Détermination des applications linéaires

Plan du chapitre "Applications linéaires"

Applications linéaires et familles de vecteurs

Proposition (applications linéaires et familles génératrices)
Soit {E} et {F} deux espaces vectoriels sur {\mathbb{K}} et {f} une application linéaire de {E} dans {F}.
Soit {(u_i)_{i\in I}} une famille génératrice de {E}. Alors {(f(u_i))_{i\in I}} est génératrice dans {\text{Im}(f)}.
En particulier, si {f} est surjective, alors la famille {(f(u_i))_{i\in I}} est génératrice dans {F}.

Une application linéaire surjective transforme donc une famille génératrice en une famille génératrice.

Proposition (applications linéaires et familles libres)
Soit {E} et {F} deux espaces vectoriels sur {\mathbb{K}} et soit {f} une application linéaire de {E} dans {F}.
Soit {(u_i)_{i\in I}} une famille d’éléments de {E}.
Si la famille {(u_i)_{i\in I}} est liée, alors la famille {(f(u_i))_{i\in I}} est liée.
Si la famille {(u_i)_{i\in I}} est libre et si {f} est injective, alors la famille {(f(u_i))_{i\in I}} est libre.

Une application linéaire injective transforme donc une famille libre en une famille libre.

Proposition (image d'une base par un isomorphisme)
Soit {E} et {F} deux espaces vectoriels sur {\mathbb{K}} et soit {f} un isomorphisme de {E} sur {F}.
Soit {(u_i)_{i\in I}} une base de {E}. Alors la famille {(f(u_i))_{i\in I}} est une base de {F}.

Une application linéaire bijective transforme donc une base en une base.
On peut finalement énoncer un résultat plus général, qui indique qu’une application linéaire {f} est déterminée de manière unique par les images des vecteurs d’une base.
De plus les propriétés de la famille image renseignent sur les propriétés de {f} (injectivité, surjectivité) :

Proposition (applications linéaires et bases)
Soit {E} et {F} deux espaces vectoriels sur {\mathbb{K}}, {E} étant muni d’une base {(e_i)_{i\in I}}.
Soit {(v_i)_{i\in I}} une famille quelconque de vecteurs de {F}.
Alors il existe une unique application linéaire {f} de {E} dans {F} telle que : {\forall\, i\in I, f(e_i)=v_i}.

  • l’application {f} est injective si et seulement si la famille {(v_i)_{i\in I}} est libre dans {F}.
  • l’application {f} est surjective si et seulement si {(v_i)_{i\in I}} est génératrice dans {F}.
  • l’application {f} est bijective si et seulement si la famille {(v_i)_{i\in I}} est une base de {F}.

On retiendra en particulier :

Soit {f=E\to F} une application linéaire.
Alors {f} est un isomorphisme si et seulement si {f} transforme une base de {E} en une base de {F}.
Elle transforme alors toute base de {E} en une base de {F}.

Restrictions aux sous-espaces d’une somme directe

Soit {(E_{i})_{1\le i\le n}} une famille de sous-espaces de {E} telle que {E=\displaystyle\bigoplus_{i=1}^{n}E_{i}}.

  • Soit {f} une application linéaire de {E} dans un espace vectoriel {F}.

    Pour tout {i} de {\{1,\ldots,n\}}, soit {f_{i}} la restriction de {f} à {E_{i}} (c’est un élément de {\mathcal{L}(E_{i},F)}).

    Si {u=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}u_{i}} (avec {u_{i}\in E_{i}}), on a {f(u)=f\Bigl(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}u_{i}\Bigr)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}f(u_{i})}, c’est-à-dire {f(u)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}f_{i}(u_{i})}.

    Ainsi, connaître la restriction de {f} à chaque {E_{i}} permet de “reconstruire” {f} de manière unique.

  • Réciproquement, pour tout {i} de {\{1,\ldots,n\}} on se donne {\varphi_{i}} linéaire de {E_{i}} dans {F}.
    Alors il existe une et une seule application linéaire de {E} dans {F} telle que {f_{\mid E_{i}}=\varphi_{i}} pour tout {i}.
    Toujours avec la notation {u=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}u_{i}}, cette application {f} est définie par {f(u)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\varphi_{i}(u_{i})}.

Isomorphismes et dimensions

En dimension finie, les résultats précédents ont une conséquence immédiate et importante :

Proposition (conservation de la dimension par isomorphisme)
Soit {E} et {F} deux espaces vectoriels sur {\mathbb{K}} et soit {f} un isomorphisme de {E} sur {F}.
Si {E} est de dimension finie, alors {F} est de dimension finie et on a {\dim(F)=\dim(E)}.

Plus généralement, la proposition suivante indique que la notion de dimension permet d’effectuer une véritable classification des espaces de dimension finie.

Proposition (espaces isomorphes à un espace de dimension finie)
Soit {E} et {F} deux espaces vectoriels sur {\mathbb{K}}, {E} étant de dimension finie.
On dit que {E} et {F} sont isomorphes s’il existe un isomorphisme de {E} sur {F}.
Alors {E} et {F} sont isomorphes si et seulement si {F} est de dimension finie et {\dim(F)=\dim(E)}.

Isomorphisme défini par les images des vecteurs d’une base

Soit {E} et {F} deux espaces vectoriels de même dimension {n\ge1}.

Soit {(e_{i})_{1\le i\le n}} une base de {E}, et soit {(\varepsilon_{i})_{1\le i\le n}} une base de {F}.
L’isomorphisme {f} de {E} sur {F} qui tranforme chaque {e_{i}} en {\varepsilon_{i}} est défini par : {f\Bigl(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}e_{i}\Bigr)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}\varepsilon_{i}}
Autrement dit, {f} est l’application qui envoie un vecteur {u} de {E} sur le vecteur {v} de {F} qui a (dans la base {(\varepsilon_{i})_{1\le i\le n}}) les mêmes coordonnées que {u} dans la base {(e_{i})_{1\le i\le n}}.

Importance de l’espace vectoriel {\mathbb{K}^n}

Tout {\mathbb{K}}-espace vectoriel {E} de dimension {n\ge1}, est isomorphe à {\mathbb{K}^n}.
Si {(u_{i})_{1\le i\le n}} est une base de {E}, alors {\varphi\colon(x_1,\ldots,x_n)\mapsto\displaystyle\sum_{k=1}^nx_i\,u_i} est un isomorphisme de {\mathbb{K}^n} sur {E}.
Ainsi {\mathbb{K}^n} est l’exemple-type du {\mathbb{K}}-espace de dimension {n}, sa base canonique étant la plus “naturelle”.

La dimension de l’espace {\mathcal{L}(E,F)}

Soit {E} un espace vectoriel de dimension {n} et soit {(e_{i})_{1\le i\le n}} une base de {E}.
Soit {F} un espace vectoriel quelconque (donc pas forcément de dimension finie).

Soit {\varphi} l’application définie sur {\mathcal{L}(E,F)} par {\varphi(f)=(f(e_{1}),f(e_{2}),\ldots,f(e_{n}))}.
Alors {\varphi} est un isomorphisme de {\mathcal{L}(E,F)} sur {F^{n}}.

Dans le cas où {F} est lui-même de dimension finie, on en déduit le résultat suivant :

Proposition (dimension de l'espace L(E,F))
Soit {E} et {F} deux espaces vectoriels de dimension finie.
Alors {\mathcal{L}(E,F)} est de dimension finie. Plus précisément : {\dim(\mathcal{L}(E,F))=\dim(E)\dim(F)}.

Applications linéaires de rang fini

Définition (application linéaire de rang fini)
Soit {f} une application linéaire de {E} dans {F}.
On dit que {f} est de rang fini si {\text{Im}(f)} est un sous-espace de dimension finie de {F}.
Si cette condition est réalisée, on dit que {\dim(\text{Im}(f))} est le rang de {f} (et on le note {\text{rg}(f)}).

La condition précédente est automatiquement réalisée si {F} est de dimension finie {p}.
En effet {\text{Im}(f)} est un sous-espace {F}, donc {\text{rg}(f)=\dim(\text{Im}(f))\le p}.
On a {\text{rg}(f)=\dim(F)} si et seulement si {\text{Im}(f)=F}, c’est-à-dire si et seulement si {f} est surjective.

Invariance du rang par composition par un isomorphisme

Soit {E_{1},\,E_{2},\,E_{3},\,E_{4}} des espaces vectoriels sur {\mathbb{K}}.
Soit {\varphi} un isomorphisme de {E_{1}} sur {E_{2}}, et soit {\Psi} un isomorphisme de {E_{3}} sur {E_{4}}.
Soit {f} une application linéaire de {E_{2}} dans {E_{3}}, de rang fini.
Alors {f\circ\varphi} et {\psi\circ f} sont également de rang fini, et : {\text{rg}(f\circ\varphi)=\text{rg}(\psi\circ f)=\text{rg}(f)}.

Le théorème du rang et ses conséquences

Le résultat suivant est très (très!) important :

Proposition (théorème du rang)
Soit {f} une application linéaire de {E} dans {F}. On suppose que {E} est de dimension finie.
Soit {S} un supplémentaire de {\text{Ker}(f)} dans {E}. Alors {f} induit un isomorphisme de {S} sur {\text{Im}(f)}.
Il en résulte que {\text{Im}(f)} est un sous-espace de dimension finie de {F} (ou encore : {f} est de rang fini).
Mais plus précisément, on a l’égalité : {\dim(E)=\text{rg}(f)+\dim(\text{Ker}(f))}.

On voit que {\text{rg}(f)\le\dim(E)} avec égalité si et seulement si {f} est injective.

On pourra interpréter ce résultat en disant qu’une application linéaire “ne crée pas de dimension”. Tout au plus, elle “conserve la dimension” si elle est injective.

Les notions de rang d’une application linéaire et de rang d’une famille de vecteurs se rejoignent.

En effet, si {f:E\to F} est linéaire, si {e_1,e_2,\ldots,e_n} est une base de {E}, alors {\text{rg}(f)=\text{rg}(f(e_1),\ldots,f(e_n))}.

Proposition (caractérisation des isomorphismes en cas de dimensions égales)
Soit {E} et {F} deux espaces vectoriels de même dimension {n}.
Soit {f} une application linéaire de {E} dans {F}.
Alors on a les équivalences : {f} est un isomorphisme {\Leftrightarrow} {f} est injective {\Leftrightarrow} {f} est surjective.

On sait que pour montrer qu’une application linéaire {f} est bijective, une possibilité est d’exhiber un isomorphisme réciproque, c’est-à-dire une application linéaire {g} telle que {g\circ f=f\circ g=\text{Id}}.

On sait également que la composition des applications linéaires n’est pas commutative, donc qu’il faut a priori vérifier les deux égalités {g\circ f=\text{Id}} et {f\circ g=\text{Id}}.

On va voir qu’une seule de ces deux égalités est suffisante si {E} et {F} sont de même dimension finie, et notamment si {f} est un endomorphisme d’un espace de dimension finie.

Définition (inversibilité à gauche ou à droite)
Soit {E,F} deux espaces vectoriels quelconques, et soit {f} une application linéaire de {E} dans {F}.
On dit que {f} est “inversible à gauche” s’il existe {g:F\to E}, linéaire, telle que {g\circ f=\text{Id}_{E}}.
On dit que {f} est “inversible à droite” s’il existe {h:F\to E}, linéaire, telle que {f\circ h=\text{Id}_{F}}.

Il est clair que si {f} est inversible à gauche (resp. à droite) elle est injective (resp. surjective).
Si {f} est inversible à gauche \underline{et} à droite, alors {f} est un isomorphisme de {E} sur {F}, et (avec les notations précédentes) on a les égalités {g=h=f^{-1}}.

Proposition (équivalence entre inversibilité à droite et à gauche en même dimension)
Soit {E, F} deux espaces vectoriels de même dimension finie. Soit {f:E\to F}, linéaire.
Alors {f} est inversible à gauche si et seulement si elle est inversible à droite.

On retiendra que pour montrer qu’un endomorphisme {f} d’un espace {E} de dimension finie est un automorphisme de {E}, il suffit de vérifier l’une des deux égalités {g\circ f=\text{Id}_{E}} ou {f\circ g=\text{Id}_{E}} (l’autre étant alors automatiquement vérifiée, et on a alors {g=f^{-1}}).

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