Fonctions usuelles

Plan du chapitre "Techniques d'analyse"

Exponentielle, logarithme népérien

Définition (fonction exponentielle)
Il existe une fonction unique {x\mapsto y(x)}, dérivable sur {\mathbb{R}}, et telle que : {\begin{cases}\forall\, x\in\mathbb{R},\;y'(x)=y(x)\cr y(0)=1\end{cases}}
On l’appelle la fonction exponentielle, et on la note {x\mapsto \exp(x)}.
Définition
La fonction {x\mapsto\exp(x)} est une bijection strictement croissante de {\mathbb{R}} sur {\mathbb{R}^{+*}}.
Sa bijection réciproque, de {\mathbb{R}^{+*}} sur {\mathbb{R}}, appelée fonction logarithme népérien, est notée {x\mapsto \ln x}.

Propriétés

  • Par définition, on a l’équivalence : {\begin{cases}y=\exp(x)\cr x\in\mathbb{R}\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=\ln(y)\cr y>0\end{cases}}

  • La fonction {x\mapsto\exp(x)} est indéfiniment dérivable sur {\mathbb{R}} et : {\forall\, n\in\mathbb{N},\;\exp^{(n)}=\exp}.
    La fonction {x\mapsto\ln(x)} est définie sur {\mathbb{R}^{+*}} par: {\forall\, x>0,\;\ln'(x)=\dfrac1x} et {\ln(1)=0}.
    La fonction {x\mapsto\ln(x)} est strictement croissante et indéfiniment dérivable sur {\mathbb{R}^{+*}}.
  • On note \text{e} l’unique réel strictement positif tel que {\ln(e)=1}. On a : {\text{e}\approx2.718281828}.

  • Le logarithme népérien est l’unique primitive sur {\mathbb{R}^{+*}}, s’annulant en {x=1}, de la fonction {x\mapsto\dfrac1x}.
    En d’autres termes : {\forall x>0,\; \ln(x)=\displaystyle\int_1^x\dfrac{\,\text{d}t}t}.

  • La fonction {x\mapsto\exp(x)} est convexe sur {\mathbb{R}} (sa dérivée seconde est {\exp(x)>0}).

    Pour tout {x} de {\mathbb{R}}, on a l’inégalité {\exp(x)\ge1+x} (avec égalité {\Leftrightarrow x=0}).

  • La fonction {x\mapsto\ln(x)} est concave (sa dérivée seconde est {-\dfrac1{x^2}\lt 0}).

    Pour tout {x>0}, on a l’inégalité {\ln(x)\le x-1} (avec égalité {\Leftrightarrow x=1}).

Courbes représentatives des fonctions {x\mapsto\text{e}^{x}} et {x\mapsto\ln(x)}:

Propriétés fonctionnelles:

Pour tous {x,y} de {\mathbb{R}} : {\exp(x+y)=\exp(x)\;\exp(y),\quad\exp(-x)=\dfrac1{\exp(x)},\quad\exp(x-y)=\dfrac{\exp(x)}{\exp(y)}}
Pour tous {x,y} de {\mathbb{R}^{+*}} : {\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y),\quad\ln\Bigl(\dfrac1x\Bigr)=-\ln(x),\quad \ln\Bigl(\dfrac{x}{y}\Bigr)=\ln(x)-\ln(y)}

Notation {x\mapsto\text{e}^x}

Pour tout {n} de {\mathbb{N}}, on a {\exp(n)=\exp(1)^n=\text{e}^n}.
Cette propriété se généralise aux exposants rationnels.

On décide d’étendre encore cette définition en posant : {\forall\, x\in\mathbb{R},\;\text{e}^x=\exp(x)}.
On définit ainsi les puissances de \text{e} avec exposant réel quelconque.

Toutes les propriétés de la fonction exponentielle peuvent alors se réécrire en utilisant cette notation.

Limites usuelles:

Pour l’exponentielle : {\left\{\begin{array}{lll}\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\exp(x)=0^+,&\quad\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\exp(x)=+\infty,&\quad \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\exp(x)}x=+\infty\\\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x\exp(x)=0,&\quad\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\exp(x)-1}x=1\end{array}\right.}

Pour le logarithme népérien : {\left\{\begin{array}{lll}\displaystyle\lim_{x\to0^+}\ln(x)=-\infty,&\quad\displaystyle\lim_{+\infty}\ln(x)=+\infty,&\quad\displaystyle\lim_{x\to0^+}x\ln(x)=0^-\\\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}x=0^+,&\quad\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\ln(1+x)}x=1,&\quad \displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{\ln(x)}{x-1}=1\end{array}\right.}

Fonctions exponentielles de base quelconque

Définition (fonctions exponentielles de base quelconque)
Pour tout réel {a>0}, et pour tout réel {x}, on pose {a^x=\exp(x\ln(a))}.
La fonction {x\mapsto a^x} est appelée fonction exponentielle de base {a}.

Propriétés des fonctions exponentielles de base quelconque

  • Pour {a=\text{e}}, on retrouve la fonction {x\mapsto\exp(x)}, déjà notée {x\mapsto \text{e}^x}.
    La fonction {x\mapsto \exp(x)=\text{e}^x} est donc la fonction exponentielle de base \text{e}.

  • La notation {a^x} étend la définition de {a^r} pour {r} rationnel.

  • Pour tout réel {a>0}, la fonction {x\mapsto a^x} est définie et continue sur {\mathbb{R}}.
    Elle est même indéfiniment dérivable : {\forall\, x\in\mathbb{R},(a^x)'=(\ln(a))a^x}.

  • La fonction {x\mapsto a^x} est {\begin{cases}\text{\ strictement croissante si }a>1\cr\text{strictement décroissante si\ }0\lt a\lt 1\cr\text{constante égale à 1 si\ }a=1\end{cases}}
  • Si {a\ne1}, la fonction {x\mapsto a^x} réalise une bijection de {\mathbb{R}} sur {\mathbb{R}^{+*}}.
    La bijection réciproque est {x\mapsto\log_a x=\dfrac{\ln(x)}{\ln(a)}} appelée fonction logarithme de base {a}.

    Ainsi la fonction logarithme de base {10} est définie sur {\mathbb{R}^{+*}} par {\log_{10}x=\log x=\dfrac{\ln(x)}{\ln(10)}}.
    Cette fonctions est la bijection réciproque de la fonction {x\mapsto10^x}.

  • Pour tout {x} de {\mathbb{R}} et tout {a>0}, on a {\Bigl(\dfrac{1}{a}\Bigr)^x=a^{-x}}.
    Les courbes représentatives de {x\mapsto a^x} et {x\mapsto\Bigl(\dfrac1a\Bigr)^x} sont donc symétriques l’une de l’autre par rapport à l’axe des ordonnées.
  • Courbes représentatives des fonctions {x\mapsto a^{x}} et {x\mapsto b^{x}}, avec {a>1} et {b=\dfrac1a} :

Propriétés fonctionnelles

Pour tous {x,y} de {\mathbb{R}}, pour tout {a,b} de {\mathbb{R}^{+*}}, on a :
{\left\{\begin{array}{lll}a^{x+y}=a^x\,a^y, &\quad a^{-x}=\dfrac1{a^x}, &\quad a^{x-y}=\dfrac{a^x}{a^y}\\(a^x)^y=a^{xy},&\quad a^x\,b^x=(ab)^x,&\quad \dfrac{a^x}{b^x}=\Bigl(\dfrac{a}{b}\Bigr)^x\end{array}\right.}

Limites usuelles:
{\displaystyle\lim_{x\to-\infty}a^x=\begin{cases}0&\text{\ si\ }a>1\\+\infty&\text{\ si\ }0\lt a\lt 1\end{cases}\qquad\displaystyle\lim_{x\to+\infty}a^x=\begin{cases}+\infty&\text{\ si\ }a>1\\0&\text{\ si\ }0\lt a\lt 1\end{cases}}

Fonctions puissances x ↦ x^α, avec α réel

Définition (fonctions puissances)
Soit {\alpha} un nombre réel quelconque.
On appelle fonction puissance d’exposant {\alpha} la fonction définie sur {\mathbb{R}^{+*}} par {x\mapsto x^\alpha=\exp(\alpha\ln(x))}.

Propriétés

  • Quand l’exposant {\alpha} est entier ou rationnel, cette définition de la fonction {x\mapsto x^\alpha} est compatible avec celle qu’on connaissait déjà (sur un domaine parfois plus large que {\mathbb{R}^{+*}}).
  • La dérivée de {x\mapsto x^\alpha} est {x\mapsto\alpha x^{\alpha-1}}.
    Sur son domaine {\mathbb{R}^{+*}}, la fonction {x\mapsto x^\alpha} est strictement croissante si \alpha>0, strictement décroissante si \alpha\lt 0, et constante en 1 si \alpha=0

  • Si {\alpha\ne0}, la fonction {x\mapsto x^\alpha} est une bijection de {\mathbb{R}^{+*}} sur lui-même.
    Sa bijection réciproque est la fonction {x\mapsto x^{1/\alpha}}

  • Si {\alpha>0}, {x\mapsto x^\alpha} est prolongeable par continuité à l’origine en lui donnant la valeur {0}.
    En {(0,0)}, la courbe présente alors une tangente horizontale si {\alpha>1} et verticale si {0\lt \alpha\lt 1}.
    Toutes les courbes représentatives des fonctions {x\mapsto x^\alpha} passent par le point {(1,1)}.
  • Le placement des différentes courbes est le suivant ({\forall\, x>0,\;\forall\,(\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2}, avec {\alpha\lt \beta}) :
    Si 0\lt x\lt 1 alors x^\alpha>x^\beta, mais si x>1 alors x^\alpha\lt x^\beta.

    Ainsi, les puissances sont dans l’ordre des exposants pour {x>1}, et dans l’ordre contraire avant.

Propriétés fonctionnelles

Pour tous {x,y} de {\mathbb{R}^{+*}}, pour tout {\alpha,\beta} de {\mathbb{R}}, on a :
{\left\{\begin{array}{ccc}x^{\alpha+\beta}=x^{\alpha}\,x^{\beta},&\quad x^{-\alpha}=\dfrac1{x^{\alpha}}, &\quad x^{\alpha-\beta}=\dfrac{x^{\alpha}}{x^{\beta}}\\(x^\alpha)^\beta=x^{\alpha\beta},&\quad x^\alpha\,y^\alpha=(xy)^\alpha,&\quad \dfrac{x^\alpha}{y^\alpha}=\Bigl(\dfrac{x}{y}\Bigr)^\alpha\end{array}\right.}

Courbes représentatives des fonctions {x\mapsto x^{r}}

Croissances comparées

Les limites suivantes sont importantes à connaître. Elles constituent une “échelle de comparaison” entre fonctions puissances, fonction exponentielle, et fonction logarithme :
{\left\{\begin{array}{ccc}\forall\,\alpha\in\mathbb{R},\;\forall\,\beta>0:&\quad\displaystyle\lim_{-\infty}\left|x\right|^\alpha\exp^\beta (x)=0&\quad \displaystyle\lim_{+\infty}\dfrac{\exp^\beta(x)}{x^\alpha}=+\infty\\\forall\,\alpha>0,\;\forall\,\beta>0:&\quad\displaystyle\lim_{0^+}x^\alpha\left|\ln(x)\right|^\beta=0&\displaystyle\lim_{+\infty}\dfrac{\ln^\beta(x)}{x^\alpha}=0\end{array}\right.}
On peut compléter les résultats précédents avec les fonctions exponentielles de base {a>0}.
Tout dépend en fait de la position de {a} par rapport à {1}.
{\left\{\begin{array}{ccc}\forall\, m>0,\;\forall\, a>1:&\quad\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\left|x\right|^m a^x=0&\quad\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{a^x}{x^m}=+\infty\\\forall\, m>0,\;\forall\, a\in]0,1[:&\quad\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{a^x}{\left|x\right|^m}=+\infty&\quad \displaystyle\lim_{x\to+\infty}{x^m}{a^x}=0\end{array}\right.}

Dérivée logarithmique

Si {x,y} sont deux réels non nuls et de même signe, alors {\ln(xy)=\ln\left|x\right|+\ln\left|y\right|}.
En particulier, pour tout {x\ne0}, on a : {\ln(x^2)=2\ln(\left|x\right|)}.
La fonction {x\mapsto\ln\left|x\right|} est définie sur {\mathbb{R}^*} et sa dérivée est {x\mapsto\dfrac1x}.

Définition
Soit {f} une fonction dérivable sur un intervalle {I}, à valeurs dans {\mathbb{R}^*}.
On appelle dérivée logarithmique de {f} la dérivée {\dfrac{f'}f} de la fonction {\ln\left|f\right|}.
Proposition
Soient {f_1,f_2,\ldots,f_n} des fonctions dérivables et strictement positives sur l’intervalle {I}.
Soient {\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n} des réels, et {g=f_1^{\alpha_1}f_2^{\alpha_2}\ldots f_n^{\alpha_n}}.
Alors la dérivée logarithmique de {g} est {\dfrac{g'}{g}=\alpha_1\dfrac{f_1'}{f_1}+\alpha_2\dfrac{f_2'}{f_2}+\cdots+\alpha_n\dfrac{f_n'}{f_n}}.

La dérivée logarithmique s’avère donc un moyen commode de calculer la dérivée d’une fonction qui s’exprime essentiellement à l’aide de quotients, de produits ou de puissances.

Exemple d’utilisation de la dérivée logarithmique

Soit par exemple {f:x\mapsto \sqrt{\left|x(x+2)\right|}\exp\Bigl(\dfrac1x\Bigr)}.
Les théorèmes généraux ne permettent pas de se prononcer pour les valeurs {x=-2} et {x=0}.
En revanche, ils permettent de dire que {f} est dérivable sur (au moins) {\mathbb{R}\setminus\{-2,0\}}.

Pour tout {x} de {\mathbb{R}\setminus\{-2,0\}}, on a : {\ln(f(x))=\dfrac12\ln\left|x(x+2)\right|+\dfrac1x}.

En dérivant, on obtient : {\dfrac{f'(x)}{f(x)}=\dfrac{x+1}{x(x+2)}-\dfrac1{x^2}=\dfrac{x^2-2}{x^2(x+2)}}.

Ainsi {f'=\dfrac{x^2-2}{x^{2}(x+2)}f}.

En dérivant à nouveau sur {\mathbb{R}\setminus\{-2,0\}}, on trouve l’expression de {f''} :
{\begin{array}{rl}f''(x)&=\dfrac{x^2-2}{x^2(x+2)}f'(x)+\dfrac{-x^4+6x^2+8x}{x^4(x+2)^2}f(x)\\\\&=\dfrac{(x^2-2)^2+(-x^4+6x^2+8x)}{x^4(x+2)^2}f(x)=\dfrac{2(x^2+4x+2)}{x^4(x+2)^2}f(x)\end{array}}

On pourra comparer ce calcul de {f''} avec celui obtenu par les méthodes habituelles de dérivation (où la présence d’une valeur absolue n’arrange rien).

Fonctions circulaires réciproques

Les fonctions sinus, cosinus, tangente, ont été vues dans Nombres complexes et trigonométrie”.

Définition (fonction arcsin)
La restriction à {I=\Big[-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\Big]} de {x\mapsto\sin(x)} est une bijection de {I} sur {J=[-1,1]}.
La bijection réciproque est notée {x\mapsto\arcsin(x)} (fonction arc sinus”).

Propriétés

  • La fonction {x\mapsto\arcsin(x)} est une bijection de {[-1,1]} sur {\Big[-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\Big]}.
    Elle est continue, strictement croissante, et impaire.
  • Pour {x\in[-1,1]}, {\arcsin(x)} est l’angle de {\Bigl[-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\Bigr]} dont le sinus est égal à {x} :
    {\begin{cases}y=\arcsin(x)\\ x\in[-1,1]\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=\sin(y)\\ y\in\Big[-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\Big]\end{cases}}
  • Quelques valeurs particulières :

    {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\phantom{\bigg(}x&\;0\,&\;\dfrac12\;&\dfrac{\sqrt2}2&\dfrac{\sqrt3}2&1\cr\arcsin(x)\phantom{\bigg(}&0&\dfrac\pi6&\dfrac\pi4&\dfrac\pi3&\dfrac\pi2\end{array}}
  • Pour tout {x} de {[-1,1]}, {\sin(\arcsin(x))=x}.

    Pour tout {x} de {\Big[-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\Big]}, {\arcsin(\sin(x))=x} (attention au domaine!)

    Pour tout {x} de {[-1,1]}, {\cos(\arcsin(x))=\sqrt{1-x^2}}.

    Pour tout {x} de {]-1,1[}, {\tan(\arcsin(x))=\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}}.

  • Dérivée : pour tout {x} de {]-1,1[}, {\arcsin'(x)=\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}}.

Courbe représentative de la fonction {x\mapsto \arcsin(x)} :

Définition (fonction arccos)
La restriction à {I=[0,\pi]} de {x\mapsto\cos(x)} est une bijection de {I} sur {J=[-1,1]}.
La bijection réciproque est notée {x\mapsto\arccos(x)} (fonction arc cosinus”).

Propriétés

  • La fonction {x\mapsto\arccos(x)} est une bijection de {[-1,1]} sur {[0,\pi]}.
    Elle est continue et strictement décroissante.
  • Pour {x\in[-1,1]}, {\arccos(x)} est l’angle de {[0,\pi]} dont le cosinus est égal à {x} :
    {\begin{cases}y=\arccos(x)\\ x\in[-1,1]\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=\cos(y)\\ y\in[0,\pi]\end{cases}}
  • Quelques valeurs particulières :

    {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\phantom{\bigg(}x&\;0\,&\;\dfrac12\;&\dfrac{\sqrt2}2&\dfrac{\sqrt3}2&\;1\;\cr\phantom{\bigg(}\arccos(x)&\dfrac\pi2&\dfrac\pi3&\dfrac\pi4&\dfrac\pi6&0\end{array}}
  • Pour tout {x} de {[-1,1]}, {\cos(\arccos(x))=x}.

    Pour tout {x} de {[0,\pi]}, {\arccos(\cos(x))=x} (attention au domaine!)

    Pour tout {x} de {[-1,1]}, {\sin(\arccos(x))=\sqrt{1-x^2}}.

    Pour tout {x} de {[-1,0\,[\,\cup\,]\,0,1]}, {\tan(\arccos(x))=\dfrac{\sqrt{1-x^2}}{x}}.

  • Pour tout {x} de {[-1,1]}, {\arccos(-x)+\arccos(x)=\pi}.

    Pour tout {x} de {[-1,1]}, {\arcsin(x)+\arccos(x)=\dfrac\pi2}.

  • Dérivée : pour tout {x} de {]-1,1[}, {\arccos'(x)=-\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}}.

Courbe représentative de la fonction {x\mapsto\arccos(x)} :

Définition (fonction arctan)
La restriction à {I=\Big]-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\Big[} de {x\mapsto\tan (x)} est une bijection de {I} sur {\mathbb{R}}.
La bijection réciproque est notée {x\mapsto\arctan(x)} (fonction arc tangente”).

Propriétés

  • La fonction {x\mapsto\arctan(x)} est une bijection de {\mathbb{R}} sur {\Big]-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\Big[}.
    Elle est continue, strictement croissante, et impaire.
  • Pour tout {x} réel, {\arctan(x)} est l’angle de {\Big]-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\Big[} dont la tangente est égale à {x}.

    On a donc l’équivalence : {\begin{cases}y=\arctan(x)\\ x\in\mathbb{R}\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=\tan(y)\\ y\in\Big]-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\Big[\end{cases}}

  • Quelques valeurs particulières :

    {\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\phantom{\bigg(}x&\;0\,&\dfrac{\sqrt3}3&\;1\;&\sqrt3\cr\phantom{\bigg(}\arctan(x)&0&\dfrac\pi6&\dfrac\pi4&\dfrac\pi3\end{array}}
  • Pour tout {x} de {\mathbb{R}}, {\tan(\arctan(x))=x}.

    Pour tout {x} de {\Big]-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\Big[}, {\arctan(\tan(x))=x} (attention au domaine!).

    Pour tout {x} de {\mathbb{R}}, {\cos(\arctan(x))=\dfrac1{\sqrt{1+x^2}}}.

    Pour tout {x} de {\mathbb{R}}, {\sin(\arctan(x))=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}}.

  • Pour tout {x\in\mathbb{R}^*}, on a : {\arctan(x)+\arctan\Bigl(\dfrac1x\Bigr)=\varepsilon\dfrac\pi2}, avec {\varepsilon=\begin{cases}-1&\text{\ si\ }x\lt 0\\+1&\text{\ si\ }x>0\end{cases}}
  • Dérivée : pour tout {x} de {\mathbb{R}}, {\arctan'(x)=\dfrac1{1+x^2}}.

Courbe représentative de la fonction {x\mapsto \arctan(x)} :

Fonctions hyperboliques

Définition (fonctions x ↦ sh(x) et x ↦ ch(x))
Pour tout {x\in\mathbb{R}}, on pose {\text{ch}(x)=\dfrac{\text{e}^x+\text{e}^{-x}}2} (fonction “cosinus hyperbolique”)
Pour tout {x\in\mathbb{R}}, on pose {\text{sh}(x)=\dfrac{\text{e}^x-\text{e}^{-x}}2} (fonction “sinus hyperbolique”)

Propriétés

  • Les fonctions {x\mapsto\text{ch}(x)} et {x\mapsto \text{sh}(x)} sont indéfiniment dérivables sur {\mathbb{R}}.
    Pour tout {x} de {\mathbb{R}}, on a {\text{sh}'(x)=\text{ch}(x)} et {\text{ch}'(x)=\text{sh}(x)}.
    Les deux fonctions {x\mapsto y=\text{ch}(x)} et {x\mapsto y=\text{sh}(x)} sont donc solutions de {y''=y}.
    La fonction {x\mapsto \text{ch}(x)} est paire, et la fonction {x\mapsto \text{sh}(x)} est impaire.

  • {\forall\, x\in\mathbb{R},\;\begin{cases}\text{ch}(x)+\text{sh}(x)=\text{e}^x\\\text{ch}(x)-\text{sh}(x)=\text{e}^{-x}\end{cases},\;\begin{cases}\text{ch}(x)\ge1\\ \text{ch}^2(x)-\text{sh}^2(x)=1\end{cases}}
  • {\forall\, x\ge0,\;\forall\, y\in\mathbb{R},\;x^2-y^2=1\Leftrightarrow\begin{cases}\exists\, t\in\mathbb{R}\cr\text{ch}(t)=x,\;\text{sh}(t)=y\end{cases}}

    La fonction {t\mapsto(\text{ch} t,\text{sh} t)} est un paramétrage de l’arc d’hyperbole {\begin{cases}x^2-y^2=1\cr x\ge0\end{cases}}

  • Au voisinage de l’origine, on a : {\text{sh}(x)\sim x} (la droite {y=x} est tangente d’inflexion).
    Toujours au voisinage de {0}, on a l’équivalent : {\text{ch}(x)-1\sim\dfrac{x^2}2}.
  • Au voisinage de {+\infty}, on a : {\text{ch}(x)\sim\text{sh}(x)\sim\dfrac{\text{e}^x}2}.
    Les courbes {y=\text{ch}(x)} et {y=\text{sh}(x)} sont asymptotes à {y=\dfrac{\text{e}^x}2}
    (avec {\text{sh}(x)\lt \dfrac{\text{e}^x}2\lt \text{ch}(x)})
  • Au voisinage de {-\infty}, on a : {\text{ch}(x)\sim\dfrac{\text{e}^{-x}}2} et {\text{sh}(x)\sim-\dfrac{\text{e}^{-x}}2}.

Courbes représentatives des fonctions {x\mapsto\text{ch}(x)} et {x\mapsto \text{sh}(x)} :

Définition (fonction x ↦ th(x))
Pour tout {x\in\mathbb{R}}, on pose {\text{th}(x)=\dfrac{\text{sh}(x)}{\text{ch}(x)}} (fonction tangente hyperbolique”)

Propriétés

  • La fonction {x\mapsto\text{th}(x)} est impaire. {\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\text{th}(x)=1}.
    Au voisinage de {0}, on a : {\text{th}(x)\sim x} (la droite {y=x} est tangente d’inflexion).
  • La fonction {x\mapsto\text{th}(x)} est indéfiniment dérivable :
    {\forall\, x\in\mathbb{R},\;\text{th}'(x)=1-\text{th}^2(x)=\dfrac1{\text{ch}^2(x)}}.
  • Pour {x\in\mathbb{R}}, on a : {\text{th}(x)=\dfrac{\text{e}^x-\text{e}^{-x}}{\text{e}^x+\text{e}^{-x}}=\dfrac{\text{e}^{2x}-1}{\text{e}^{2x}+1}=\dfrac{1-\text{e}^{-2x}}{1+\text{e}^{-2x}}\;\text{et}\;\left|\text{th}(x)\right|\le 1}

Courbe représentative de la fonction {x\mapsto\text{th}(x)} :

Trigonométrie hyperbolique

  • {\text{ch}}, {\text{sh}} et {\text{th}} d’une somme ou d’une différence :
    {\begin{cases}\text{ch}(x+y)=\text{ch}(x)\text{ch}(y)+\text{sh}(x)\text{sh}(y)\\\text{ch}(x-y)=\text{ch}(x)\text{ch}(y)-\text{sh}(x)\text{sh}(y)\\\text{sh}(x+y)=\text{sh}(x)\text{ch}(y)+\text{ch}(x)\text{sh}(y)\\\text{sh}(x-y)=\text{sh}(x)\text{ch}(y)-\text{ch}(x)\text{sh}(y)\end{cases}\qquad\begin{cases}\text{ch}(2x)=2\text{ch}^2(x)-1=1+2\text{sh}^2(x)\\\text{sh}(2x)=2\text{sh}(x)\text{ch}(x)\end{cases}}
    {\text{th}(x+y)=\dfrac{\text{th}(x)+\text{th}(y)}{1+\text{th}(x)\text{th}(y)},\quad\text{th}(x-y)=\dfrac{\text{th}(x)-\text{th}(y)}{1-\text{th}(x)\text{th}(y)},\quad\text{th}2x=\dfrac{2\text{th}(x)}{1+\text{th}^2(x)}}
  • Transformations de produits en sommes et de sommes en produits :
    {\begin{cases}\text{ch}(x)\text{ch}(y)=\dfrac12(\text{ch}(x+y)+\text{ch}(x-y))\phantom{\biggl(}\\\text{sh}(x)\text{sh}(y)=\dfrac12(\text{ch}(x+y)-\text{ch}(x-y))\phantom{\biggl(}\\\text{sh}(x)\text{ch}(y)=\dfrac12(\text{sh}(x+y)+\text{sh}(x-y))\phantom{\biggl(}\\\text{ch}^2(x)=\dfrac12(1+\text{ch}(2x))\;\text{et}\;\text{sh}^2(x)=\dfrac12(\text{ch}(2x)-1)\end{cases}}
    {\begin{cases}\text{ch} p+\text{ch} q=2\text{ch}\Bigl(\dfrac{p+q}2\Bigr)\text{ch}\Bigl(\dfrac{p-q}2\Bigr)\phantom{\biggl(}\\\text{ch} p-\text{ch} q=2\text{sh}\Bigl(\dfrac{p+q}2\Bigr)\text{sh}\Bigl(\dfrac{p-q}2\Bigr)\phantom{\biggl(}\\\text{sh} p+\text{sh} q=2\text{sh}\Bigl(\dfrac{p+q}2\Bigr)\text{ch}\Bigl(\dfrac{p-q}2\Bigr)\phantom{\biggl(}\\\text{sh} p-\text{sh} q=2\text{sh}\Bigl(\dfrac{p-q}2\Bigr)\text{ch}\Bigl(\dfrac{p+q}2\Bigr)\end{cases}}
  • Changement de variable {t=\text{th}\Bigl(\dfrac x2\Bigr)} :
    {\quad\text{ch}(x)=\dfrac{1+t^2}{1-t^2}, \quad\text{sh}(x)=\dfrac{2t}{1-t^2}, \quad\text{th}(x)=\dfrac{2t}{1+t^2}}
  • Changement de variable {u=\text{e}^x} :
    {\quad\text{ch}(x)=\dfrac{u^2+1}{2u},\quad\text{sh}(x)=\dfrac{u^2-1}{2u},\quad\text{th}(x)=\dfrac{u^2-1}{u^2+1}}
  • Linéarisation :
    On écrit {\text{ch}^n(x)=\Bigl(\dfrac{\text{e}^{x}+\text{e}^{-x}}2\Bigr)^n} et {\text{sh}^n(x)=\Bigl(\dfrac{\text{e}^{x}-\text{e}^{-x}}{2}\Bigr)^n}.

    On développe (formule du binôme), on groupe les termes équidistants des extrémités, et on réutilise les définitions pour retrouver des {\text{ch}(px)} et/ou des {\text{sh}(px)}.
    Par exemple :

    {\begin{array}{rl}\text{sh}^4(x)&=\Bigl(\dfrac{\text{e}^{x}-\text{e}^{-x}}{2}\Bigr)^4=\dfrac1{16}\,\bigl(\text{e}^{4x}-4\text{e}^{2x}+6-4\text{e}^{-2x}+\text{e}^{-4x}\bigr)\\\\&=\dfrac18\,(\text{ch}(4x)-4\text{ch}(2x)+3)\\\\\text{sh}^5(x)&=\Bigl(\dfrac{\text{e}^{x}-\text{e}^{-x}}{2}\Bigr)^5=\dfrac1{32}\,\bigl(\text{e}^{5x}-5\text{e}^{3x}+10\text{e}^{x}-10\text{e}^{-x}+5\text{e}^{-3x}-\text{e}^{-5x}\bigr)\\\\&=\dfrac1{16}\,\bigl(\text{sh}(5x)-5\text{sh}(3x)+10\text{sh}(x)\bigr)\end{array}}

  • Opération inverse de la linéarisation. On a les égalités :
    {\forall\, x\in\mathbb{R},\;\forall\, n\in\mathbb{N},\;(\text{ch}(x)+\text{sh}(x))^n=(\text{e}^x)^n=\text{e}^{nx}=\text{ch}(nx)+\text{sh}(nx)}

    On peut ainsi exprimer {\text{ch}(nx),\text{sh}(nx)} en fonction de puissances de {\text{ch}(x),\text{sh}(x)}.

    Pour cela on développe {(\text{ch}(x)+\text{sh}(x))^n} par la formule du binôme.

    La partie paire (resp. impaire) du résultat est alors égale à {\text{ch}(nx)} (resp. {\text{sh}(nx)}).

    Par exemple :

    {\begin{array}{l}(\text{ch}(x)+\text{sh}(x))^4\\\\\quad=\text{ch}^4(x)+4\text{ch}^3(x)\text{sh}(x)+6\text{ch}^2(x)\text{sh}^2(x)+4\text{ch}(x)\text{sh}^3(x)+\text{sh}^4(x)\\\\\quad\Rightarrow\begin{cases}\text{ch}(4x)=\text{ch}^4(x)+6\text{ch}^2(x)\text{sh}^2(x)+\text{sh}^4(x)\\\text{sh}(4x)=4\text{ch}^3(x)\text{sh}(x)+4\text{ch}(x)\text{sh}^3(x)\end{cases}\\\\\quad\Rightarrow\begin{cases}\text{ch}(4x)=\text{ch}^4(x)+6\text{ch}^2(x)(\text{ch}^2(x)-1)+(\text{ch}^2(x)-1)^2\\\text{sh}(4x)=4\text{ch}(x)((1+\text{sh}^2(x))\text{sh}(x)+\text{sh}^3(x))\end{cases}\\\\\quad\Rightarrow\begin{cases}\text{ch}(4x)=8\text{ch}^4(x)-8\text{ch}^2(x)+1\\\text{sh}(4x)=4\text{ch}(x)(2\text{sh}^3(x)+\text{sh}(x))\end{cases}\end{array}}

  • Liens entre la trigonométrie hyperbolique et la trigonométrie circulaire.

    Les formules de la trigonométrie hyperbolique peuvent être retrouvées à partir de celles de la trigonométrie circulaire, avec les égalités suivantes :
    {\quad\cos(ix)=\text{ch}(x),\quad\sin(ix)=i\text{sh}(x),\quad\tan(ix)=i\text{th}(x)}
    Par exemple :
    {\begin{array}{rl}\sin^3(x)&=\dfrac14(-\sin(3x)+3\sin(x))\Rightarrow\sin^3(ix)=\dfrac14(-\sin(3ix)+3\sin(ix))\\\\&\Rightarrow-i\,\text{sh}^3(x)=\dfrac14(-i\text{sh}(3x)+3i\text{sh}(x))\Rightarrow\text{sh}^3(x)=\dfrac14(\text{sh}(3x)-3\text{sh}(x))\end{array}}

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