Vecteurs obtusangles

(Oral Centrale 2018)
On se place dans {\mathbb{R}^n} euclidien.
Soit {v_{1}\ldots,v_{n+1}} tels que {(v_{i}\mid v_{j})=-1} pour {i\neq j}.

  1. On pose {\mu_{j}=\dfrac{1}{\|v_{j}\|^{2}+1}}. Montrer que {\displaystyle\sum\limits_{j=1}^{n+1}\mu_{j}=1} et {\displaystyle\sum\limits_{j=1}^{n+1}\mu_{j}v_{j}=0}.
  2. Montrer que toute sous-famille stricte de {(v_{1},\ldots,v_{n+1})} est libre.
  3. Soit {w_{1},\ldots,w_{n+1}\in\mathbb{R}^{n}} tels que {(v_{i}\mid v_{j})=(w_{i}\mid w_{j})} pour tous {i,j}.
    Montrer qu’il existe un unique {u\in O(\mathbb{R^n})} tel que {u(v_{i})=w_{i}} pour tout {i}.

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