Études de fonctions, inégalités

Plan du chapitre "Techniques d'analyse"

Plan d’étude d’une fonction numérique

L’étude d’une fonction numérique {f} consiste en général en les étapes suivantes :

  • Préciser le domaine de définition {\mathcal{D}} et la dérivabilité de {f}.
  • Si {f} est périodique, ou si on devine un axe ou un centre de symétrie (du fait notamment de la parité ou de l’imparité de {f}), on en profite pour réduire “le domaine d’étude”.
    Si on ne devine rien, il est prudent de dire “pas de réduction évidente du domaine d’étude”.

  • Étudier le sens de variation de {f}, et dresser le tableau de variations.
    On pourra compléter ce tableau par les “limites aux bornes du domaine”.

  • Effectuer les études locales pour une compréhension fine du comportement de {f} en certains points : ceux par exemple où la dérivabilité de {f} pose problème, ou encore les branches infinies.

  • Tracer soigneusement la courbe représentative.

Nous allons maintenant revenir en détail sur quelques-unes de ces étapes.

Dérivabilité sur le domaine de définition

On commence toujours par préciser le domaine de définition {\mathcal{D}} de {f}.

Il s’agit en général d’un intervalle, ou d’une réunion d’intervalles.

On indique ensuite sur quelle partie de ce domaine on peut appliquer les résultats généraux portant sur les opérations entre fonctions usuelles, et donc conclure à la continuité et/ou à la dérivabilité de {f}.

On est d’ailleurs souvent amené à affirmer directement que {f} est indéfiniment dérivable sur son domaine (ou sur une partie de celui-ci) en vertu de ces mêmes résultats.

À ce stade, il est possible que certains points isolés “posent problème” (on ne peut appliquer les résultats généraux). Cela ne veut pas dire, pour autant, que {f} ne sera pas dérivable en ces points, et il conviendra de répondre (plus tard) à cette question par des “études locales”.

Réduction du domaine d’étude

Connaissant le domaine de définition {\mathcal{D}} de {f}, on détermine le domaine d’étude {\mathcal{D}_e} de {f}, c’est-à-dire la partie de {\mathcal{D}} sur laquelle il suffit d’étudier {f} pour connaître son comportement global.

C’est ici le moment d’indiquer si la fonction {f} est {T}-périodique (ce qui permet de réduire l’étude à un intervalle de longueur {T}), et si elle est paire ou impaire (pour se limiter alors à {x\ge0}).

Plus exceptionnellement, il se peut que {f} vérifie des égalités {f(2a-x)=f(x)} (axe de symétrie {x=a}) ou {f(2a-x)=-f(x)} (centre de symétrie {(a,0)}) ou {f(2a-x)=2b-f(x)} (centre de symétrie {(a,b)}). Dans ce cas, on limite l’étude à {x\ge a} (ou à {x\le a}).

Il arrive parfois que {f} soit à la fois paire (ou impaire) et {T}-périodique, auquel cas on pourra se contenter de l’étude de {f} sur une demi-période (souvent l’intervalle {[0,T/2]}).

Si {T} est une période de {f}, on vérifiera qu’elle est la “plus petite période” (essayer {T/2} par exemple).

Il arrive parfois que si {T} est une période {f}, on ait {f(x+T/2)=-f(x)}, ou {f(T-x)=f(x)}. L’étude peut alors être réduite à un intervalle de longueur {T/2}.

Tableau des variations

Connaissant le domaine d’étude {\mathcal{D}_e} de {f}, on examine le sens de variations de {f}.

Cela consiste à dire, intervalle par intervalle, si {f} est croissante ou décroissante, et à signaler les extremums relatifs (on dit aussi locaux) ou absolus (on dit aussi globaux).

L’étude du sens de variation de {f} passe souvent par le signe de {f'}, mais il arrive parfois qu’on puisse conclure par des résultats généraux sur les opérations entre fonctions monotones usuelles.

Il arrive aussi que l’étude du signe de {f'} ne soit pas particulièrement facile : dans certains cas, on est amené à étudier les variations de {f''}, ou à étudier une fonction auxiliaire.

Le tableau des variations, soigné, doit indiquer clairement les intervalles formant le domaine d’étude.

On apportera un intérêt particulier aux frontières de ces intervalles, ainsi qu’aux points qui présentent un intérêt certain (notamment ceux où {f} possède un maximum ou un minimum local).

On signalera par exemple les intersections du graphe {(\Gamma)} de {f} avec les axes (et en particulier avec {Ox} : il s’agit alors d’indiquer pour quelles valeurs de {x} la fonction {f} s’annule).

Le tableau de variation contient en général une ligne pour le signe de {f'}, mais on peut être amené à utiliser une ligne supplémentaire pour le signe de {f''} : c’est l’occasion de préciser la concavité de {f}, et ses éventuels points d’inflexion.

Études locales et tracé du graphe

Après l’étude globale (réduction éventuelle du domaine d’étude, sens de variation) et avant de procéder au tracé de la courbe représentative de {f}, il peut être nécessaire de préciser quelques études locales.

Prolongement par continuité

On étudie les réels {a} éventuels où la continuité ou la dérivabilité de {f} pose problème (c’est-à-dire ne découle pas des résultats généraux sur les opérations entre fonctions continues ou dérivables).

On examine s’il y a une limite finie {b=\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)} (des deux cotés de {a}, ou d’un seul).

Si c’est le cas, on peut effectuer un prolongement par continuité en posant {f(a)=b}.

Demi-tangente horizontale ou oblique

Pour examiner l’existence d’une tangente au point {A(a,b)}, on calcule {\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}}.

Cela donne la position limite de la corde de {A(a,f(a))} à {M(x,f(x))} quand “{M} tend vers {A}“.

Supposons par exemple {\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=\delta} ({\delta\in\mathbb{R})}.

On conclut alors à la présence en {A(a,f(a))} d’une tangente (ou d’une demi-tangente) {\Delta} à la courbe {(\Gamma)}, de coefficient directeur {\delta} (donc horizontale si {\delta=0}, et oblique si {\delta\ne0}).

L’équation de cette (demi-)tangente {\Delta} est {y=f(a)+(x-a)\delta}.

Il est recommandé de préciser le placement de {(\Gamma)} par rapport à cette demi-tangente, donc d’étudier le signe de la différence {f(x)-f(a)-\delta(x-a)} quand {x} tend vers {a}.

Demi-tangente verticale

Supposons au contraire {\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=\pm\infty}.

On conclut dans ce cas à la présence d’une tangente (ou demi-tangente) verticale en {A(a,b=f(a))}.

On illustrera par un dessin (pour une demi-tangente, on indiquera dans quel sens elle est dirigée).

Bien sûr cela demande parfois des connaissances et des techniques assez fines en analyse (par exemple l’utilisation des développements limités), qui ne sont pas forcément acquises à ce stade de l’année.

Asymptotes verticales ou horizontales

On note les réels {a} éventuels tels que {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty}

À un tel {a} correspond l’asymptote verticale {x=a} (faire un dessin pour préciser l’allure).

Autre étude locale importante : quand {x\to\pm\infty}.

Supposons par exemple {\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=b} ({b\in\mathbb{R}}). On a alors l’asymptote horizontale d’équation {y=b}. On placera {(\Gamma)} par rapport à cette asymptote (signe de {f(x)-b}, ou sens de variations de {f}).

Asymptotes obliques

On suppose ici que {\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\pm\infty}.

Il est alors possible que le graphe {(\Gamma)} de {f} présente une asymptote oblique d’équation {y=ax+b}.

On pourra conclure à l’existence d’une telle asymptote de l’une des manières suivantes :

  • On écrit {y=ax+b+\varphi(x)}, avec {\displaystyle\lim_{x\to \pm\infty}\varphi(x)=0}.
    Dans ce cas, le signe de {\varphi} indique la position de {(\Gamma)} par rapport à l’asymptote.
  • On trouve {\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{f(x)}{x}=a} puis {\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}(f(x)-ax)=b}.
    Le signe de {f(x)-ax-b} donne le placement.

Là encore, les “développements limités”, non encore abordés, peuvent être très utiles.

Branches paraboliques

Il y a deux autres cas fréquents, toujours sous l’hypothèse {\displaystyle\lim_{x\pm\infty}f(x)=\infty} :

  • Si {\displaystyle\lim_{x\pm\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\infty}, on dit que {(\Gamma)} présente une branche parabolique dans la direction {Oy}.

    On précisera si la branche parabolique est tournée vers les {y>0} ou vers les {y\lt 0}.
    Cette terminologie est à rapprocher de l’allure du graphe de {x\mapsto x^2} quand {x\to\pm\infty}.

    Ici, on a : {\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}=-\infty\;\text{et}\;\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=+\infty}

  • Si {\displaystyle\lim_{x\pm\infty}\dfrac{f(x)}{x}=0}, on dit que {(\Gamma)} présente une branche parabolique dans la direction {Ox}.

    Cette terminologie est à rapprocher de l’allure du graphe de {x\mapsto \sqrt{x}} quand {x\to+\infty}.
    Dans ce cas, comme dans tous les précédents, penser à illustrer par un dessin!

    Ici, on a {\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}=0^{-}\;\text{et}\;\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=0^{+}}:

Quelques inégalités utiles

Il est très souvent nécessaire de procéder à des majorations, des minorations, des encadrements.

Bien des techniques sont possibles, et notamment purement algébriques dans les cas les plus simples.

Souvent les inégalités seront obtenues par l’étude du signe d’une expression {f(x)}, ce signe résultant lui-même du sens de variations de {f}.

{\vartriangleright} Inégalités de convexité

Proposition
Soit {f:I\to\mathbb{R}}, deux fois dérivable et convexe (donc telle que {f''(x)\ge0} pour tout {x} de {I}).
Soit {a} un élément de {I}. Pour tout {x} de {I}, on a l’inégalité : {f(x)\ge f(a)+f'(a)(x-a)}.
Proposition
Soit {f:I\to\mathbb{R}}, deux fois dérivable et convexe (donc telle que {f''(x)\ge0} pour tout {x} de {I}).
Soit {a,b} deux éléments de {I}, avec {a\le b}. Alors on a : {f\Bigl(\dfrac{a+b}{2}\Bigr)\le\dfrac{f(a)+f(b)}{2}}.
Plus généralement : {\forall\lambda\in[0,1],\;f(\lambda a+(1-\lambda)b)\le\lambda f(a)+(1-\lambda)f(b)}.

Remarque : dans le cas d’une application concave ({f''\le 0}), les inégalités sont inversées.

Interprétations graphiques, en notant {(\Gamma)} le graphe d’une fonction numérique convexe {f} :

  • La courbe {(\Gamma)} est “partout au-dessus” de sa tangente {\Delta_{a}} au point {A(a,f(a))}.
  • L’arc de {(\Gamma)} entre {A(a,f(a))} et {B(b,f(b))} est situé “en-dessous” de la corde {[A;B]}

Voici deux cas particuliers très importants :

Proposition
Pour tout {x} de {\mathbb{R}}, on a : {\exp(x)\ge1+x}, avec égalité si et seulement si {x=0}.
Pour tout {x>-1}, on a : {\ln(1+x)\le x}, avec égalité si et seulement si {x=0}.

{\vartriangleright} Moyenne géométrique et moyenne arithmétique

Proposition
Soit {x,y} deux réels positifs ou nuls.
Alors on a l’inégalité {\sqrt{ab}\le\dfrac{1}{2}(a+b)}, avec égalité si et seulement si {a=b}.

L’inégalité classique suivante peut être vue comme un cas particulier :

Proposition
Pour tout {x} de {[0,1]}, on a {0\le x(1-x)\le\dfrac{1}{4}}, avec égalité si et seulement si {x=\dfrac{1}{2}}.

On peut au contraire généraliser à une famille de {n} réels positifs ou nuls.

Proposition
Soit {(x_{k})_{1\le k\le n}} une famille de {n} réels positifs ou nuls.
Soit {G=\bigl(\displaystyle\prod_{k=1}^{n}x_{k}\bigr)^{1/n}} la moyenne géométrique des {x_{k}}, et {A=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}} leur moyenne arithmétique.
Alors on a l’inégalité {A\ge G} (avec égalité si et seulement si les {x_{k}} sont tous égaux)

{\vartriangleright} Inégalités trigonométriques

Proposition
Pour tout réel {x} on a: {\left|\sin(x)\right|\le \left|x\right|}, et {\left|1-\cos(x)\right|\le\dfrac{x^{2}}{2}}.

{\vartriangleright} Inégalité de Bernoulli

Proposition
Pour tout {n\ge2}, et tout {x>-1}, on a : {(1+x)^{n}\ge 1+nx} (égalité si et seulement si {x=0}).

{\vartriangleright} Inégalité de Cauchy-Schwarz

Proposition (inégalité de Cauchy-Schwarz)
Pour tous {n}-uplets {u=(x_1,\ldots,x_n)} et {v=(y_1,\ldots,y_n)} de nombres réels, on a : {\Bigl(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}y_{k}\Bigr)^2\le\Bigl(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}^2\Bigr)\Bigl(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}y_{k}^2\Bigr)}
Il y a égalité si et seulement si les {n}-uplets {u,v} sont proportionnels.

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