Nombres de Bell

(Oral Centrale 2018)
On pose {u_{0}=1} et : {\forall\,n\in\mathbb{N},\;u_{n+1}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}u_{k}}.

  1. Ecrire des fonctions Python renvoyant {n!} et {u_{n}}.
    Afficher les résultats pour {n\leq 15}.
    Proposer une conjecture, puis la démontrer.
  2. On pose {u_{n,k}=\dfrac{k^{n}}{k!}}. Montrer que {\displaystyle\sum\limits_{k\ge 0}u_{n,k}} converge. Soit {S_{n}} sa somme.
    Ecrire une fonction Python renvoyant une valeur approchée de {\dfrac{1}{\text{e}}S_{n}}.
    Quelle conjecture peut-on faire ?
  3. Montrer que, pour tout {n\in\mathbb{N}}, {S_{n+1}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}S_{k}}.
    Calculer {S_{0}} et prouver la conjecture de (2).
  4. Montrer que {f(x)=\displaystyle\sum\dfrac{u_{n}}{n!}x^n} a un rayon de convergence non nul.
  5. Donner une équation différentielle vérifiée par {f} puis calculer {f}.

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