Puissances à exposants entiers ou rationnels

Plan du chapitre "Techniques d'analyse"

Exposants entiers relatifs

Pour tout {x} de {\mathbb{C}} et tout {n} de {\mathbb{N}}, on définit par récurrence les puissances {x^n} :
{\begin{cases}x^0=1\cr \forall\, n\in \mathbb{N},\;x^{n+1}=x^n\,x\end{cases}}
Ainsi : {\forall\, n\in\mathbb{N},\,1^n=1}, et {\forall\, n\in\mathbb{N}^*,\,0^n=0}.
Pour tout {x} non nul, et pour tout entier {n\lt 0}, on pose {x^n=(x^{-n})^{-1}}.
On connait donc le sens de {x^n}, pour tout {x} de {\mathbb{C}} et tout {n} de {\mathbb{Z}} (avec {x\ne0} si {n\lt 0}).

Proposition (propriétés des exposants relatifs)
Pour tous {x,y} de {\mathbb{C}}, pour tous {n,p} de {\mathbb{Z}} (sous réserve d’existence en cas d’exposants négatifs) :
{(xy)^n=x^n\,y^n,\ x^n\,x^p=x^{n+p},\ (x^n)^p=x^{np},\ \dfrac1{x^n}=x^{-n},\ \dfrac{x^n}{x^p}=x^{n-p}}

On en vient aux variations de {x\mapsto x^{m}} sur {\mathbb{R}} (si {m} est dans {\mathbb{N}}) ou sur {\mathbb{R}^{*}} (si {m} est dans {\mathbb{Z}^{-*}}).

L’application {x\to x^m} est paire si {m} est pair, et impaire si {m} est impair.

Sur {\mathbb{R}^{+*}}, elle est {\begin{cases}\text{strictement croissante si\ }m>0\cr\text{strictement décroissante si\ }m\lt 0\cr\text{constante (valeur 1) si\ }m=0\end{cases}}

Le tableau ci-après indique ce que devient l’inégalité {x\lt y} par élévation à la puissance {m-}ième.

{\begin{array}{|c||c|c|c|c|}~ & m>0, \text{pair}& m>0, \text{impair}&~m\lt 0, \text{pair}&~m\lt 0,\text{impair}\cr 0\lt x\lt y\Rightarrow & 0\lt x^m\lt y^m & 0\lt x^m\lt y^m & 0\lt y^m\lt x^m & 0\lt y^m\lt x^m\cr x\lt y\lt 0\Rightarrow & 0\lt y^m\lt x^m & x^m\lt y^m\lt 0 & 0\lt x^m\lt y^m & y^m\lt x^m\lt 0\end{array}}

Racine {n}-ième d’un réel positif

Proposition (racine n-ième réelle positive, d'un réel positif)
Soit {n} un entier strictement positif. Soit {a} un réel positif (ou nul).
Il existe un unique réel positif ou nul {x} tel que {x^{n}=a}. On le note {\sqrt[n]{a}}, ou encore {a^{1/n}}.
Ce réel {x} est appelée est la racine {n}-ième positive du réel positif {a}.

Remarques

  • Si {n=2}, on note {\sqrt{a}} (plutôt que {\sqrt[2]{a}}) l’unique {x} de {\mathbb{R}^{+}} tel que {x^{2}=a}.

  • Par exemple, l’unique réel {x} tel que {x^{3}=8} est {x=2}. Donc {\sqrt[3]{8}=8^{1/3}=2}.
    L’unique réel {x} tel que {x^{3}=-8} est {x=-2},
    mais on n’écrira pas {\sqrt[3]{-8}=-2} ou {(-8)^{1/3}=-2}.
    Citons le programme de la classe de MPSI : les fonctions puissances sont définies sur {\mathbb{R}^{+*}} et prolongées en 0 le cas échéant. Seules les fonctions puissances entières sont en outre définies sur {\mathbb{R}^{-*}}.

Attention! (cas des nombres complexes)

Les remarques suivantes peuvent être passées en première lecture.

  • On n’a parlé ici que de {x=\sqrt[n]{a}}, ou {x=a^{1/n}} ({n} dans {\mathbb{N}^{*}}), avec {a} et {x} dans {\mathbb{R}^{+}}.
    Le problème précédent (trouver {x} tel que {x^{n}=a}) est très différent dans {\mathbb{C}} (voir chapitre 3).
  • Par exemple, si {a} est dans {\mathbb{C}} (et {a\ne0}), l’équation {x^{2}=a} possède exactement deux solutions distinctes et opposées dans {\mathbb{C}}, qu’on appelle les deux racines carrées complexes de {a}.

    Les deux racines carrées complexes de {5} sont {x=\sqrt{5}} et {x=-\sqrt{5}} (elles sont réelles!).
    De même, les deux racines carrées complexes de {-1} sont {x=i} et {x=-i}.
    Enfin les deux racines carrées complexes de {2i} sont {x=1+i} et {x=-1-i}.

    Comme il n’y a aucun moyen objectif et sûr de choisir entre les deux racines carrées de {a} (dans le cas général) on n’écrira jamais {\sqrt{a}} (sauf si {a} est dans {\mathbb{R}^{+}}, où {\sqrt{a}} désigne la racine carrée positivede {a}).

    Par exemple, les notations {\sqrt{-1}}, ou encore {\sqrt{2i}}, sont interdites!

  • Plus généralement l’équation {x^{n}=a} (où {a} est un nombre complexe non nul) possède exactement {n} solutions dans {\mathbb{C}} (distinctes et non nulles).

    Par exemple les trois solutions de {x^{3}=8} sont {x=2}, {x=-1+i\sqrt3} et {x=-1-i\sqrt3}.
    Les trois solutions de {x^{3}=8i} sont {x=-2i}, {x=\sqrt3+i} et {x=\sqrt3-i}.
    La notation {\sqrt[3]{8}} désigne {2}, mais il est hors de question d’écrire {\sqrt[3]{8i}}.

Exposants rationnels

Définition (puissances rationnelles d'un nombre réel)
Soit {r} un nombre rationnel, écrit sous la forme {r=p/q} (avec {p} dans {\mathbb{Z}} et {q} dans {\mathbb{N}^{*}}).
On pose {x^{r}=\bigl(x^{1/q}\bigr)^p}. Le domaine de définition de {x\mapsto x^{r}} est : {\mathbb{R}^+} si {p\ge0}, et {\mathbb{R}^{+*}} si {p\lt 0}.

Remarque : la valeur {x^{r}} est indépendante de l’écriture choisie pour {r=\dfrac{p}{q}}, dans la mesure où {q>0}.

Propriétés

  • Les relations sur les fonctions puissances sont encore valables avec des exposants rationnels.
    Ainsi, pour {r,s} dans {\mathbb{Q}}, on a les identités :
    {(xy)^r=x^r\,y^r,\;x^r\,x^s=x^{r+s},\;(x^r)^s=x^{rs},\;\dfrac1{x^r}=x^{-r},\;\dfrac{x^r}{x^s}=x^{r-s}}
  • Ci-dessous, on voit les différentes représentations graphiques. On retiendra notamment que {x^{r}} et {x^{s}} sont dans le même ordre que {r} et {s} quand {x>1}, et dans l’ordre contraire si {0\lt x\lt 1}.
  • La généralisation “ultime” de la notation {x^{\alpha}} est {x^{\alpha}=\text{e}^{\alpha\ln x}}.
    Mais cette généralisation suppose connue les fonctions {t\mapsto \text{e}^{t}} et {t\mapsto\ln t} (à suivre…)

Courbes {y=x^{r}} :

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