow\text{L}_2+\text{L}_1\\\text{L}_3\leftarrow\text{L}_3-2\text{L}_1\\\text{L}_4\leftarrow\text{L}_4-\text{L}_1\end{array}\left(\begin{array}{rr|c}1&1&\,x\\0&2&\,x+y\\0&1&\,-2x+z\\0&-3&\,-x+t\end{array}\right)\\\\\begin{array}{c}~\\\Rightarrow\\\text{L}_3\leftarrow2\text{L}_3-\text{L}_1\\\text{L}_4\leftarrow2\text{L}_4+3\text{L}_1\end{array}\left(\begin{array}{rr|c}1&1&\,x\\0&2&\,x+y\\0&0&\,-5x-y+2z\\0&0&\,x+3y+2t\end{array}\right)\end{array}}
Les deux premiers vecteurs obtenus sont indépendants et leurs coefficients sont “échelonnés”.
Dire que la famille obtenue est de rang {2}, c’est dire qu’on a {\begin{cases}-5x-y+2z=0\\x+3y+2t=0 \end{cases}}

On a ainsi obtenu un système d’équations de {F}.

Page précédente : détermination des applications linéaires
Retour au début : premières définitions