Propriétés de la relation d’ordre dans ℝ

Plan du chapitre "Techniques d'analyse"

Existence d’une relation d’ordre total sur {\mathbb{R}}

Proposition (propriétés de la relation d'ordre sur ℝ)
L’ensemble {\mathbb{R}} est muni d’une relation d’ordre notée {\le}.
Cette relation vérifie les propriétés suivantes :

  • ordre total : pour tous {x,y} de {\mathbb{R}}, on a : {x\le y} ou {y\le x}.
  • compatibilité avec l’addition : {\forall\,(x,y,z)\in\mathbb{R}^3,\;x\le y\Rightarrow x+z\le y+z}.
  • et avec le produit par un réel positif : {\forall\,(x,y)\in\mathbb{R}^2,\;\forall z\in\mathbb{R}^+,\;(x\le y)\Rightarrow xz\le yz}.

Relation d’ordre contraire, inégalités strictes

  • La relation d’ordre contraire de la précédente, définie par {x\ge y}, équivaut à {y\le x}.
    On utilise plus souvent {\le} que {\ge} dans les calculs, mais essentiellement {\le} dans les définitions et propriétés (sachant qu’à toute propriété relative à {\le} correspondant une propriété relative à {\ge}).
  • On définit les inégalités strictes : {\begin{cases}\;x\lt y\text{\ équivaut à\ }(x\le y\;\text{et}\; x\ne y)\cr\;x>y\text{\ équivaut à\ }y\lt x\end{cases}}

    On rappelle que les relations {\lt } et {>} ne définissent pas des relations d’ordre, car elles ne sont pas réflexives (on n’a jamais {x\lt x}.

Cas des ensembles {\mathbb{N}}, {\mathbb{Z}} et {\mathbb{Q}}

On peut restreindre la relation d’ordre de {\mathbb{R}} à chacun des ensembles {\mathbb{N}}, {\mathbb{Z}}, ou {\mathbb{Q}} (et considérer alors qu’il s’agit d’une relation d’ordre total sur chacun de ces trois ensembles).

Pour ce qui est de {\mathbb{N}} et {\mathbb{Z}}, on dispose de propriétés importantes :

  • Toute partie non vide de {\mathbb{N}} possède un élément minimum ({0} est le minimum de {\mathbb{N}}).
  • Toute partie minorée non vide de {\mathbb{Z}} possède un élément minimum.
  • Toute partie majorée non vide de {\mathbb{N}}, ou de {\mathbb{Z}}, possède un élément maximum.
  • Si {x} et {y} sont dans {\mathbb{Z}}, on a l’équivalence : {x\le y\Leftrightarrow(\exists\, n\in\mathbb{N},\;y=x+n)}.

Les propriétés précédentes sont fausses pour l’ensemble {\mathbb{Q}} (démontrez-le).

Définition ”(notations etc.”)]
On pose {\mathbb{R}^{+*}=\{x\in\mathbb{R},\;x>0\}} et {\mathbb{R}^+=\mathbb{R}^{+*}\cup\{0\}=\{x\in\mathbb{R},\;x\ge 0\}}.
On définit de même les ensembles {\mathbb{Z}^{+*}}, {\mathbb{Z}^+}, {\mathbb{Q}^{+*}}, et {\mathbb{Q}^+}.
On pose {\mathbb{R}^{-*}=\{x\in\mathbb{R},\;x\lt 0\}} et {\mathbb{R}^-=\mathbb{R}^{-*}\cup\{0\}=\{x\in\mathbb{R},\;x\le0\}}.
On définit de même les ensembles {\mathbb{Z}^{-*}}, {\mathbb{Z}^-}, {\mathbb{Q}^{-*}}, et {\mathbb{Q}^-}.

Ne pas généraliser aux nombres complexes!

Soit {x} un réel : si {x\ge 0} alors {x^{2}\ge 0} (comptabilité pour le produit par un réel positif).
Mais si {x\le 0}, alors {-x\ge 0} et là encore on a {(-x)^{2}\ge 0} c’est-à-dire {x^{2}\ge 0}.

Retenons donc que pour tout {x} réel, on a {x^{2}\ge0} (et bien sûr {x^{2}>0} pour tout réel {x} non nul).

De cette remarque très simple, il découle qu’il n’existe pas de relation d’ordre dans {\mathbb{C}} qui puisse étendre celle de {\mathbb{R}} (en gardant notamment la comptabilité pour le produit par un nombre positif).
En effet, si tel était le cas, on trouverait {i^{2}>0}, c’est-à-dire {-1>0}.

Il existe des relations d’ordre total sur {\mathbb{C}}, mais qui ne généralisent pas les propriétés de celle de {\mathbb{R}}.

Pour éviter les ennuis, on évitera donc d’écrire {z\le z'}, quand {z} et {z'} sont dans {\mathbb{C}}.

Relation d’ordre et opérations dans {\mathbb{R}}

Signe de la somme, du produit

Le tableau ci-après résume les règles des signes, c’est-à-dire ce qu’on peut affirmer sur {x+y} ou sur {xy} quand on connait la position de {x} et de {y} par rapport à {0} (les points d’interrogation signifient qu’il n’y a pas de réponse générale dans tel ou tel cas).

{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|cc|}x&\ge0&\le0&\ge0&>0&\lt 0&>0&>0&>0&\lt 0&\lt 0\cr y&\ge0&\le0&\le0&>0&\lt 0&\lt 0&\ge0&\le0&\ge0&\le0\cr x+y&\ge0&\le0&?&>0&\lt 0&?&>0&?&?&\lt 0\cr xy&\ge0&\ge0&\le0&>0&>0&\lt 0&\ge0&\le0&\le0&\ge0\end{array}}

On démontre également les équivalences suivantes, valables pour tous réels {x,y,z} :
{\begin{cases}x+z\le y+z\Leftrightarrow x\le y\cr x\le y\Leftrightarrow-y\le-x\cr x\le0\Leftrightarrow-x\ge0\end{cases}}
{\begin{cases}x+z\lt y+z\Leftrightarrow x\lt y\cr x\lt y\Leftrightarrow-y\lt -x\cr x\lt 0\Leftrightarrow-x>0\end{cases}}
{\begin{cases}(x\le y\;\text{et}\; z\le0)\Rightarrow xz\ge yz\cr (x\lt y\;\text{et}\; z>0)\Rightarrow xz\lt yz\cr (x\lt y\;\text{et}\; z\lt 0)\Rightarrow xz>yz\end{cases}}

Relation d’ordre et passage à l’inverse

Pour tout réel {x} non nul, on a les équivalences évidentes :
{x>0\Leftrightarrow\dfrac{1}{x}>0}, et {x\lt 0\Leftrightarrow \dfrac{1}{x}\lt 0}

Pour tout réel {x} non nul, on a aussi les équivalences suivantes :
{\begin{array}{ll}x>1\Leftrightarrow0\lt \dfrac{1}{x}\lt 1\quad&\quad x\lt -1\Leftrightarrow-1\lt \dfrac{1}{x}\lt 0\\\\0\lt x\lt 1\Leftrightarrow\dfrac{1}{x}>1\quad&\quad-1\lt x\lt 0\Leftrightarrow\dfrac{1}{x}\lt -1\cr \end{array}}
Plus généralement, pour tous réels {x} et {y}, on a :
{\begin{array}{ll}0\lt x\lt y\Leftrightarrow 0\lt \dfrac{1}{y}\lt \dfrac{1}{x}\quad&\quad x\lt y\lt 0\Leftrightarrow \dfrac{1}{y}\lt \dfrac{1}{x}\lt 0\\\\x\lt 0\lt y\Leftrightarrow \dfrac{1}{x}\lt 0\lt \dfrac{1}{y}\end{array}}

Valeur absolue, inégalité triangulaire

Définition
Pour tout réel {x}, on pose {|x|=\max(-x, x)}. Cette quantité est appelée valeur absolue de {x}.

On vérifie immédiatement les propriétés suivantes :

  • Pour tout réel {x} : {\begin{cases}|x|\ge0,\quad|x|=0\Leftrightarrow x=0&\cr|x|=x\Leftrightarrow x\ge0,\quad|x|=-x\Leftrightarrow x\le0&\end{cases}}
  • Plus généralement, pour {x\in\mathbb{R}}, et {\alpha\in\mathbb{R}^+} :{|x|=\alpha\Leftrightarrow x\in\{-\alpha,\alpha\}}.

    Et avec les mêmes notations :
    {\begin{cases}|x|\le\alpha\Leftrightarrow-\alpha\le x\le\alpha&\cr |x|\lt \alpha\Leftrightarrow-\alpha\lt x\lt \alpha\end{cases}\;\text{et}\;\begin{cases}|x|\ge\alpha\Leftrightarrow (x\le-\alpha\;\;\text{ou}\;\;x\ge\alpha)\cr |x|>\alpha\Leftrightarrow (x\lt -\alpha\;\;\text{ou}\;\;x>\alpha)\end{cases}}

  • Pour tous réels {x} et {y} :
    {\begin{cases}x^2=y^2\Leftrightarrow|x|=|y|\\ x^2\le y^2\Leftrightarrow|x|\le|y|\end{cases},\quad |xy|=|x|\,|y|\quad\text{et\ }|x^n|=|x|^n\text{\ pour tout entier\ }n}
  • Pour tous réels {x} et {y}, on a : {\max(x,y)=\dfrac 12(x+y+|x-y|)\quad\text{et}\quad\min(x,y)=\dfrac 12(x+y-|x-y|)}
Proposition (inégalité triangulaire)
Pour tous réels {x} et {y}, on a : {|x+y|\le|x|+|y|}.
On a l’égalité {|x+y|=|x|+|y|} si et seulement si {x} et {y} ont le même signe.
Proposition (valeur absolue d'une somme, ou d'un produit, de n nombres réels)
Pour tous réels {x_1,x_2,\ldots,x_n}, on a : {\Bigl|\displaystyle\prod_{k=1}^nx_k\Bigl|=\displaystyle\prod_{k=1}^n\,|x_k|} et {\Bigl|\displaystyle\sum_{k=1}^nx_k\Big|\le\displaystyle\sum_{k=1}^n|x_k|}

On a l’égalité {\Bigl|\displaystyle\sum_{k=1}^nx_k\Bigl|=\sum_{k=1}^n|x_k|} si et seulement si tous les {x_k} ont le même signe.

Définition
Pour tout réel {x}, on note {\begin{cases}x^+=\max(x,0)\cr x^-=\max(-x,0)\end{cases}}

Ainsi : {x^+=\begin{cases}x&\text{si }x\ge0\cr0&\text{sinon}\end{cases}} et {x^-=\begin{cases}-x&\text{si }x\le0\cr0&\text{sinon}\end{cases}}

On dit que {x^{+}} (resp. {x^{-}}) est la partie positive (resp. négative) du réel {x}.

Avec ces notations, pour tout réel {x} :
{\begin{cases}x^+\ge0\cr x^-\ge0\end{cases}\quad\begin{cases}x=x^+-x^-\cr |x|=x^++x^-\end{cases}\quad\begin{cases}x^{+}=(x+\left|x\right|)/2\cr x^-=(\left|x\right|-x)/2\end{cases}}

Définition
Pour tous réels {x,y}, la quantité {d(x,y)=|y-x|} est appelée distance de {x} et de {y}.
Elle vérifie : {\forall\,(x,y,z)\in\mathbb{R}^3,\;\begin{cases}d(x,y)\ge0,\quad d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y&\cr d(x,y)\le d(x,z)+d(z, y)&\end{cases}}

Remarques

  • Pour tous réels {x} et {y}, on a {d(|x|,|y|)\le d(x,y)}, c’est-à-dire {|\,|x|-|y|\,|\le|x-y|}.
    Ce résultat complète donc l’inégalité triangulaire.
  • Si {a} est dans {\mathbb{R}} et {b} dans {\mathbb{R}^{+}}, on a l’équivalence : {\left|x-a\right|\le b\Leftrightarrow a-b\le x\le a+b}.

Intervalles de {\mathbb{R}}

Définition
Pour tous réels {a} et {b}, on définit les ensembles suivants, dits intervalles de {\mathbb{R}}.
{\left\{\begin{array}{lll}[a,b]=\{x\in\mathbb{R},\;a\le x\le b\}&\qquad~\qquad&[a,b[\;=\{x\in\mathbb{R},\;a\le x\lt b\}\\]a,b]=\{x\in\mathbb{R},\;a\lt x\le b\}&\qquad~\qquad&]a,b[\;=\{x\in\mathbb{R},\;a\lt x\lt b\}\\]-\infty,+\infty[\;=\mathbb{R}\\{}[a,+\infty[\;=\{x\in\mathbb{R},\;a\le x\}&\qquad~\qquad&]a,+\infty[\;=\{x\in\mathbb{R},\;a\lt x\}\\]-\infty,b]=\{x\in\mathbb{R},\;x\le b\}&\qquad~\qquad&]-\infty,b[\;=\{x\in\mathbb{R},\;x\lt b\}\end{array}\right.}

En particulier : {\mathbb{R}^+=[0,+\infty[,\;\mathbb{R}^{+*}=\;]0,+\infty[,\;\mathbb{R}^-=\;]-\infty,0],\;\mathbb{R}^{-*}=\;]-\infty,0[}

Remarques et définitions

  • On dit que {[\,a,b\,]} (avec {a\le b}) est le segment d’origine {a} et d’extrémité {b}.
  • Les intervalles {]\,a,b\,[}, {]\,a,+\infty[}, {]-\infty,b[} et {]-\infty,+\infty[}
    sont dits ouverts.
  • Les intervalles {[\,a,b\,]}, {[\,a,+\infty[}, {]-\infty,b\,]} et {]-\infty,+\infty[} sont dits fermés.
  • Les intervalles {]\,a,b\,]} et {[\,a,b\,[} sont dits semi-ouverts (ou semi-fermés !).
  • Le segment {[\,a,a\,]} se réduit à {\{a\}} ; l’intervalle {]\,a,a\,[} est vide.
  • Les segments sont les intervalles fermés bornés.

La proposition suivante est admise pour l’instant.

Proposition (caractérisation des intervalles de ℝ)
Soit {I} une partie non vide de {\mathbb{R}}.
Alors {I} est un intervalle si et seulement si {I} est convexe c’est-à-dire : {\forall\,(x,y)\in I\times I,\;[\,x,y\,]\subset I}
Autrement dit : {I} est un intervalle si et seulement si, dès que {I} contient deux réels {x} et {y}, alors {I} contient le segment qui les joint.

Parties majorées, minorées, bornées

Dans les définitions suivantes, {A} désigne une partie de {\mathbb{R}}
(éventuellement vide).

Définition (partie majorée)
On dit qu’un réel {M} majore {A} (ou est un majorant de {A}) si {M\ge a} pour tout {a} de {A}.
On dit que {A} est majorée si l’ensemble de ses majorants est non vide.
Définition (partie minorée)
On dit qu’un réel {m} minore {A} (ou est un minorant de {A}) si {m\le a} pour tout {a} de {A}.
On dit que {A} est minorée si l’ensemble de ses minorants est non vide.
Définition (partie bornée)
On dit que {A} est bornée si {A} est à la fois minorée et majorée.
Ainsi {A} est bornée si et seulement si il existe {m,M} dans {\mathbb{R}} tels que {m\le a\le M} pour tout {a} de {A}.

Remarques

  • La partie vide est bornée! Toute partie finie de {\mathbb{R}} est bornée.
  • Dire que {A} est majorée, c’est dire qu’il existe {M} dans {\mathbb{R}} tel que : {A\subset\,]-\infty,M]}.
    Dire que {A} est minorée, c’est dire qu’il existe {m} dans {\mathbb{R}} tel que : {A\subset[m,+\infty[}.
    Dire que {A} est bornée, c’est dire qu’il existe {m} et {M} dans {\mathbb{R}} tels que : {A\subset[m,M]}.
  • Si {M} est un majorant de {A}, alors tout réel {M'\ge M} est a fortiori un majorant de {A}.
    Si {m} est un minorant de {A}, alors tout réel {m'\le m} est a fortiori un minorant de {A}.

  • Seuls les intervalles de {\mathbb{R}} qui sont de la forme {[\,a,b\,]}, {]\,a,b\,]}, {[\,a,b\,[} ou {]\,a,b\,[} sont bornés.
  • Dire que {A} est bornée, c’est dire qu’il existe {M} dans {\mathbb{R}} tel que : {\forall\, x\in A,\;\left|x\right|\le M}.
    Ainsi {A} est bornée si et seulement si elle est “majorée en valeur absolue”.
  • Posons {-A=\{-a,\;a\in A\}}.
    Avec ces notations : {A} est majorée (resp. minorée) si et seulement si {-A} est minorée (resp. majorée).
Définition (élément maximum)
Soit {\alpha} un élément de {A}.
On dit que {\alpha} est un maximum (ou un plus grand élément) de {A} si {\alpha\ge x} pour tout {x} de {A}.
Si un tel élément existe, il est unique. On le note alors {\alpha=\max(A)}.
Définition (élément minimum)
Soit {\alpha} un élément de {A}.
On dit que {\alpha} est un minimum (ou un plus petit élément) de {A} si {\alpha\le x} pour tout {x} de {A}.
Si un tel élément existe, il est unique. On le note alors {\alpha=\min(A)}.

Remarques et exemples

  • Dire que {A} possède un maximum, c’est dire que l’un des éléments de {A} est un majorant de {A}.
    Dire que {A} possède un minimum, c’est dire que l’un des éléments de {A} est un minorant de {A}.
  • L’intervalle {A = ]-\infty,1[} est majoré, mais non minoré (donc non borné).
    L’ensemble de ses majorants est {[1,+\infty[}. Le maximum de {A} n’existe pas.
  • L’intervalle {B=[-2,+\infty[} est minoré mais non majoré.
    L’ensemble de ses minorants est {]-\infty,-2]}, et on a {\min(B)=-2}.
  • L’intervalle {C =\,]0,1[} est borné, mais {\min(C)} et {\max(C)} n’existent pas.
  • L’intervalle {D = [0,1]} est borné. De plus {\min(D) = 0} et {\max(D) = 1}.
  • Si {A=\Big\{\dfrac{n}{n+1},\;n\in\mathbb{N}\Big\}}, {\min A=0}, et {\max A} n’existe pas.
    L’ensemble des majorants est {[1,+\infty[}

Borne supérieure et borne inférieure dans {\mathbb{R}}

L’axiome suivant, très important, constitue une spécificité de {\mathbb{R}} par rapport à {\mathbb{Q}}.

Axiome de la borne supérieure
Soit {A} une partie non vide et majorée de {\mathbb{R}}.
Alors l’ensemble des majorants de {A} possède un élément minimum.
Cet élément est appelé borne supérieure de {A}, et on le note {\sup(A)}

Remarques

Soit {A} une partie non vide et majorée de {\mathbb{R}}.

  • Le réel {\beta=\sup(A)} est caractérisé par les deux propriétés
    {\begin{cases}\forall\, x\in A,\;x\le\beta\cr \forall\,\varepsilon>0,\;\exists\,a\in A,\;\beta-\varepsilon\lt a\le\beta\end{cases}}
    Autrement dit, ce qui caractérise {\beta} c’est que d’une part {\beta} est un majorant de {A}, et d’autre part tout réel strictement inférieur à {\beta} n’est pas un majorant de {A}
  • L’ensemble des majorants de {A} est alors l’intervalle {[\beta,+\infty[}.
  • On retiendra donc : toute partie non vide majorée de {\mathbb{R}} possède une borne supérieure.
    Et d’une façon plus familière : la borne supérieure de {A}, c’est le plus petit des majorants des {A}.

L’axiome de la borne supérieure étant admis, on peut démontrer le résultat suivant :

Proposition (propriété de la borne inférieure)
Soit {A} une partie non vide et minorée de {\mathbb{R}}.
Alors l’ensemble des minorants de {A} possède un élément maximum.
Cet élément est appelé borne inférieure de {A}, et on le note {\inf(A)}.

Remarques

Soit {A} une partie non vide et minorée de {\mathbb{R}}.

  • Le réel {\alpha=\inf(A)} est caractérisé par : {\begin{cases}\forall\, x\in A,\;x\ge\alpha\cr \forall\,\varepsilon>0,\;\exists\, a\in A,\;\alpha\le a\lt \alpha+\varepsilon\end{cases}}

    Autrement dit, ce qui caractérise {\alpha} c’est que d’une part \alpha est un minorant de A, et d’autre part tout réel strictement supérieur à \alpha n’est pas un minorant de A

  • L’ensemble des minorants de {A} est alors l’intervalle {]-\infty,\alpha]}.
  • On retiendra donc : toute partie non vide minorée de {\mathbb{R}} possède une borne inférieure.
    Et d’une façon plus familière : la borne inférieure de {A}, c’est le plus grand des minorants de {A}.

Quelques propriétés de la borne Sup et la borne Inf

  • Soit {A} une partie non vide et majorée de {\mathbb{R}} (donc telle que {\sup(A)} existe).
    Dire que {x} majore {A} (donc écrire que {x\ge a} pour tout {a} de {A}) c’est dire que {x\ge \sup(A)}.
    Dire que {\max(A)} existe, c’est dire que {\sup(A)} est élément de {A}. Dans ce cas, {\sup(A)=\max(A)}.

  • Soit {A} une partie non vide et minorée de {\mathbb{R}} (donc telle que {\inf(A)} existe).
    Dire que {x} minore {A} (donc écrire que {x\le a} pour tout {a} de {A}) équivaut à écrire {x\le \inf(A)}.
    Dire que {\min(A)} existe, c’est dire que {\inf(A)} est élément de {A}. Dans ce cas, {\inf(A)=\min(A)}.

  • Soit {A,B} deux parties non vides de {\mathbb{R}}.
    Si {B} est majorée et si {A\subset B}, alors {A} est majorée et {\sup(A)\le \sup(B)}.
    Si {B} est minorée et si {A\subset B}, alors {A} est minorée et {\inf(B)\le\inf(A)}.

  • Soit {A} une partie non vide de {\mathbb{R}}. On rappelle la notation {-A=\{-a,a\in A\}}.
    Si {A} est majorée, alors {-A} est minorée et {\inf(-A)=-\sup(A)}.
    Si {A} est minorée, alors {-A} est majorée et {\sup(-A)=-\inf(A)}.
  • Soit {A,B} deux parties non vides de {\mathbb{R}}.
    On rappelle la notation {A+B=\{a+b,\;a\in A,\;b\in B\}}.
    Si {A,B} sont majorées, alors {A+B} est majorée et {\sup(A+B)=\sup(A)+\sup(B)}.
    Si {A,B} sont minorées, alors {A+B} est minorée et {\inf(A+B)=\inf(A)+\inf(B)}.
  • Enfin les résultats suivants sont évidents, pour tous réels {a} et {b}, avec {a\lt b} :
    {\begin{cases}\begin{array}{rl}\sup([a,b])&=\sup([a,b[)=\sup(]a,b])=\sup(]a,b[)\\&=\sup(]-\infty,b])=\sup(]-\infty,b[)=b\end{array}\phantom{\biggl(}\\\begin{array}{rl}\inf([a,b])&=\inf([a,b[)=\inf(]a,b])=\inf(]a,b[)\\&=\inf([a,+\infty[)=\inf(]a,+\infty[)=a\end{array}\end{cases}}

Caractérisation des intervalles

La propriété suivante est une caractérisation commode des intervalles de {\mathbb{R}} (ce n’en est pas une définition, car l’énoncé suppose connue celle des segments {[x,y]}).

Proposition (caractérisation des intervalles)
Soit {I} une partie de {\mathbb{R}} (éventuellement vide).
Alors {I} est un intervalle si et seulement si : {\forall\,(x,y)\in I\times I,\;[x,y]\subset I}.
Autrement dit, les intervalles sont les parties de {\mathbb{R}} qui, dès qu’elles contiennent deux points, contiennent le segment qui les joint. On l’exprime en disant que les intervalles sont les parties convexes de {\mathbb{R}}.

Partie entière d’un nombre réel

On commence par démontrer un résultat qui semble évident, mais qui est une
conséquence de l’axiome de la borne supérieure.

Proposition (ℝ est archimédien)
Soit {x} un réel, et {a} un réel strictement positif.
Alors il existe un entier {n} tel que {na>x}.
On exprime cette propriété en disant que {\mathbb{R}} est archimédien.
Démonstration
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Proposition
Soit {x} un réel, et {a} un réel strictement positif.
Alors il existe un couple unique {(n,y)} de {\mathbb{Z}\times[0,a[} tel que {x=na+y}.

Il suffit d’appliquer le résultat précédent avec {a=1} pour obtenir la notion de partie entière.

Définition (partie entière)
Soit {x} un réel. Il existe un entier relatif unique {m} tel que {m\le x\lt m+1}.
On l’appelle partie entière de {x} et on le note {\lfloor x\rfloor}.

Quelques propriétés de la partie entière

  • Pour tout réel {x}, on a : {\lfloor x\rfloor\le x\lt \lfloor x\rfloor+1}, ou encore : {x-1\lt \lfloor x\rfloor\le x}
  • Pour tout {x} de {\mathbb{R}}, et tout {m} de {\mathbb{Z}}, on a : {\lfloor x\rfloor=m\Leftrightarrow x\in[m,m+1[}
  • Pour tout {x} de {\mathbb{R}}, on a : {\lfloor x\rfloor=x\Leftrightarrow x\in\mathbb{Z}}
  • Si {x} est réel non entier, alors : {\lfloor-x\rfloor=-\lfloor x\rfloor-1}
  • Pour tout {x} de {\mathbb{R}}, et tout {m} de {\mathbb{Z}}, on a : {\lfloor x+m\rfloor=\lfloor x\rfloor+m}
  • Pour tous réels {x} et {y} : {\lfloor x+y\rfloor\in\{\lfloor x\rfloor+\lfloor y\rfloor,\lfloor x\rfloor+\lfloor y\rfloor+1\}}

Densité de {\mathbb{Q}} et de {\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}} dans {\mathbb{R}}

Proposition (densité de ℚ dans ℝ)
Soient {x} et {y} deux réels, avec {x\lt y}.
L’intervalle {]x,y[} contient une infinité de nombres rationnels.
On exprime cette situation en disant que {\mathbb{Q}} est dense dans {\mathbb{R}}.
L’ensemble {\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}} des nombres irrationnels est également dense dans {\mathbb{R}}.

On rappelle la définition des nombres décimaux.

Définition (nombres décimaux)
On dit qu’un réel {x} est un nombre décimal s’il existe {k} dans {\mathbb{Z}} et {n} dans {\mathbb{N}} tel que {x=k\,10^{-n}}.

Remarques

  • Si on note {\mathbb{D}} l’ensemble des décimaux, on a {\mathbb{Z}\varsubsetneq\mathbb{D}\varsubsetneq\mathbb{Q}}.
  • Les décimaux sont les réels qui peuvent s’écrire “avec un nombre fini de chiffres après la virgule”.
  • Soit {x=\dfrac{a}{b}} un rationnel, écrit sous forme irréductible ({a\in\mathbb{Z}}, {b\in\mathbb{N}^{*}}, et {a\wedge b=1}.
    Alors {x} est décimal si et seulement si les seuls diviseurs premiers éventuels de {b} sont {2} et {5}.
  • L’ensemble des décimaux est stable pour l’addition et pour le produit.
    En revanche si {x} est un décimal non nul, son inverse {\dfrac{1}{x}} n’est en général pas un décimal.
    En fait les {x\ne0} tels que {x} et {\dfrac{1}{x}} soient décimaux sont les {x=\pm\, 2^{n}5^{m}}, avec {(n,m)} dans {\mathbb{Z}^{2}}.
Définition (approximations décimales d'un réel)
Soit {x} un nombre réel et {n} un entier naturel.
Il existe un unique entier relatif {m} tel que {m10^{-n}\le x\lt (m+1)10^{-n}}.
Le réel {\alpha_n=m10^{-n}} est la valeur approchée de {x} à {10^{-n}} près par défaut.
On a {\alpha_n=10^{-n}\lfloor 10^n x\rfloor}.
Le réel {\beta_n=(m+1)10^{-n}} est la valeur approchée de {x} à {10^{-n}} près par excès.

Densité de l’ensemble des décimaux dans {\mathbb{R}}

Les propriétés ci-dessous montrent que l’ensemble des décimaux est dense dans {\mathbb{R}}.
Soit {x} un réel. Pour tout {n\in\mathbb{N}}, posons {\begin{cases}{rl}\alpha_n=10^{-n}\lfloor 10^n x\rfloor\\\beta_n=\alpha_n+10^{-n}\end{cases}}.

  • La suite {(\alpha_n)} est une suite croissante de nombres décimaux.
  • La suite {(\beta_n)} est une suite décroissante de nombres décimaux.
  • Les deux suites {(\alpha_n)} et {(\beta_n)} convergent vers {x}.

Droite numérique achevée

Définition
On note {\overline{\,\mathbb{R}}} l’ensemble {\mathbb{R}\cup\{-\infty,+\infty\}}.
Cet ensemble est appelé droite numérique achevée.

Relation d’ordre sur {\overline{\,\mathbb{R}}}

On étend l’ordre total de {\mathbb{R}} à {\overline{\,\mathbb{R}}} en posant : {\forall\, x\in\mathbb{R},-\infty\le x\le+\infty\text{\ (en fait\ }-\infty\lt x\lt +\infty)}

Opérations sur {\overline{\,\mathbb{R}}}

De même, on étend (de façon toujours commutative) les lois {+} et {\times} de {\mathbb{R}} en posant :

Pour l’addition : {\left\{\begin{array}{lllll}(+\infty)+(+\infty)=+\infty&&(-\infty)+(-\infty)=(-\infty)\\\qquad\qquad\forall\, x\in\mathbb{R},&& x+(-\infty)=-\infty&x+(+\infty)=+\infty\end{array}\right.}

Pour le produit : {\left\{\begin{array}{llllll}(+\infty)(+\infty)=+\infty&&(-\infty)(-\infty)=+\infty&&(-\infty)(+\infty)=-\infty\\\qquad\qquad\forall\, x\in\mathbb{R}^{+*},&&x(-\infty)=-\infty&&x(+\infty)=+\infty\\\qquad\qquad\forall\, x\in\mathbb{R}^{-*},&&x(-\infty)=+\infty&&x(+\infty)=-\infty\end{array}\right.}

Formes indéterminées

On ne donne pas de valeur aux expressions suivantes : {(+\infty)+(-\infty)\quad0(+\infty)\quad0(-\infty)}
Ces expressions sont appelées formes indéterminées.

Utiliser {\overline{\,\mathbb{R}}} permet de simplifier les énoncés du genre :
{\begin{cases}\lim\limits_{n\to+\infty} u_n=\lambda\cr\lim\limits_{n\to+\infty} v_n=\mu\end{cases}\Rightarrow \lim\limits_{n\to+\infty}(u_n+v_n)=\lambda+\mu}
Ce résultat est en effet vrai pour tous {\lambda,\mu} de {\overline{\,\mathbb{R}}} à l’exception des formes indéterminées pour lesquelles on devra faire une étude plus poussée (on devra donc lever la forme indéterminée).

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