Étude de la série des 1/n^z

(Oral Centrale 2018)

  1. Soit {f\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R}^+,\mathbb{C})}, et {f'} intégrable sur {\mathbb{R}^+}.
    Soit {u_n=\displaystyle\int_{n}^{n+1}\!\!\!f(x)\,\text{d}t-f(n)}.

    Montrer que {\displaystyle\sum u_n} converge absolument.
    Ainsi {\displaystyle\sum f(n)} et {n\mapsto\displaystyle\int_0^n\!\! f(x) dx} ont même nature.

  2. Dans la suite , soit {t\gt 0} fixé.
    Convergence de {\displaystyle\int_{1}^{+\infty}\dfrac{\cos(t\ln x)}{x}\,\text{d}x}?
  3. Montrer que {n\mapsto\sin(t\ln n)} diverge.
  4. En déduire la nature de {\displaystyle\sum\dfrac{\cos(t\ln n)}{n}}
  5. Étudier la convergence de {\displaystyle\sum\dfrac{1}{n^{1+it}}}.

    Déterminer une CNS sur {z\in\mathbb{C}} pour que la série {\displaystyle\sum\dfrac{1}{n^{z}}} converge.

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