Un événement négligeable

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {(X_{n})_{n}} une suite de v.a.r indépendantes de loi {\mathcal{B}(p)} avec {0\lt p\lt 1}.
Pour {n\in\mathbb{N}^{\star}}, soit {A_{n}} l’événement {(X_{n}=\ldots=X_{2n-1}=1)}.
Soit {I} l’événement “une infinité de {A_{n}} sont réalisés”. Montrer que {\mathbb{P}(I)=0}.
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