Limite de fonctions inverses

(Oral Centrale 2018)
On pose : {\forall\,n\in\mathbb{N}^{*},\;A_{n}:x\mapsto\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{x^{k}}{k}}.

  1. Montrer que : {\forall\,y\in\mathbb{R}^{+},\;\exists\,!\,x\in\mathbb{R}^{+},\;A_{n}(x)=y}. On note {x=f_{n}(y)}.
  2. Ecrire une fonction Python A(n,x) renvoyant {A_{n}(x)}.
    Utiliser fsolve pour obtenir {f_{n}(y)}.
  3. Tracer, pour différents {n}, les fonctions {y\mapsto f_{n}(y)}.
  4. Montrer que {(f_n)_{n\ge1}} converge simplement sur {\mathbb{R}^+} vers {f} telle que : {\forall\,x\in\mathbb{R}^{+},\;0\le f(x)\lt 1}
  5. Cette question a été ajoutée à l’énoncé initial
    Montrer que {\forall\,x\ge 0,\;f(x)=1-\text{e}^{-x}}.
    Indication : Taylor avec reste intégral sur {\varphi(t)=-\ln(1-t)} sur {[0,x]}.

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