Interversion intégrale/série

(Oral Centrale 2018)
Soit {\displaystyle\sum a_{n}} une série convergente.
On note {S_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_k} et {S=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}a_k}

  1. Donner les rayons de convergence de :{f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{a_{n}}{n!}x^{n}\;\text{et}\;g(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{S_{n}}{n!}x^{n}}
  2. Montrer que {f'=g'-g}.
  3. Montrer {\displaystyle\int_{0}^{x}\!\!f(u)e^{-u}du=(g(x)\!-\!f(x))e^{-x}}
  4. En déduire {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!f(u)e^{-u}du=S}

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