Dérivation des fonctions numériques

Plan du chapitre "Techniques d'analyse"

Notion de fonction continue

Dans la suite de ce chapitre, on considère essentiellement des fonctions numériques définies sur un intervalle {I} non vide et non réduit à un point (on dit aussi “intervalle d’intérieur non vide”).

Dans le cas fréquent d’une fonction définie sur une réunion d’intervalles disjoints, on se ramène au cas précédent en étudiant la restriction de {f} à chacun de ces intervalles.

Dans ce chapitre, la notion de “fonction continue” (en un point, et plus généralement sur un intervalle) est supposée connue (on se réfèrera au cours de Terminale S).

On se contentera donc pour l’instant d’une approche intuitive de la continuité (la faculté de pouvoir tracer la courbe représentative “sans lever le crayon”).

Les fonctions usuelles (fonctions puissances, trigonométriques, exponentielle, logarithme, etc.) sont continues sur leur domaine (la fonction “partie entière” est une exception notable).

Les deux énoncés suivants permettent donc d’affirmer la continuité d’une fonction numérique définie comme un “cocktail” de fonctions usuelles.

Proposition (sommes, produits et quotients de fonctions continues)
Soit {f} et {g} deux fonctions continues sur l’intervalle {I}.
Alors les fonctions {\alpha f+\beta g} et {fg} sont continues sur {I}.
Si {g} ne s’annule pas sur {I}, alors les fonctions {\dfrac{1}{g}} et {\dfrac{f}{g}} sont continues sur {I}.

Proposition (composée de deux fonctions continues)
Soit {f:I\to\mathbb{R}} et {g:J\to\mathbb{R}} deux fonctions continues, avec {f(I)\subset J}.
Alors la fonction {g\circ f} est continue sur {I}.

Équation de la tangente en un point

La notion de “fonction dérivable” est supposée connue (cf cours de 1ère S et de Terminale S).
On se bornera à dire, de façon très informelle, que {f:I\to\mathbb{R}} est dérivable en un point {a} de {I} si sa courbe représentative présente, au point {A(a,f(a))}, une tangente non verticale {\Delta_{a}}.

On dit que la fonction {f} est dérivable sur l’intervalle {I} si elle est dérivable en tout point de {I}.

On note alors {f'} la fonction qui à toute valeur {a} de {I} associe le coefficient directeur de la tangente {\Delta_{a}}.
L’équation de {\Delta_{a}} est donc : {y=f(a)+(x-a)f'(a)}.

La fonction {f'} est parfois noté {\text{D}(f)}, ou {\dfrac{\text{d}f}{\text{d}x}}.

On généralise à la notion de dérivée à droite (ou à gauche) en un point (notamment aux bornes de {I}).
On parle alors de demi-tangente à droite (ou à gauche) au point correspondant de la courbe {(\Gamma)}.

Opérations sur les fonctions dérivables

À ce stade, les résultats de cette sous-section sont admis.

Proposition (dérivée d'une combinaison linéaire)
Soit {f} et {g} deux fonctions dérivables sur l’intervalle {I}.
Pour tous {\alpha,\beta} dans {\mathbb{R}}, {h=\alpha f+\beta g} est dérivable sur {I} et {h'=\alpha f'+\beta g'}.

Proposition (dérivée d'un produit)
Soit {f} et {g} deux fonctions dérivables sur l’intervalle {I}.
La fonction {fg} est dérivable sur {I} et {(fg)'=f'g+fg'}.
Proposition (dérivée de l'inverse, du quotient)
Soit {g} une fonction dérivable sur {I}, et ne s’annulant pas sur {I}.
Alors la fonction {\dfrac{1}{g}} est dérivable sur {I} et {\Bigl(\dfrac1g\Bigr)'=-\dfrac{g'}{g^2}}.
Si de plus {f} est dérivable sur {I}, alors {\dfrac{f}{g}} est dérivable sur {I} et {\Bigl(\dfrac{f}{g}\Bigr)'=\dfrac{f'g-fg'}{g^2}}
Proposition (dérivée d'une composée)
Soit {f:I\to\mathbb{R}} et {g:J\to\mathbb{R}} deux fonctions dérivables, avec {f(I)\subset J}.
Alors {g\circ f} est dérivable sur {I} et {(g\circ f)'=f'\cdot(g'\circ f)}

Les fonctions usuelles (fonctions puissances, trigonométriques, exponentielle, logarithme, etc.) sont en général dérivables sur leur domaine, mais il y a (au moins) deux exceptions notables :

  • la fonction {x\mapsto \left|x\right|}, continue sur {\mathbb{R}}, n’est pas dérivable en {0} (demi-tangentes non colinéaires).
  • la fonction {x\mapsto \sqrt{x}}, continue sur {\mathbb{R}^{+}}, n’est pas dérivable en {0} (demi-tangente verticale).

Les énoncés sur les opérations entre fonctions dérivables permettent donc de juger de la dérivabilité d’une fonction numérique définie comme un “cocktail” de fonctions usuelles.

Quand ces résultats généraux ne s’appliquent pas (notamment si on considère {x\mapsto\left|f(x)\right|} ou {x\mapsto\sqrt{f(x)}} en un point où {f} s’annule) on sera amené à effectuer une “étude locale”.

Dérivée d’un produit de plusieurs fonctions

Si {f_{1},f_{2},\ldots,f_{n}} sont dérivables sur {I}, il en est de même de leur produit {g=f_{1}f_{2}\cdots f_{n}}.

Plus précisément, on a : {g'=f'_{1}f_{2}\cdots f_{n}+f_{1}f'_{2}f_{3}\cdots f_{n}+f_{1}f_{2}\cdots f_{n-1}f'_{n}}.

Pour dériver le produit des {f_{k}}, on dérive donc chaque {f_{k}} “à son tour” et on fait la somme des résultats.

Un cas particulier est la dérivée de {f^{n}}, où {n\in\mathbb{N}^{*}}. On trouve : {(f^{n})'=nf'f^{n-1}}.

Cela se généralise à {(f^{\alpha})'=\alpha f'f^{\alpha-1}}, où {\alpha} est un réel (à condition que {f^{\alpha}} soit défini).

Si les {f_{k}} ne s’annulent pas, la dérivée de leur produit {g} se retrouve assez bien en considérant :

{\begin{array}{l}\left|g\right|=\displaystyle\prod_{k=1}^{n}\left|f_{k}\right|\Rightarrow\ln\left|g\right|=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\ln\left|f_{k}\right|\\\\\quad\Rightarrow\dfrac{g'}{g}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{f'_{k}}{f_{k}}\Rightarrow g'=g\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{f'_{k}}{f_{k}}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{g}{f_{k}}\,f'_{k}\end{array}}

Dérivabilité et sens de variation

À ce stade, les résultats de cette sous-section sont admis. On rappelle que {I} est un intervalle.

Proposition (caractérisation des fonctions constantes ou monotones)
Soit {f:I\to\mathbb{R}} une fonction dérivable. On les équivalences :
La fonction {f} est constante sur {I} si et seulement si : {\ \forall\, x\in I,\;f'(x)=0}.
La fonction {f} est croissante (au sens large) sur {I} si et seulement si : {\ \forall\, x\in I,\;f'(x)\ge0}.
La fonction {f} est décroissante (au sens large) sur {I} si et seulement si : {\ \forall\, x\in I,\;f'(x)\le0}.

Proposition (caractérisation des fonctions strictement monotones)
Soit {f:I\to\mathbb{R}} une fonction dérivable et monotone. Alors {f} est strictement monotone sur {I} si et seulement si sa dérivée {f'} n’est identiquement nulle sur aucun sous-intervalle de {I} d’intérieur non vide (c’est-à-dire si et seulement si {f'} ne s’annule qu’en des points isolés de {I}).

Remarques

  • Si {f'(x)>0} (resp. {f'(x)\lt 0}) sur {I} alors {f} est strictement croissante (resp. décroissante) sur {I}.
    Mais l’exemple de {f:x\mapsto x+\cos(x)} (strictement croissante sur {\mathbb{R}}, mais de dérivée nulle en tous les {x=\pi/2+k\pi} avec {k} dans {\mathbb{Z}}) confirme que la réciproque n’est pas vraie (la dérivée peut s’annuler, sans que ça remette en cause la stricte monotonie, du moment que c’est en des points isolés).
  • Si on sait que {f} est constante (ou monotone) sur l’intérieur de {I} (sur {I} privé de ses “extrémités”) et si on sait que {f} est continue aux extrémités de {I}, alors le caractère constant ou monotone de {f} s’étend à l’intervalle {I} tout entier.
  • Attention : les résultats énoncés ici sont valables sur un intervalle, pas sur une réunion d’intervalles.
    Par exemple, si {f(x)=\dfrac1x} alors {f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}\lt 0} sur {\mathbb{R}^*}, mais {f} n’est pas monotone sur {\mathbb{R}^*}.

Dérivation de la bijection réciproque

À ce stade, les résultats sont admis.

Proposition (réciproque d'une fonction continue strictement monotone)
Soit {f} une fonction numérique, continue et strictement monotone sur {I}.
Alors {f} réalise une bijection de {I} sur {J=f(I)} (qui est un intervalle).
Alors {f^{-1}} est continue et strictement monotone (de la même monotonie que {f}).

On peut en dire un peu plus dans le cas où la fonction {f} est dérivable de dérivée partout strictement positive (ou partout strictement négative) sur {I}.

Proposition
Soit {f} une fonction numérique, dérivable sur l’intervalle {I}.
On suppose que {f'(x)>0} pour tout {x} de {I}, ou que {f'(x)\lt 0} pour tout {x} de {I}.
Le résultat précédent s’applique. De plus {f^{-1}} est
dérivable sur {J=f(I)} et {(f^{-1})'=\dfrac{1}{f'\circ f^{-1}}}.
Autrement dit, pour tout {a} de {I}, et si on note {b=f(a)}, alors {(f^{-1})'(b)=\dfrac{1}{f'(a)}}.

Interprétation graphique

On suppose ici que le repère est orthonormé. On note {(\Gamma)} le graphe de {f}, et {(\Gamma\,')} celui de {f^{-1}}.

Les deux graphes {(\Gamma)} et {(\Gamma\,')} sont symétriques par rapport à {y=x}.

Soit {A(a,b=f(a))} sur {(\Gamma)}, et {B(b,a=f^{-1}(b))} sur {(\Gamma\,')}.

Soit {\Delta_{a}} la tangente en {A} à {(\Gamma)}, et soit {\Delta'_{b}} la tangente en {B} à {(\Gamma')}.

La droite {\Delta_{a}} a pour coefficient directeur {f'(a)}, et {\Delta'_{b}} a pour coefficient directeur {(f^{-1})'(b)}.

Les droites {\Delta_{a}} et {\Delta'_{b}} sont symétriques par rapport à {y=x}.

L’égalité {(f^{-1})'(b)=\dfrac{1}{f'(a)}} traduit cette symétrie.

Une situation particulière

Avec les notations ci-dessus, supposons que {f} soit dérivable en {a}, mais que {f'(a)=0}.

Alors la tangente {\Delta_{a}} au point {A} de {(\Gamma)} est horizontale.

Par symétrie, il en découle que la courbe {(\Gamma')} présente une tangente verticale au point {B}.

La fonction {f^{-1}} n’est donc pas dérivable en {b}.

Exemples de fonctions réciproques

Les exemples avec {x\mapsto \sin x}, {x\mapsto \cos x} et {x\mapsto \tan x} seront étudiés dans la partie “trigonométrie”.

  • La fonction {x\mapsto\exp(x)} est bijective de {\mathbb{R}} sur {\mathbb{R}^{+\ast}}. Sa bijection réciproque est {x\mapsto\ln(x)}.

  • Pour tout {\alpha>0}, les fonctions {x\mapsto x^\alpha} et {x\mapsto x^{1/\alpha}} sont des bijections réciproques de {\mathbb{R}^{+\ast}} sur {\mathbb{R}^{+\ast}}.
  • La restriction de {x\mapsto\sin(x)} à {\Big[-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\Big]} est bijective de {\Big[-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\Big]} sur {[-1,1]}.
    La bijection réciproque, de {[-1,1]} sur {\Big[-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\Big]}, est notée {x\mapsto\arcsin(x)} (arc sinus de {x}).
  • La restriction de {x\mapsto\cos(x)} à {[0,\pi]} est bijective de {[0,\pi]} sur {[-1,1]}.

    La bijection réciproque, de {[-1,1]} sur {[0,\pi]}, est notée {x\mapsto\arccos(x)} (arc cosinus de {x}).

  • La restriction de {x\mapsto\tan(x)} à {\Big]-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\Big[} est bijective de {\Big]-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\Big[} sur {\mathbb{R}}.

    La bijection réciproque, de {\mathbb{R}} sur {\Big]-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\Big[}, est notée {x\mapsto\arctan(x)} (arc tangente de {x}).

Dérivée seconde, concavité, inflexions

Définition
Soit {f:I\to\mathbb{R}} une fonction numérique dérivable sur un intervalle {I}.
Si {f'} est dérivable sur {I}, on dit que {f} est deux fois dérivable sur {I}, et on note {f''} plutôt que {(f')'}.
On dit que {f''} est la fonction dérivée seconde de {f}.

Concavité

Soit {f:I\to\mathbb{R}} une fonction numérique deux fois dérivable.

  • Dire que {f''\ge0} sur {I}, c’est dire que {f'} est croissante sur {I}.
    Pour la courbe {(\Gamma)} cela se traduit par “une concavité tournée vers le haut”.
    On exprimera cette situation en disant que {f} est une fonction convexe sur {I}.
  • Dire que {f''\le0} sur {I}, c’est dire que {f'} est décroissante sur {I}.
    Pour la courbe {(\Gamma)} cela se traduit par “une concavité tournée vers le bas”.
    On exprimera cette situation en disant que {f} est une fonction concave sur {I}.
  • Si la fonction {f''} change de signe en un point {a} intérieur à l’intervalle {I}, cela se traduit par un “changement de concavité” au point {A(a,f(a))} pour la courbe {(\Gamma)}.
    En ce point la courbe {(\Gamma)} traverse sa tangente.
    On exprime cette situation en disant que {A(a,f(a))} est un point d’inflexion de {(\Gamma)}.

Une fonction {f} convexe

Une fonction {f} concave

Une fonction {f} avec un point d’inflexion en {A}

Dérivées d’ordre supérieur

Soit {f:I\to\mathbb{R}} une fonction numérique, définie sur un intervalle {I} (si {f} est définie sur une réunion d’intervalles, on se limite à la restriction de {f} à l’un de ces intervalles).

Si {f} est dérivable sur {I}, la fonction {f'} est appelée dérivée première de {f}.

Si {f'} est à son tour dérivable sur {I}, la fonction {f''=(f')'} est appelée dérivée seconde de {f}.

Plus généralement, on est amené (si les propriétés de {f} le permettent) à définir les fonctions dérivées successives de {f}. Plus précisément :

Définition (fonction n fois dérivable sur un intervalle)
Soit {f} une fonction numérique définie sur un intervalle de {I}.
Par convention, on pose {f^{(0)}=f}.
Soit {k} dans {\mathbb{N}}. On suppose que la fonction {f^{(k)}:I\to\mathbb{R}} existe et qu’elle est dérivable sur {I}.
On note alors {f^{(k+1)}} la fonction dérivée de {f^{(k)}}, c’est-à-dire : {f^{(k+1)}=(f^{(k)})'}.
Soit {n} dans {\mathbb{N}}. Si la fonction {f^{(n)}:I\to \mathbb{R}} existe, on dit que {f} est {n} fois dérivable sur {I}.
On dit aussi que {f^{(n)}} est la fonction dérivée {n}-ième de {f} sur {I}.

Quelques remarques

  • On retiendra que {f^{(0)}=f} (la dérivée “zéro-ième” de {f}) c’est {f}, et que {f^{(1)}=f'}.
    On note souvent {f''} (plutôt que {f^{(2)}}) et {f'''} (plutôt que {f^{(3)}}) les dérivées seconde et troisième de {f}.
    À partir de la dérivée quatrième (donc si {k\ge 4}), on utilise obligatoirement la notation {f^{(k)}}.
  • Si la fonction {f^{(n)}:I\to\mathbb{R}} existe pour tout {n}, on dit que {f} est indéfiniment dérivable sur {I}.
  • La fonction {f^{(n)}} peut également être notée {\text{D}^nf} ou encore {\dfrac{\text{d}^nf}{\text{d}\,x^n}}.
  • Si la fonction {f} est {n} fois dérivable et si la fonction {f^{(n)}} est elle-même {p} fois dérivable, alors la fonction {f} est {n+p} fois dérivable et {(f^{(n)})^{(p)}=f^{(n+p)}}
Proposition (sommes de fonctions n fois dérivables)
Soit {f:I\to\mathbb{R}} et {g:I\to\mathbb{R}} deux fonctions {n} fois dérivables.
Soit {\alpha} et {\beta} deux réels.
Alors {\alpha f+\beta g} est {n} fois dérivable sur {I} et : {(\alpha f+\beta g)^{(n)}=\alpha f^{(n)}+\beta g^{(n)}}.
Proposition (produit de deux fonctions n fois dérivables)
Soit {f:I\to\mathbb{R}} et {g:I\to\mathbb{R}} deux fonctions {n} fois dérivables.
Alors la fonction produit {fg} est {n} fois dérivable sur {I} et on a : {(fg)^{(n)}=\displaystyle\sum_{k=0}^n\dbinom{n}{k}f^{(k)}g^{(n-k)}}.

Le résultat précédent (connu sous le nom de “formule de Leibniz”) dit par exemple que :

  • La dérivée seconde de {fg} est : {(fg)''=f''g+2f'g'+fg''}

  • La dérivée troisième de {fg} est : {(fg)'''=f'''g+3f''g'+3f'g''+fg'''}

  • La dérivée quatrième de {fg} est : {(fg)^{(4)}=f^{(4)}g+4f'''g'+6f''g''+4f'g'''+fg^{(4)}}
Proposition (quotient de fonctions n fois dérivables)
Soit {f:I\to\mathbb{R}} et {g:I\to\mathbb{R}}, {n} fois dérivables.
On suppose que {g} ne s’annule pas sur {I}.
Alors les fonctions {\dfrac{1}{g}} et {\dfrac{f}{g}} sont {n} fois dérivables sur {I}.

Passé la première dérivée {\Bigl(\dfrac{1}{g}\Bigr)'=-\dfrac{g'}{g^2}}, ça se complique.

On trouve en effet : {\Bigl(\dfrac{1}{g}\Bigr)''=-\Bigl(\dfrac{g'}{g^2}\Bigr)'=-(g'g^{-2})'=\dfrac{2(g')^2-g''g}{g^3}}, etc.

Proposition (composée de fonctions n fois dérivables)
Soit {f:I\to\mathbb{R}} et {g:J\to\mathbb{R}}, deux fonctions {n} fois dérivables, avec {f(I)\subset J}.
Alors la fonction {g\circ f} est {n} fois dérivable sur {I}.

Après {(g\circ f)'=f'\cdot(g'\circ f)}, ça se complique : {(g\circ f)''=f''\cdot(g'\circ f)+(f')^2\cdot(g''\circ f)}, etc.

Proposition ”(réciproque{n}[/latex] fois dérivable)”]
Soit {f:I\to\mathbb{R}} une fonction numérique {n} fois dérivable.
On suppose que {f'(x)>0} pour tout {x} de {I}, ou que {f'(x)\lt 0} pour tout {x} de {I}.
Alors la fonction réciproque {f^{-1}} est {n} fois dérivable sur l’intervalle {J=f(I)}.

Après {(f^{-1})'=\dfrac{1}{f'\circ f^{-1}}}, le calcul de {(f^{-1})''} est plus compliqué (essayez).

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