Étude de la série des 1/n^z

(Oral Centrale 2018)

  1. Soit {f\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R}^+,\mathbb{C})}. On suppose que {f'} est intégrable sur {\mathbb{R}^+}.
    Soit {u_n=\displaystyle\int_{n}^{n+1}f(x)\,\text{d}t-f(n)}. Montrer que {\displaystyle\sum u_n} converge absolument.
    Il en découle que {\displaystyle\sum f(n)} et {n\mapsto\displaystyle\int_0^n f(x) dx} ont même nature.
  2. Dans toute la suite , {t} désigne un réel strictement positif.
    Étudier la convergence de {\displaystyle\int_{1}^{+\infty}\dfrac{\cos(t\ln x)}{x}\,\text{d}x}.
  3. Montrer que la suite {n\mapsto\sin(t\ln n)} est divergente.
  4. En déduire la nature de la série {\displaystyle\sum\dfrac{\cos(t\ln n)}{n}}
  5. Étudier la convergence de {\displaystyle\sum\dfrac{1}{n^{1+it}}}.
    Déterminer une CNS sur {z\in\mathbb{C}} pour que {\displaystyle\sum\dfrac{1}{n^{z}}}converge.

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