Une suite implicite paramétrée

(Oral Centrale 2018)
On pose, pour {t\geq 0} et {n\in\mathbb{N}} : {f_{n}(t)=\dfrac{e^{t}}{1+t^{n}}} et {\Phi _{n}(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}f_{n}(t)\text{d}t}.

  1. Étudier la convergence de la suite de fonctions {(f_{n})}.
  2. Soit {\alpha >0}. Montrer : {\exists\,!\;x_{n}(\alpha )\in\mathbb{R}^{+},\;\Phi _{n}(x_{n}(\alpha ))=\alpha}.
  3. Déterminer {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}x_{n}(\alpha)} si {\alpha>e-1}, puis si {\alpha\lt e-1}.

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