Exercices sur la réduction (2/2)

Exercice 1. (Oral Mines-Ponts)
Soit {f\!\in\!\mathcal{L}(\mathbb{R}_{n}[X])} défini par {f(\!P\!)\!=\!P(\!1\!-\!X)}
L’endomorphisme {f} est-il injectif ? bijectif?
Déterminer ses éléments propres.
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Exercice 2. (Oral Mines-Ponts)
Soit {M=(x_{i}x_{j})_{1\leq i,j\leq n}\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}.
Donner les éléments propres de {M}.
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Exercice 3. (Oral Mines-Ponts)
Soit {J\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} telle que {J^{2}=-I_{n}}.

  1. Montrer que {n} est pair. On pose {n=2m}.
  2. Montrer que {J} est diagonalisable dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}.
    Donner ses valeurs propres et leurs multiplicités.
  3. On pose {K=\begin{pmatrix}0 & I_{m} \\-I_{m} & 0\end{pmatrix}}. Montrer que {J} est semblable à {K} dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}.
  4. Montrer que ça reste vrai dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}.

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Exercice 4. (Oral Mines-Ponts)
Résoudre l’équation suivante dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} : {A^{2}=(-1)^{n+1}\det (A)I_{n}\quad(\star)}
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Exercice 5. (Oral Mines-Ponts)
Soit {E} un espace vectoriel de dimension {n}.
Soient {u,v} des endomorphismes de {E}.
On suppose que {u} a {n} valeurs propres distinctes, et que {u v=v u}.
Que peut-on dire de l’endomorphisme {v}?
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