Matrices semblables, par blocs

(Oral Mines-Ponts)

  1. Soit {D\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}. Calculer {\begin{pmatrix}I_{n} & D \\ 0 & I_{n}\end{pmatrix}}^{-1}.
  2. Soient {A,B} diagonalisables dans{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}.
    On suppose que {\mathrm{Sp}(A)\cap \mathrm{Sp}(B)=\emptyset }.

    • Soit {C\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}. Montrer qu’il existe {D\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})} telle que {AD-DB=C}.
    • Soit {N=\begin{pmatrix}A & C \\0 & B\end{pmatrix}} et {M=\begin{pmatrix}A & 0 \\0 & B\end{pmatrix}}.
      Montrer que {M,N} sont semblables.
      Sont-elles diagonalisables?

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