Interversion intégrale/série

(Oral Centrale 2018)
Soit {\displaystyle\sum a_{n}} une série convergente. On note {S_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_k} et {S=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}a_k}

  1. Donner les rayons de {f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{a_{n}}{n!}x^{n}} et {g(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{S_{n}}{n!}x^{n}}.
  2. Montrer que {f'=g'-g}.
  3. Montrer que {\displaystyle\int_{0}^{x}f(u)e^{-u}du=(g(x)-f(x))e^{-x}}.
  4. En déduire {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}f(u)e^{-u}du=S}

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