Diagonalisabilité par blocs

(Oral Mines-Ponts)
Soient {A,B\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})} avec {AB=BA}.
Soit {M=\left(\begin{array}{ll}A & B \\0 & A\end{array}\right) \in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{C})}.

  1. Soit {P\in \mathbb{C}[X]}. Exprimer {P(M)} en fonction de {P(A),P^{\prime}(A)} et {B}.
  2. Montrer que {M} est diagonalisable si et seulement si {A} est diagonalisable et {B=0.}

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