Endomorphismes

Plan du chapitre "Applications linéaires"

Structure d’anneau de {(\mathcal{L}(E),+,\circ)}

L’application identité, notée {\text{Id}_E}, définie par {\text{Id}_{E}(u)=u} pour tout {u}, est un automorphisme de {E}.
Si {f} et {g} sont deux endomorphismes de {E}, alors {g\circ f} est un endomorphisme de {E}.
Il en résulte que {(\mathcal{L}(E),+,\circ)} est muni d’une structure d’anneau.

On note souvent {gf} la composée des endomorphismes {g} et {f}, plutôt que {g\circ f}.

Si {f\in(\mathcal{L}(E)}, on note {f^n=f\circ f\circ\cdots\circ f} ({n} fois), avec par convention {f^{0}=\text{Id}_{E}}.

Homothéties d’un espace vectoriel

Pour tout scalaire {\lambda}, l’application {h_\lambda:~u\to\lambda u} est un endomorphisme de {E}.
Pour tous scalaires {\lambda,\mu}, on a {h_{\lambda}\circ{h_\mu}=h_{\lambda\mu}}.
L’application {h_{\lambda}} un automorphisme si {\lambda\ne0}, et alors {h_{\lambda}^{-1}=h_{1/\lambda}}.
Si {\lambda\ne0}, on dit que {h_{\lambda}} est l’homothétie de rapport {\lambda}.

Endomorphismes qui commutent

Soit {E} un espace vectoriel sur {\mathbb{K}}.

Si {E} est réduit à {\{0\}}, alors {\mathcal{L}(E)} est réduit à l’application nulle (sans grand intérêt). Si {E} est une droite vectorielle, alors {\mathcal{L}(E)} se réduit à l’application nulle et aux homothéties de {E} (et la loi {\circ} est commutative).

Dans tous les autres cas, donc dès que {\dim(E)\ge2}, l’anneau {(\mathcal{L}(E),+,\circ)} est non commutatif (autrement dit : il existe des endomorphismes {f} et {g} tels que {f\circ g\ne g\circ f}).

On dit que deux endomorphismes {f,g} de {E} commutent si {f\circ g=g\circ f}.

Les homothéties {h_{\lambda}:u\mapsto \lambda u} de {E} commutent avec tous les endomorphismes de {E}.

Si {f} et {g} commutent dans {\mathcal{L}(E)}, on peut utiliser la formule du binôme : {\forall n\in\mathbb{N},\;(f+g)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n\dbinom nk f^k\circ g^{n-k}}

En particulier, pour tout {f\in\mathcal{L}(E)} et tout {\lambda\in\mathbb{K}}, on a : {\forall n\in\mathbb{N},\;(f+\lambda\text{Id}_{E})^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n\dbinom nk \lambda^{n-k}f^k}

Le groupe linéaire {(GL(E),\circ)}

Si {f} et {g} sont des automorphismes de {E}, alors {f^{-1}} et {g\circ f} sont encore des automorphismes de {E}.
On note {GL(E)} l’ensemble des automorphismes de {E}.
C’est un groupe pour la loi de composition, appelé le « groupe linéaire de {E} ».
Le groupe {GL(E)} est le groupe des éléments inversibles de l’anneau {(\mathcal{L}(E),+,\circ)}.
Ce groupe est non commutatif dès que {\dim(E)\ge2}.

Projections et symétries vectorielles

Définition (projections et symétries vectorielles)
Soit {F} et {G} deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de {E}.
On sait que pour tout {u} de {E}, il existe un unique {(v,w)} de {F\times G} tel que {u=v+w}.
L’application {p:u\to p(u)=v} est appelée projection sur {F}, parallèlement à {G}.
L’application {s:u\to s(u)=v-w} est appelée symétrie par rapport à {F}, parallèlement à {G}.

Propriétés

On garde ici les notations de la définition précédente.

L’application {p} est dans {\mathcal{L}(E)} et vérifie {p\circ p=p}. On a {F=\text{Im}(p)=\text{Inv}(p)} et {G=\text{Ker}(p)}.

L’application {s} est un automorphisme de {E}. On a {s\circ s=\text{Id}_{E}}, donc {s^{-1}=s} (application involutive).

On a la relation {s=2p-\text{Id}_{E}}, qui s’écrit encore {p=\dfrac12(s+\text{Id}_{E})}.

On a {F=\text{Inv}(s)} (vecteurs invariants) et {G=\text{Opp}(s)} (vecteurs changés en leur opposé).

Soit {p'} la projection sur {G} parallèlement à {F}, et {s'} la symétrie par rapport à {G} parallèlement à {F}.

Alors on a les relations : {\begin{cases}p+p'=\text{Id}_{E},\quad p\circ p'=p'\circ p=0\cr s+s'=0,\quad s\circ s'=s'\circ s=-\text{Id}_{E}\end{cases}}

Quelques cas très particuliers

On considère la somme directe {E=E\oplus\{0\}}.
La projection sur {E} parallèlement à {\{0\}} est l’application {\text{Id}_E}.
C’est le seul cas où une projection vectorielle est injective.

La projection sur {\{0\}} parallèlement à {E} est l’application nulle.

La symétrie par rapport à {E} parallèlement à {\{0\}} est l’application {\text{Id}_E}.
La symétrie par rapport à {\{0\}} parallèlement à {E} est l’application {-\text{Id}_E}.

Définition (projecteur d'un espace vectoriel)
Soit {E} un espace vectoriel sur {\mathbb{K}}.
On appelle projecteur de {E} tout endomorphisme {p} de {E} tel que {p\circ p=p}.

On sait déjà qu’une projection vectorielle est un projecteur, mais la réciproque est vraie :

Proposition (équivalence entre projecteur et projection vectorielle)
Si {p} est un projecteur de l’espace vectoriel {E}, on a : {E=\text{Ker}(p)\oplus\text{Im}(p)}.
L’application {p} est alors la projection vectorielle sur {\text{Im}(p)} parallèlement à {\text{Ker}(p)}.

On sait déjà qu’une symétrie vectorielle est involutive, mais la réciproque est vraie :

Proposition (équivalence entre endomorphisme involutif et symétrie vectorielle)
Si {s} est un endomorphisme involutif de {E}, donc si {s\circ s=\text{Id}_{E}}, on a : {E=\text{Inv}(s)\oplus\text{Opp}(s)}.
L’application {s} est alors la symétrie vectorielle par rapport à {\text{Inv}(s)} parallèlement à {\text{Opp}(s)}.

Remarque importante

Si {f} est un endomorphisme de {E}, beaucoup de choses sont possibles entre {\text{Im}(f)} et {\text{Ker}(f)}.
Par exemple l’inclusion {\text{Im}(f)\subset\text{Ker}(f)} équivaut à {f\circ f=0}.

En particulier, on n’interprétera pas abusivement la propriété {E=\text{Ker}(f)\oplus\text{Im}(f)}.
On montre en fait (et ça n’équivaut pas à {f^2=f}) que : {E=\text{Ker}(f)\oplus\text{Im}(f)\Leftrightarrow\begin{cases}\text{Ker}(f^2)=\text{Ker}(f)&\cr\text{Im}(f^2)=\text{Im}(f)&\end{cases}}

Page précédente : premières définitions
Page suivante : détermination des applications linéaires