Généralités sur les fonctions numériques

Plan du chapitre "Techniques d'analyse"

Dans la suite, on considère des fonctions {f} à valeurs réelles, définies sur une partie {\mathcal{D}} de {\mathbb{R}}.
On dit que {\mathcal{D}} est le domaine de définition de la fonction numérique {f}.
Le plus souvent, {\mathcal{D}} est un intervalle ou une réunion disjointe d’intervalles.

Représentations graphiques

On munit le plan d’un repère orthogonal (et même, le plus souvent, orthonormé).
L’ensemble {(\Gamma)} des points {M(x,f(x))} est appelé courbe représentative (ou graphe) de {f}.
Chaque droite verticale {x=x_{0}}, où {x_{0}\in\mathcal{D}}, rencontre {(\Gamma)} en l’unique point {(x_{0},f(x_{0}))}.

On voit ici la courbe représentative d’une fonction définie sur un segment {[\alpha,\beta]} de {\mathbb{R}}.

Soit {f:\mathcal{D}\to\mathbb{R}} une fonction, et soit {(\Gamma)} sa courbe représentative.

À partir de {f} et d’un réel {a}, on va voir plusieurs définitions d’une fonction {f_{a}} : on va déterminer son domaine {\mathcal{D}_{a}}, et trouver la relation géométrique entre les courbes {(\Gamma)} de {f} et {(\Gamma_{a})} de {f_{a}}.

Représentation graphique de {x\mapsto f_{a}(x)=f(x)+a}

Posons {f_{a}(x)=f(x)+a}. Le domaine {\mathcal{D}_{a}} de {f_{a}} égal au domaine {\mathcal{D}} de {f}.

La courbe {(\Gamma_{a})} se déduit de {(\Gamma)} par la translation de vecteur {(0,a)}.

En effet, on a les équivalences : {\begin{array}{rl}M(x,y)\in\Gamma_{a}&\Leftrightarrow y=f_{a}(x)=f(x)+a\\\\ &\Leftrightarrow y-a=f(x)\Leftrightarrow N(x,y-a)\in\Gamma\end{array}}

Représentation graphique de {x\mapsto f_{a}(x)=f(x+a)}

Posons {f_{a}(x)=f(x+a)}, alors {\mathcal{D}_{a}=\{x-a,\;x\in\mathcal{D}\}}.

Le domaine {(\mathcal{D}_{a})} se déduit de {(\mathcal{D})} par la translation {x\mapsto x-a}.

De même, {(\Gamma_{a})} se déduit de {(\Gamma)} par la translation de vecteur {(-a,0)}.

En effet, on a les équivalences : {\begin{array}{rl}M(x,y)\in\Gamma_{a}&\Leftrightarrow y=f_{a}(x)=f(x+a)\\\\&\Leftrightarrow N(x+a,y)\in\Gamma\end{array}}

Représentation graphique de {x\mapsto f_{a}(x)=f(a-x)}

Posons {f_{a}(x)=f(a-x)}. Alors {\mathcal{D}_{a}=\{a-x,\;x\in\mathcal{D}\}}.

Ainsi {(\mathcal{D}_{a})} se déduit de {(\mathcal{D})} par la symétrie {x\mapsto a-x} par rapport à la valeur {a/2}.

De même, {(\Gamma_{a})} se déduit de {(\Gamma)} par la symétrie par rapport à l’axe vertical d’équation {x=a/2}.

En effet, on a les équivalences : {\begin{array}{rl}M(x,y)\in\Gamma_{a}&\Leftrightarrow y=f(a-x)\Leftrightarrow N(a-x,y)\in\Gamma\end{array}}

Cas particulier : la courbe représentative de {x\mapsto f(-x)} est symétrique de {(\Gamma)} par rapport à {Oy}.

Représentation graphique de {x\mapsto f_{a}(x)=f(ax)}

Posons {f_{a}(x)=f(ax)}. Alors {\mathcal{D}_{a}=\{x/a,\;x\in\mathcal{D}\}}.

Ainsi {(\mathcal{D}_{a})} se déduit de {(\mathcal{D})} par l’homothétie {x\mapsto x/a}.

De même, {(\Gamma_{a})} se déduit de {(\Gamma)} par une homothétie de rapport {1/a} selon les abscisses uniquement (ce qui produit un effet en accordéon horizontal).

En effet, on a les équivalences : {\begin{array}{rl}M(x,y)\in\Gamma_{a}&\Leftrightarrow y=f(ax)\Leftrightarrow N(ax,y)\in\Gamma\end{array}}

Sur l’exemple ci-dessous, on a choisi {a=2}.

Représentation graphique de {x\mapsto f_{a}(x)=af(x)}

Posons {f_{a}(x)=af(x)}. Alors {\mathcal{D}_{a}=\mathcal{D}}.

Ici {(\Gamma_{a})} se déduit de {(\Gamma)} par une homothétie de rapport {a} selon les ordonnées uniquement (ce qui produit un effet en accordéon vertical). En effet, on a les équivalences :
{M(x,y)\in\Gamma_{a}\Leftrightarrow y=af(x)\Leftrightarrow N(x,y/a)\in\Gamma}
Sur l’exemple ci-contre, on a choisi {a=2}.

Interprétation graphique d’égalités et d’inégalités

Des solutions de {f(x)=\lambda} peuvent être représentées par les abscisses des points d’intersection de la courbe {(\Gamma)} et de la droite horizontale {y=\lambda} (l’axe {Ox} dans le cas de l’équation {f(x)=0}).

Sur cet exemple, on voit quatre solutions distinctes {\alpha\lt 0\lt \beta\lt \delta} de l’équation {f(x)=0}.

On voit aussi trois solutions {a\lt b\lt c} de {f(x)=\lambda} (la solution {a} étant qualifiée de “double” ou “multiple”).

De la même manière, on interprète facilement les solutions des inéquations {f(x)\lt \lambda}, ou {f(x)\le \lambda}, ou {f(x)\ge \lambda}, ou {f(x)> \lambda}.

Opérations sur les fonctions numériques

Soit {f} une fonction à valeurs réelles, définie sur une partie {\mathcal{D}} de {\mathbb{R}} (son domaine de définition).

L’ensemble {\mathcal{D}} consiste le plus souvent en une réunion d’intervalles.

L’étude de {f} (continuité, monotonie, extrémums, etc.) s’effectue cependant intervalle par intervalle.

C’est pourquoi on se limitera souvent à des fonctions réelles, définies sur un intervalle {I} de {\mathbb{R}} (évidemment l’intervalle {I} ne doit être ni vide, ni réduit à un point).

On note {\mathcal{F}(\mathcal{D},\mathbb{R})}, ou {\mathbb{R}^\mathcal{D}}, l’ensemble des fonctions {f:\mathcal{D}\to\mathbb{R}}.

On rappelle que si {f,g} sont dans {\mathcal{F}(\mathcal{D},\mathbb{R})}, alors : {f=g\Leftrightarrow\forall\, x\in\mathcal{D},\;f(x)=g(x)}

Définition (somme et produit de deux fonctions numériques)
Soit {f} et {g} deux éléments de {\mathcal{F}(\mathcal{D},\mathbb{R})}.
On définit les fonctions {f+g} et {fg} par : {\begin{cases}\forall\, x\in \mathcal{D},\;(f+g)(x)=f(x)+g(x)&\\\forall\, x\in \mathcal{D},\;(fg)(x)=f(x)g(x)&\end{cases}}

Propriétés immédiates

La fonction constante {x\mapsto0} (resp {x\mapsto 1}) est neutre pour l’addition (resp. le produit).

L’opposée de {f} est notée {-f} et définie par : {\forall\, x\in I,\;(-f)(x)=-f(x)}.

On peut parler de {\dfrac{1}{f}} si {f} ne s’annule pas sur {\mathcal{D}}.

Dans ces conditions : {\forall\, x\in \mathcal{D},\;\dfrac1f(x)=\dfrac1{f(x)}}.

Soit {\lambda} un réel. On note encore {\lambda} la fonction constante {x\mapsto\lambda}.

On note {\lambda f} la fonction définie par :{\forall\, x\in \mathcal{D},\;(\lambda f)(x)=\lambda f(x)}.

On peut ainsi former des combinaisons linéaires{g=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}f_{k}} de fonctions définies sur {\mathcal{D}}.

Si {f:\mathcal{D}\to\mathbb{R}} et {g:\mathcal{D}'\to\mathbb{R}} ont des domaines différents, celui de {f+g} et de {fg} est {\mathcal{D}\cap\mathcal{D}'}.

Définition (composée de deux fonctions numériques)
Soit {f} et {g} deux fonctions numériques, de domaines respectifs {\mathcal{D}_{f}} et {\mathcal{D}_{g}}.
On définit une fonction numérique, notée {g\circ f}, en posant {(g\circ f)(x)=g(f(x))}.
Le domaine de la fonction {g\circ f} est {\mathcal{D}=\{x\in\mathcal{D}_{f},\;f(x)\in\mathcal{D}_{g}\}}.

L’ensemble de définition de {g\circ f} est donc l’ensemble des réels {x} pour lesquels d’une part {f(x)} existe, et d’autre part {f(x)} est dans le domaine de définition de {g}.

Dans les questions théoriques portant sur la composition (monotonie par exemple), on considérera souvent des fonctions numériques {f:I\to\mathbb{R}} et {g:J\to\mathbb{R}} (définies respectivement sur les intervalles {I} et {J}) et on ajoutera la condition {f(I)\subset J} pour s’assurer que {g\circ f} est définie sur {I}.

On est souvent amené à étudier des fonctions numériques {f} obtenues par somme, produit, quotient, composition de fonctions usuelles {f_{k}} (dont il est bien sûr indispensable de connaître le domaine).

On déterminera alors le domaine de définition de {f} en appliquant les règles indiquées précédemment, et en prêtant attention à la chronologie des compositions de fonctions.

Fonctions paires ou impaires

On considère ici des fonctions numériques définies sur une partie {\mathcal{D}} de {\mathbb{R}}.

On suppose que {\mathcal{D}} est symétrique par rapport à l’origine (donc : {x\in\mathcal{D}\Leftrightarrow-x\in\mathcal{D}}).

Le cas le plus courant est celui d’un intervalle de centre {0}, et notamment {\mathcal{D}=\mathbb{R}}.

Définition (parité, imparité)
On dit que {f} est paire si : {\forall\, x\in\mathcal{D},\;f(-x)=f(x)}.
On dit que {f} est impaire si : {\forall\, x\in \mathcal{D},\;f(-x)=-f(x)}.

La seule fonction à la fois paire et impaire est la fonction nulle.

Évoquer la parité ou imparité de {:\mathcal{D}\to\mathbb{R}} n’a de sens que si {\mathcal{D}} est symétrique par rapport à {0}.

L’interprétation graphique est évidente. La fonction {f} est paire (resp. impaire) si et seulement si sa représentation graphique {(\Gamma)} est symétrique par rapport à l’axe {Oy} (resp. l’origine {O}).

Graphe {(\Gamma)} d’une fonction paire

Graphe {(\Gamma)} d’une fonction impaire

Proposition (Parties paire et impaire d'une fonction)
Soit {f} une fonction de {\mathcal{D}} dans {\mathbb{R}} (où le domaine {\mathcal{D}} est symétrique par rapport à {0}).
Alors {f} s’écrit de manière unique {f=f_{p}+f_{i}}, où {f_{p}} est paire et {f_{i}} est impaire.
Les fonctions {f_{p}} et {f_{i}} sont définies par : {\forall\, x\in \mathcal{D},\;f_{p}(x)=\dfrac{f(x)+f(-x)}{2}\;\text{et}\;f_{i}(x)=\dfrac{f(x)-f(-x)}{2}}
On dit que {f_{p}} est la partie paire de {f} et que {f_{i}} en est la partie impaire.

Exemple :

On considère les fonctions {\text{ch}} et {\text{sh}} définies sur {\mathbb{R}} par {\text{ch}(x)=\dfrac{\text{e}^x+\text{e}^{-x}}{2}} et {\text{sh}(x)=\dfrac{\text{e}^x-\text{e}^{-x}}{2}}.
Les fonctions {\text{ch}} et {\text{sh}} sont appelées cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique.
Elles sont donc respectivement la partie paire et la partie impaire de {x\mapsto e^x}.

Proposition (produits et sommes de fonctions paires ou impaires)
Soit {f} et {g} deux fonctions de {\mathcal{D}} dans {\mathbb{R}}, chacune d’elles étant paire ou impaire.
Si {f} et {g} ont même parité, alors {fg} est paire, sinon {fg} est impaire.
Soit {(\alpha,\beta)} dans {\mathbb{R}^2} : si {f} et {g} ont même parité, alors {h=\alpha f+\beta g} a même parité que {f} et {g}.

Proposition (opérations entre fonctions paires ou impaires)
Soit {f:\mathcal{D}\to\mathbb{R}} et {g:\mathcal{D}'\to\mathbb{R}} deux fonctions numériques.
Si {f} est paire, alors {g\circ f} est paire (quelle que soit la fonction {g}, en fait).
Si {f} est impaire, et si {g} est paire ou impaire, alors {g\circ f} a la même parité que {g}.

Quelques remarques faciles pour terminer

Soit {n} dans {\mathbb{N}}. Si {f} est paire, alors {f^{n}} est paire. Si {f} est impaire, alors {f^{n}} a la parité de {n}.
Si {f} est paire ou impaire alors {\left|f\right|} est paire.
Si {f} est paire ou impaire et ne s’annule pas, alors {1/f} a la parité de {f}.
Si {f} est bijective de {\mathcal{D}} sur {\mathcal{D}'} et impaire, alors sa bijection réciproque {f^{-1}} est impaire.

Axes et centres de symétrie

Proposition (existence d'un axe de symétrie vertical)
Soit {f:\mathcal{D}\to\mathbb{R}}, le domaine {\mathcal{D}} étant symétrique par rapport au réel {a}.
Les conditions suivantes sont équivalentes :

  • la droite verticale {x=a} est axe de symétrie du graphe {\Gamma} de {f}.
  • pour tout {x} de {\mathcal{D}}, {f(2a-x)=f(x)}.
  • pour tout {h} tel que
    {a\pm h} appartienne à {\mathcal{D}}, {f(a+h)=f(a-h)}.
  • la fonction {g} définie par {g(x)=f(a+x)} est paire.

Proposition (existence d'un centre de symétrie)
Soit {f:\mathcal{D}\to\mathbb{R}}, le domaine {\mathcal{D}} étant symétrique par rapport au réel {a}.
Les conditions suivantes sont équivalentes :

  • le point {\Omega(a,b)} est centre de symétrie du graphe {\Gamma} de {f}.
  • pour tout {x} de {\mathcal{D}}, {f(2a-x)=2b-f(x)}.
  • pour tout {h} tel que {a\pm h} appartienne à {\mathcal{D}}, {f(a+h)-b=b-f(a-h)}.
  • la fonction {g} définie par {g(x)=f(a+x)-b} est impaire.

Axe de symétrie {x=a} :

Centre de symétrie {\Omega(a,b)} :

Fonctions périodiques

Définition (fonction T-périodique)
Soit {\mathcal{D}} une partie non vide de {\mathbb{R}}, et soit {f:\mathcal{D}\to\mathbb{R}}. Soit {T} un réel strictement positif.
La fonction {f} est dite {T}-périodique si : {\forall\, x\in\mathcal{D},\;x+T\in\mathcal{D}\;\text{et}\; f(x+T)=f(x)}

On a alors, pour tout {x} de {\mathcal{D}} et tout {k} de {\mathbb{Z}} : {f(x+kT)=f(x)}.

Une condition nécessaire pour qu’on puisse évoquer la {T}-périodicité de {f:\mathcal{D}\to\mathbb{R}} est que le domaine {\mathcal{D}} soit lui-même stable par la translation {x\mapsto x+T} (on le supposera dans ce qui suit).

L’interprétation graphique est facile : dire que la fonction {f} est {T}-périodique c’est dire que son graphe {\Gamma} est invariant dans la translation de vecteur {(T,0)} (parallèle à {Ox}).

Une fonction {T}-périodique

Notion de plus petite période positive

Si la fonction {f} est {T}-périodique, alors pour tout {n} de {\mathbb{N}^{*}}, elle est {nT}-périodique.

On cherchera donc, si possible, la plus petite période positive (qu’on appelera alors la période de {f}).
Dans certains cas très spécifiques, cette plus petite période n’existe pas : il en est ainsi par exemple de la fonction indicatrice de {\mathbb{Q}}, qui admet tout rationnel positif comme période.

Opérations entre fonctions {T}-périodiques

Si {f} et {g} sont {T}-périodiques, alors {\alpha f+\beta g}
et {fg} sont {T}-périodiques.
Si {f} est périodique et ne s’annule pas, alors {\dfrac1f} est {T}-périodique.
Si {f} est {T}-périodique, alors pour toute fonction {g}, la fonction {g\circ f} est {T}-périodique.

Quand on combine des fonctions de période {T}, on peut obtenir des fonctions de période inférieure à {T}.
Ainsi {\begin{cases}x\mapsto \sin x\cr x\mapsto \cos x\end{cases}} sont {2\pi}-périodiques, et {\begin{cases}x\mapsto \sin x\cos x\text{\ est\ }\pi\text{-périodique}\cr x\mapsto (\sin x\cos x)^{2}\text{\ est }\pi/2\text{-périodique}\end{cases}}

Cas de deux fonctions ayant des périodes distinctes

Soit {f} une fonction de période {T_1}, et soit {g} une fonction de période {T_2}.
On suppose que le rapport {\dfrac{T_1}{T_2}} est rationnel. Alors {f+g} et {fg} sont encore périodiques.

Par exemple : si {T_1=\dfrac{3\pi}4} et {T_2=\dfrac\pi2}, alors {f+g} et {fg} sont {\dfrac{3\pi}2}-périodiques.

Mais si {\dfrac{T_{1}}{T_{2}}} est irrationnel, alors {f+g} et {fg} ne sont en général pas périodiques.

Si {f} est de période {T}, et si {\alpha\ne0}, alors {g:x\mapsto f(\alpha x+\beta)} est de période {\dfrac T{|\alpha|}}.

Monotonie des fonctions numériques

Définition
Soit {f:\mathcal{D}\to\mathbb{R}} une fonction numérique. On dit que {f} est :

  • croissante (au sens large) si : {\forall\,(x,y)\in \mathcal{D}^2,\;x\le y\Rightarrow f(x)\le f(y)}.
    décroissante (au sens large) si : {\forall\,(x,y)\in \mathcal{D}^2,\;x\le y\Rightarrow f(x)\ge f(y)}.
  • strictement croissante si : {\forall\,(x,y)\in \mathcal{D}^2,\;x\lt y\Rightarrow f(x)\lt f(y)}.
    strictement décroissante si : {\forall\,(x,y)\in \mathcal{D}^2,\;x\lt y\Rightarrow f(x)>f(y)}.
  • monotone (au sens large) si {f} est croissante ou décroissante.
    strictement monotone si {f} est strictement croissante ou strictement décroissante.

Remarques

Quand on parle de monotonie, c’est par défaut de monotonie au sens large.

{f} est croissante (resp. décroissante) {\Longleftrightarrow} {f} conserve (resp. inverse) les inégalités larges.

{f} est strictement croissante (resp. décroissante) {\Longleftrightarrow} {f} conserve (resp. inverse) les inégalités strictes.

Seules les fonctions constantes sont à la fois croissantes et décroissantes.

Dire que {f:\mathcal{D}\to\mathbb{R}} n’est pas monotone, c’est dire : {\exists\,(x,y,z)\in\mathcal{D}^3,\;z\in[x,y],\;f(z)\notin[f(x),f(y)]}

Soit {f:I\to\mathbb{R}} une fonction monotone sur un intervalle {I}. Dire que {f} n’est pas strictement monotone signifie qu’il existe un segment {[a,b]} inclus dans {I} (avec {a\lt b}) sur lequel {f} garde une valeur constante.

Monotonie et taux d’accroissement

Pour {a\ne b} dans {\mathcal{D}}, soit {T_{f}(a,b)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}} le taux d’accroissement de {f} entre {a} et {b}.

Il mesure le coefficient directeur de la corde entre {M(a,f(a))} et {N(b,f(b))}.

Avec ces notations :

  • {f} est croissante (au sens large) {\Leftrightarrow} tous ses taux d’accroissement sont positifs ou nuls.
  • {f} est décroissante (au sens large) {\Leftrightarrow} tous ses taux d’accroissement sont négatifs ou nuls.
  • {f} est strictement croissante {\Leftrightarrow} tous ses taux d’accroissement sont strictement positifs.
  • {f} est strictement décroissante {\Leftrightarrow} tous ses taux d’accroissement sont strictement négatifs.

Opérations sur les taux d’accroissement

Soit {f} et {g} deux fonctions numériques, définies sur {\mathcal{D}}. Soit {\lambda} un nombre réel.

On a les égalités suivantes, en termes de taux d’accroissement :

{T_{\lambda f}(a,b)=\dfrac{(\lambda f)(b)-(\lambda f)(a)}{b-a}=\lambda \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=\lambda T_{f}(a,b)} {\begin{array}{rl}T_{f+g}(a,b)&=\dfrac{(f+g)(b)-(f+g)(a)}{b-a}\\\\&=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}+\dfrac{g(b)-g(a)}{b-a}=T_{f}(a,b)+T_{g}(a,b)\end{array}} {\begin{array}{rl}T_{fg}(a,b)&=\dfrac{(fg)(b)-(fg)(a)}{b-a}\\\\&=g(b)\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}+f(a)\dfrac{g(b)-g(a)}{b-a}\\\\&=g(b)T_{f}(a,b)+f(a)T_{g}(a,b)\end{array}}

Voici deux propositions qui résultent directement des calculs précédents.

Proposition (sommes de fonctions monotones)
Soit {f} et {g} deux fonctions monotones sur leur domaine {\mathcal{D}}.
Si {f} et {g} ont même monotonie, alors {f+g} est monotone sur {\mathcal{D}} de même monotonie que {f} et {g}.
Si de plus {f} ou {g} est strictement monotone, alors {f+g} est strictement monotone.

Il est clair que si {f:\mathcal{D}\to\mathbb{R}} est monotone, et que si {\lambda} est un réel :

  • si {\lambda\ge0}, alors la fonction {\lambda f} a la même monotonie que {f}
  • si {\lambda\le0}, alors la fonction {\lambda f} a la monotonie contraire de celle de {f}

En particulier, la fonction {-f} a la monotonie contraire de celle de {f}.

Il y a davantage de cas particuliers à envisager pour le produit de deux fonctions monotones :

Proposition (produits de fonctions monotones)
Soit {f} et {g} deux fonctions monotones sur leur domaine {\mathcal{D}}.

  • Si {f} et {g} sont positives croissantes, alors {fg}
    est positive croissante.
    Si {f} et {g} sont positives décroissantes, alors {fg} est positive décroissante.
  • Si {f} et {g} sont négatives croissantes, {fg} est positive décroissante.
    Si {f} et {g} sont négatives décroissantes, {fg} est positive croissante.
  • Si {f} est positive croissante et {g} négative décroissante, {fg} est négative décroissante.
    Si {f} est positive décroissante et {g} négative croissante, {fg} est négative croissante.

Remarques :

Dans les cas autres que ceux énumérés ci-dessus, on ne peut rien dire.

Quand {f} et {g} sont de monotonies contraires, il n’y a donc pas de résultat général concernant {f+g}.

De même, on ne peut rien dire a priori de la monotonie de {fg} si, par exemple, {f} est positive croissante tandis que {g} est positive décroissante.

Taux d’accroissement de {1/f} si {f} ne s’annule pas

Soit {f:\mathcal{D}\to\mathbb{R}}, ne s’annulant pas. Pour tous {a,b} de {\mathcal{D}} (avec {a\ne b}) :
{\begin{array}{rl}T_{1/f}(a,b)&=\dfrac{(1/f)(b)-(1/f)(a)}{b-a}=\dfrac{1}{b-a}\Bigl(\dfrac{1}{f(b)}-\dfrac{1}{f(a)}\Bigr)\\\\&=\dfrac{-1}{f(a)f(b)}\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=\dfrac{-1}{f(a)f(b)}\,T_{f}(a,b)\end{array}}
On en déduit alors facilement le résultat suivant :

Proposition (monotonie de 1/f si f est monotone)
Soit {f} une fonction monotone de {\mathcal{D}} dans {\mathbb{R}}.
On suppose que {f} est strictement positive (ou strictement négative) sur {\mathcal{D}}.
Alors {\dfrac 1f} est monotone sur {\mathcal{D}}, de monotonie contraire à celle de {f}.

Remarque :

La condition que {f} ne change pas de signe est importante.

Par exemple la fonction {x\mapsto x} est croissante sur {\mathbb{R}^{*}}, mais {x\mapsto 1/x} n’est pas monotone sur {\mathbb{R}^{*}} (en revanche elle est strictement décroissante sur chacun des intervalles {\mathbb{R}^{-*}} et {\mathbb{R}^{+*}}).

Taux d’accroissement de {g\circ f}

Soit {f:\mathcal{D}\to\mathbb{R}} et {g:\mathcal{D}'\to\mathbb{R}} deux fonctions numériques, de domaines {\mathcal{D}} et {\mathcal{D}'}.

On suppose que {f} est injective sur {\mathcal{D}}. Pour tous {a,b} de {\mathcal{D}} (avec {a\ne b}) :
{\begin{array}{rl}T_{g\circ f}(a,b)&=\dfrac{g(f(b))-g(f(a))}{b-a}\\\\&=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\;\dfrac{g(f(b))-g(f(a))}{f(b)-f(a)}=T_{f}(a,b)\;T_{g}(f(a),f(b))\end{array}}

Proposition (composition de fonctions monotones)
Soit {f:\mathcal{D}\to\mathbb{R}} et {g:\mathcal{D}'\to\mathbb{R}} deux fonctions numériques, avec {f(\mathcal{D})\subset\mathcal{D}'}.
Si {f} et {g} ont la même monotonie, alors {g\circ f} est croissante sur son domaine.
Si {f,g} sont de monotonies contraires, alors {g\circ f} est décroissante sur {\mathcal{D}}.

Les deux propriétés précédentes restent vraies pour des monotonies strictes.

Fonctions majorées, minorées, bornées

Définition
On dit que {f} est majorée sur {\mathcal{D}} s’il existe un réel {\beta} tel que : {\forall\, x\in \mathcal{D},\;f(x)\le\beta}.
On dit que {f} est minorée sur {\mathcal{D}} s’il existe un réel {\alpha} tel que : {\forall\, x\in \mathcal{D},\;\alpha\le f(x)}.
On dit que {f} est bornée sur {\mathcal{D}} si elle y est majorée et minorée.
Ainsi, {f} est bornée sur {\mathcal{D}} s’il existe {\alpha,\beta} tels que : {\forall\, x\in \mathcal{D},\;\alpha\le f(x)\le\beta}.

Remarques

Soit {f:\mathcal{D}\to\mathbb{R}}. Notons {f(\mathcal{D})=\{f(x),x\in \mathcal{D}\}} son ensemble image.

Dire que {f} est majorée (resp. minorée, bornée) sur {\mathcal{D}}, c’est dire que l’ensemble {f(\mathcal{D})} est une partie majorée (resp. minorée, bornée) de {\mathbb{R}}.

Si {f} est majorée sur {\mathcal{D}}, on note {\sup\limits_{\mathcal{D}}f}, ou encore {\sup\limits_{x\in \mathcal{D}}f(x)}, la borne supérieure de {f(\mathcal{D})}.

Si {f} est minorée sur {\mathcal{D}}, on note {\inf\limits_{\mathcal{D}}f}, ou encore {\inf\limits_{x\in \mathcal{D}}f(x)}, la borne inférieure de {f(\mathcal{D})}.

Dire que la fonction {f} est bornée sur {\mathcal{D}}, c’est dire que la fonction {\left|f\right|} est majorée sur {\mathcal{D}}.

S’il existe {x_{0}\in\mathcal{D}} tel que {f(x_{0})=\sup\limits_{\mathcal{D}}f}, on note {f(x_{0})=\max\limits_{\mathcal{D}}f} (maximum global en {x_{0}}).

De même, s’il existe {x_{1}\in\mathcal{D}} tel que {f(x_{1})=\inf\limits_{\mathcal{D}}f}, on note {f(x_{1})=\min\limits_{\mathcal{D}}f} (minimum global).

Quelques propriétés faciles à vérifier

Si {f,g} sont majorées sur {\mathcal{D}}, alors {f+g} est majorée et {\displaystyle\sup_\mathcal{D}(f+g)\le\displaystyle\sup_{\mathcal{D}}f+\displaystyle\sup_{\mathcal{D}}g}.

Si {f,g} sont minorées sur {\mathcal{D}}, alors {f+g} est minorée et {\displaystyle\inf_\mathcal{D}(f+g)\ge\displaystyle\inf_{\mathcal{D}}f+\displaystyle\inf_{\mathcal{D}}g}.

On a les égalités : {\displaystyle\inf_\mathcal{D}(-f)=-\displaystyle\sup_{\mathcal{D}}f}, et {\displaystyle\sup_\mathcal{D}(-f)=-\displaystyle\inf_{\mathcal{D}}f}.

Si {\alpha>0}, alors {\displaystyle\sup_\mathcal{D}(\alpha f)=\alpha\,\displaystyle\sup_{\mathcal{D}}f} et {\displaystyle\inf_\mathcal{D}(\alpha f)=\alpha\,\displaystyle\inf_{\mathcal{D}}f}.
(on pourra chercher la réponse dans la cas {\alpha\lt 0}).

Si {f} et {g} sont bornées sur {\mathcal{D}}, alors {fg} et {\alpha f+\beta g} sont bornées sur {\mathcal{D}}.

Question : si {f} est bornée et ne s’annule pas sur {\mathcal{D}}, {\dfrac{1}{f}} est-elle bornée sur {\mathcal{D}}?

L’interprétation graphique de la notion de fonction majorée et/ou minorée est facile:

Une fonction minorée par {0}

Ici {f} est décroissante sur {\mathbb{R}^{+}}, et on a {\max\limits_{\mathbb{R}^{+}}f=1} et {\inf\limits_{\mathbb{R}^{+}}f=0}

Une fonction bornée

Ici on a : {\forall\, x\in\mathcal{D},\;\alpha\le f(x)\le\beta}

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