Petites séries positives

Exercice 1.
Montrer que la série {\displaystyle\sum_{n\ge1}\dfrac1{n(n+1)}} est convergente, et de somme {1}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
  Pour voir ce contenu, vous devez : 

Exercice 2.
Montrer que la série {\displaystyle\sum_{n\ge1}\dfrac1n} est divergente.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
  Pour voir ce contenu, vous devez : 

Exercice 3.
Soit {(u_n)} une suite de {\mathbb{R}^+}.
On suppose que la série {\sum n^2u_n^2} converge.
Montrer qu’il en est de même de {\sum u_n}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
  Pour voir ce contenu, vous devez : 

Exercice 4.
Soit {(u_n)} et {(v_n)} deux suites de {\mathbb{R}^{+*}}.
On suppose : {\forall\,n\ge n_0,\;\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\le\dfrac{v_{n+1}}{v_n}}.
On suppose que {\sum v_n} converge.
Montrer que {\sum u_n} converge.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
  Pour voir ce contenu, vous devez : 

Exercice 5.
Soient {(u_n)} et {(v_n)} deux suites de {\mathbb{R}^+}.
On suppose que {\sum u_{n}} et {\sum v_{n}} convergent.
Montrer que {\sum\sqrt{u_{n}v_{n}}} converge.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
  Pour voir ce contenu, vous devez : 

Exercice 6.
En minorant par une série divergente, retrouver la divergence de {\displaystyle\sum_{n\ge1}\dfrac{1}{n}}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
  Pour voir ce contenu, vous devez : 

Exercice 7.
Soit {\sum u_n} une série réelle, convergente mais non absolument convergente.
Pour tout {n\in\mathbb{N}}, on pose :{u_n^+=\sup(u_n,0)\;\text{et}\;u_n^-=\sup(-u_n,0)}Montrer que {\sum u_n^+} et {\sum u_n^-} divergent.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
  Pour voir ce contenu, vous devez :