La somme de la série des (-1)kln(k)/k

(Oral Centrale 2018)
On pose, pour tout {n\geq 3}, {S_{n}=\displaystyle\sum\limits_{k=3}^{n}\dfrac{\ln k}{k}}.

  1. Déterminer un équivalent de {S_{n}} quand {n\rightarrow+\infty}.
  2. Montrer que la suite {n\mapsto u_{n}=S_{n}-\dfrac{\ln ^{2}(n)}{2}} converge.
  3. Calculer {T=\displaystyle\sum_{k=3}^{+\infty}(-1)^k\dfrac{\ln(k)}{k}} (en fonction de la constante d’Euler).

On retrouve cet exercice dans Mines-Ponts 2012 et 2016

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