Produits infinis

(Oral Centrale 2018)
Soit {(a_{n})\in (\mathbb{R}^{+*})^{\mathbb{N}}}. On pose {P_{n}=\displaystyle\prod_{k=0}^{n}a_{k}}.
On dit que le produit (infini) {\displaystyle\prod_{k\ge0}a_{k}} converge si la suite {(P_{n})} converge dans {\mathbb{R}^{+*}}.

  1. Montrer que si {\displaystyle\prod_{k\ge0}a_{k}} converge, alors {a_{n}\rightarrow 1}. On note {u_{n}=a_{n}-1}.
  2. Montrer que {\displaystyle\prod_{k\ge0}a_{k}} converge si et seulement si {\displaystyle\sum\ln(1+u_{n})} converge.
  3. On suppose dans cette question que {u_{n}\geq 0} pour tout {n}.

    Montrer que {\displaystyle\prod_{k\ge0}a_{k}} converge si et seulement si {\displaystyle\sum u_{n}} converge.

  4. Retrouver la divergence de la série harmonique.
  5. On suppose que {\displaystyle\sum u_{n}} converge.

    Montrer que {\displaystyle\sum\ln(1+u_{n})} converge si et seulement si {\displaystyle\sum u_{n}^2} converge.

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