Convergence d’une série de fonctions

(Oral Centrale 2018)
Soit {(a_{n})\in (\mathbb{R}^{+})^{\mathbb{N}}} décroissante. On pose, pour tout {n}, {u_{n}:x\mapsto a_{n}x^{n}(1-x)}.

  1. Montrer que la série de fonctions {\displaystyle\sum u_{n}} converge simplement sur {[0,1]}.
  2. Montrer que {\displaystyle\sum u_{n}} converge normalement sur {[0,1]} {\iff\displaystyle\sum\dfrac{a_{n}}{n}} converge.
  3. Déterminer une condition pour que {\displaystyle\sum u_{n}} converge uniformément sur {[0,1]}.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
 Pour voir ce contenu, vous devez avoir souscrit au site